变限积分求解方法

§3.3 有关变限积分和积分证明题

一、求变限积分的导数 【08】设函数f(x)

x2

ln(2 t)dt，则f (x)的零点个数为

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 选B 二、极限与无穷小

【04】把x 0时的无穷小

x

costdt，

t， t3dt排

2

x2

列起来，排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（）

(A) , , （B） , , （C） , , （D） , , 选B 三、变上（下）限积分 【例1】 设f x

x

1

lnt

dt(x 0)求f x 1 t

1 f x

1

xlntlnt 1

dt xdt 解 令 g x f x f ，则g x 111 t1 t x

1

lnx 1 lnx

于是 g x 2

1 x1 1 x x

x

lnx1

dx ln2x C 因此 g x x2

ln

∵ g 1 f 1 f 1 0，∴C=0 则 g x f x f 【例2】 设f x

1 12

lnx x 2

a0

a x

et 2a t dt （a为常数）求I f x dx

a

解 I xf x

a

xf

根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间,化三重积分为三次积分。

科技信息

高校理科研究

关孑求船三重积分帕方法襄樊学院数计学院陶爽卢方芳[摘要]根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间，化三重积分为三次积分。 [关键词】积分区域最大投影柱坐标球面坐标 1出的曲形如 z f x )=, .给面=1,, x ) ( yz Y令￡ )如 y, y= )得到一个关于 xy,的方程，是封闭曲面围成的区域在 X Y平面上的最大投影，也是 x满足的范围，然后根据所得到的 xy O, y, 的关系判断 f 2 l的大小。, f 例 1化三重积分 f,z xy z ( Y ) dd为三次积分， x,d积分区域 Q是由曲面 z x 22 z2 X围成的闭区域。= Z y及=一2+ 解根据 x 2 2 x有 x 1因为得到的是最大投影，以 xy 2 y一 y,+所，满足的是 x y≤1 22,+根据该式可知≤2 X则一2,,

故闭区域在平面上的最大投影区域 D (, I+2】据 y得=(y x y≤1根 x)z, 2≤1出、 =[≥z z 2≥x y而根据所给的曲面方程形式，+,可以使用柱坐标变换，

令{p S 0 p+ f C≤<∞ X O= f ≥≥ 22~== z xy

根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间,化三重积分为三次积分。

科技信息

高校理科研究

关孑求船三重积分帕方法襄樊学院数计学院陶爽卢方芳[摘要]根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间，化三重积分为三次积分。 [关键词】积分区域最大投影柱坐标球面坐标 1出的曲形如 z f x )=, .给面=1,, x ) ( yz Y令￡ )如 y, y= )得到一个关于 xy,的方程，是封闭曲面围成的区域在 X Y平面上的最大投影，也是 x满足的范围，然后根据所得到的 xy O, y, 的关系判断 f 2 l的大小。, f 例 1化三重积分 f,z xy z ( Y ) dd为三次积分， x,d积分区域 Q是由曲面 z x 22 z2 X围成的闭区域。= Z y及=一2+ 解根据 x 2 2 x有 x 1因为得到的是最大投影，以 xy 2 y一 y,+所，满足的是 x y≤1 22,+根据该式可知≤2 X则一2,,

故闭区域在平面上的最大投影区域 D (, I+2】据 y得=(y x y≤1根 x)z, 2≤1出、 =[≥z z 2≥x y而根据所给的曲面方程形式，+,可以使用柱坐标变换，

令{p S 0 p+ f C≤<∞ X O= f ≥≥ 22~== z xy

复变函数积分方法总结

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acer [选取日期]

复变函数积分方法总结

数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。

1.定义法求积分：

定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段zk-1 zk(k=1,2…

nn)上任取一点?k并作和式Sn= nk?1f(???)(zk-zk-1)= k?1f(???)?zk记

?zk= zk- zk-1，弧段zk-1 zk的长度 δ=1max{?Sk}(k=1,2…,n),当 δ→0≤k

摘 要..............................................................................................................II Abstract...........................................................................................................II 1引言...............................................................................................................1 2基本知识.......................................................................................................1

2.1基本概念.............................................................

摘 要..............................................................................................................II Abstract...........................................................................................................II 1引言...............................................................................................................1 2基本知识.......................................................................................................1

2.1基本概念.............................................................

是好的写作材料

科

年第

期

国土资源高等职业教育研究

关于积分方程的求解问题王东霞

李富强

平顶山工学院

含有变上下限积分的方程称为积分方程,,,

。

甲

一

甲、

,

这类方程的求解间题是一种常见的题型也是考研的常考内容但在大多数《教材中没有进高等数学》

即,…二

小丁气,,

、

气‘,

,

,

甲

,

‘,

,

,

行深人地讨论决。,

。

学生遇到此类问题时感到难以解,,

甲

是方程

的连续解证毕,,

。

为此本文针对这类方程的求解问题进行讨论。,,

命题

设

连续

可导函数

是含

供大家参考

参变量的积分方程

由于积分与微分是两种互逆运算因此我们可以考虑把积分方程转化为微分方程进行求解其理,

丸的解的充要条件是二‘

一,

是微分方程勺二

论依据由以下命题给出

。

一

命题二

设

,

连续,

,

可导函数,

二

甲

满足初始条件证明必要性,

劫

勺

的解

。

是积分方程

若

是方程一‘

的解则,

气’,

,

‘二

丁瓦,

‘。

对一

耘二

一

‘

作

的连续解的充分必要条件是

杯是微分方程

变量代换令

一

,

则一

五一

礼勒二

一

‘

、

二、

一

满足初始条件杯勒证明必要性

的解

。

那么的连续…

,

二

石、…,

一

若

州

是方程

解则,

连续

,

石丁、可导。

一

可导二,

,‘

了气,

,

,

,‘

又

可导故

对,,

式两边求导得二

一

翔

,

’

连续可导故甲,,

‘

气。

,

可导

。

又。

翔

翔

又

可导 ,

是方程解,

满足初始条件《扔是方程一

甸

的拓

对

式两边求

是好的写作材料

科

年第

期

国土资源高等职业教育研究

关于积分方程的求解问题王东霞

李富强

平顶山工学院

含有变上下限积分的方程称为积分方程,,,

。

甲

一

甲、

,

这类方程的求解间题是一种常见的题型也是考研的常考内容但在大多数《教材中没有进高等数学》

即,…二

小丁气,,

、

气‘,

,

,

甲

,

‘,

,

,

行深人地讨论决。,

。

学生遇到此类问题时感到难以解,,

甲

是方程

的连续解证毕,,

。

为此本文针对这类方程的求解问题进行讨论。,,

命题

设

连续

可导函数

是含

供大家参考

参变量的积分方程

由于积分与微分是两种互逆运算因此我们可以考虑把积分方程转化为微分方程进行求解其理,

丸的解的充要条件是二‘

一,

是微分方程勺二

论依据由以下命题给出

。

一

命题二

设

,

连续,

,

可导函数,

二

甲

满足初始条件证明必要性,

劫

勺

的解

。

是积分方程

若

是方程一‘

的解则,

气’,

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丁瓦,

‘。

对一

耘二

一

‘

作

的连续解的充分必要条件是

杯是微分方程

变量代换令

一

,

则一

五一

礼勒二

一

‘

、

二、

一

满足初始条件杯勒证明必要性

的解

。

那么的连续…

,

二

石、…,

一

若

州

是方程

解则,

连续

,

石丁、可导。

一

可导二,

,‘

了气,

,

,

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又

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对,,

式两边求导得二

一

翔

,

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。

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翔

翔

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是方程解,

满足初始条件《扔是方程一

甸

的拓

对

式两边求

２００９年９月第２３卷第３期

阴山学刊

ＹＩＮＳＨＡＮＡＣＡＤＥＭＩＣＪＯＵＲＮＡＬ

Ｓｅｐ．２００９Ｖ０１．２３

Ｎｏ．３

欧拉积分在求解定积分中的应用

田

兵

（包头师范学院学报编辑部，内蒙古包头０１４０３０）

摘要：本文叙述了欧拉积分的定义及相关性质，着重通过举例说明欧拉积分在实际计算中的应用。关键词：欧拉积分；定义；性质；应用

中图分类号：０１７２．２文献标识码：Ａ文章编号：１００４—１８６９（２００９）０３－００２２—０３

求解定积分是学习高等数学的一个重要内容，也是解决数学问题的一个基本技能。求解定积分的

∞）内闭一致收敛。Ｆ（ｄ）在区间（０，＋∞）连续，求导在积分号下进行：

方法一般来说是先求出原函数，然后再根据牛顿一一莱布尼茨公式带人上下限进行计算。这种方法对

于一般的定积分求解问题比较实用。

ｒ“’（ａ）＝ｆ石”１ｅ１（１似）“ｄｘ

（２）递推公式Ｖｄ＞０，有

ｒ（ａ＋１）＝ａｒ（ａ）。

这个性质可有分布积分公式得到。

，＋∞

，＋蕾

在实际问题中，有许多定积分的原函数，难以计算或者计算过程非常繁杂。而如果将其进行适量的变量代换，变为我们熟悉的定积分，那么这一问题就

得到了很好的解决。欧拉积分恰恰就是我们解决这

ｒ（ａ＋１）＝Ｉ

Ｘａｅ－ｘ

帕

石。ｅ—ｄｘ＝Ｉ加

ｘ。ｄ（一

２００９年９月第２３卷第３期

阴山学刊

ＹＩＮＳＨＡＮＡＣＡＤＥＭＩＣＪＯＵＲＮＡＬ

Ｓｅｐ．２００９Ｖ０１．２３

Ｎｏ．３

欧拉积分在求解定积分中的应用

田

兵

（包头师范学院学报编辑部，内蒙古包头０１４０３０）

摘要：本文叙述了欧拉积分的定义及相关性质，着重通过举例说明欧拉积分在实际计算中的应用。关键词：欧拉积分；定义；性质；应用

中图分类号：０１７２．２文献标识码：Ａ文章编号：１００４—１８６９（２００９）０３－００２２—０３

求解定积分是学习高等数学的一个重要内容，也是解决数学问题的一个基本技能。求解定积分的

∞）内闭一致收敛。Ｆ（ｄ）在区间（０，＋∞）连续，求导在积分号下进行：

方法一般来说是先求出原函数，然后再根据牛顿一一莱布尼茨公式带人上下限进行计算。这种方法对

于一般的定积分求解问题比较实用。

ｒ“’（ａ）＝ｆ石”１ｅ１（１似）“ｄｘ

（２）递推公式Ｖｄ＞０，有

ｒ（ａ＋１）＝ａｒ（ａ）。

这个性质可有分布积分公式得到。

，＋∞

，＋蕾

在实际问题中，有许多定积分的原函数，难以计算或者计算过程非常繁杂。而如果将其进行适量的变量代换，变为我们熟悉的定积分，那么这一问题就

得到了很好的解决。欧拉积分恰恰就是我们解决这

ｒ（ａ＋１）＝Ｉ

Ｘａｅ－ｘ

帕

石。ｅ—ｄｘ＝Ｉ加

ｘ。ｄ（一