导数定义证明复合函数求导

* 导数公式：(1) C 0 (C为常数)n n 1 ( x ) nx (n R ) ( 2)

(3) (sin x ) cos x (4) (cos x) sin xx x ( a ) a ln a ( a 0, a 1) ( 5)

(e x ) e x

(6) (log a x ) 1 (ln x ) x

1 ( a 0, a 1) x ln a

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三、导数的运算法则法则1: 两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差),即：

[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x).特别地：

[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)

动手做一做1. 求下列函数的导数：

y

2 3 xx

3

2

(1) y 3 x 2 2 x ( 2) y 4 log 3 xx

1 y 4 ln 4 x ln 3

( 3) y sin x e

x

y cos x e x1 y 2 2 x cos x 1

(4) y x 0.5 tan x2. 使得函数 y 个？3

2 x 6 x

第三节 多元复合函数微分法

第三节 复合函数的微分法一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]dx du dx

推广

定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数dz f du f dv = + dx u dx v dx

u z v x

(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.

2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.

例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx

z

u v w

x

u z v

x y

(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]

定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,

同步练习

1．若f（x）=sinα－cosx，则f′（α）等于

A．sinα B．cosα C．sinα+cosα D．2sinα 2．f（x）=ax3+3x2+2，若f′（－1）=4，则a的值等于

1916A． B．

331310C． D．

333．函数y=xsinx的导数为

A．y′=2xsinx+xcosx

sinxx B．y′=

sinx2x+xcosx

C．y′=+xcosx D．y′=

sinxx－xcosx

4．函数y=x2cosx的导数为 A．y′=2xcosx－x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinx C．y′=x2cosx－2xsinx D．y′=xcosx－x2sinx

5.若y=(2x2-3)(x2-4),则y’= . 6. 若y=3cosx-4sinx ,则y’= . 7．与直线2x－6y+1=0垂直，且与曲线y=x3+3x2－1相切的直线方程是______．

?8．质点运动方程是s=t2（1+sint），则当t=时，瞬时速度为___________．

29.求曲线y=x3+x2

旧知回：顾指数函中自式量变取值的范。围 义定域： (知已数函解析式，若未的加殊说特明，定义域则使解析是式意有义自变量的 的取范值.围)

高中考考察式形高考中考:查数的函定义域 题的目以多择题或填选题的形式空现出有 时也出，在现题大中作其为中一问。以查

对考和根号两个知识点居多数。

自学提纲: 试确 定列下数函的义定域。(-,2∞∪)2,+∞)

( 2 3, 1 ().1 f( ) x x2

2).( f( x) x3 2

1 5(.) f (x) x 1 2 x 1, 2 (2 , )

学引教入 1.强对于调定的函数,给定义域的求候时是求 足满达表的式变自量的取范围值. 2可.取选集合A到集合的法B是g则,合集B 集到C合法则的是,求f[gfx)]( 中其法的可以随则意取选

.复合

数函: 设y= (u)f定义的为域B,u =(xg)的义定为域,A域值B则称为 =f[gyx()]由是=y(fu )和ug(x=)复 而成合的合函数其复定 义为A 域 说明: 1. =yfg[()x]函的自数变量x相当是对x先施于g以法则施在以 f法 则所定义域以是.A 中y其=(u

高二数学导数的定义、求导的公式、切线（理）人教实验版（A）

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

导数的定义、求导的公式、切线

二. 重点、难点： 1. 定义：f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim

?x?0?x?x?0?x2. 初导函数的导数公式 （1）f(x)?c ∴ f?(x)?0 （2）f(x)?xn ∴ f?(x)?n?xn?1 （3）f(x)?sinx ∴ f?(x)?cosx （4）f(x)?cosx ∴ f?(x)??sinx

（5）f(x)?ax ∴ f?(x)?axlna（a?0且a?1） （6）f(x)?logax ∴ f?(x)?logae?3. 导数运算

（1）[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)

（2）[f(x)?g(x)]??f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x) （3）[1 xf(x)f?(x)g(x)?f(x)?g(x) ]??g(x)g2x??（4）y?x?yuux

4. y?f(x)在x?x0处的切线方程

y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

【典型例题】

2[例1] 利用导数的定义求函数y?x的导数，并求该函数在x?3处

课件

第二节 函数的求导法则一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题

第二章

课件

导数概念的回顾f ( x + x ) f ( x ) 1、导数的定义 f ′( x ) = lim 、 x → 0 x2、导数几何意义

f ′( x0 )表示曲线 y = f ( x )在点 M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率。3、求导公式

(C )′ = 0 (sin x )′ = cos x(cos x )′ = sin x2

课件

( x )′ = µx ( µ ∈ R ) .µ 1

µ

( a )′ = a lna.x

x

( e )′ = e .x

x

1 . (log a x )′ = x ln a 1 (ln x )′ = . x3

课件

左右导数f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 + x ) f ( x0 ) = lim ; 1.左导数 左导数: 1.左导数: f ′( x0 ) = xlim x →0 x → x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 + x ) f ( x0 ) = li

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学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目: 学科教师： 1、进一步理解定义、命题、定理、公理的含义，并能区分命题的条件和结论 教学目的 2、理解证明的含义，掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程步步有据 3、进一步理解掌握平行线的性质定理和判定定理，并能灵活应用 4、进一步理解掌握三角形的内角和定理和它的推论，并能灵活应用 1.平行线的性质定理和判定定理的应用 重点难点 2.三角形的内角和定理和它的推论的应用 3.证明的步骤及书写格式 授课日期及时段 教学内容 第一步：回顾 第二步：专题讲解 专题一：基本概念 一、定义与命题 1、定义：用来说明一个名词或术语的意义的语句。 形式： ??叫做（是、为）??； 注：定义是严密的，避免使用含糊不清的术语 2、命题：判断一件事情的句子，每个命题都由条件和结论两部分组成。 形式：如果（若）??那么（则）??

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高等数学微积分教程

第三节

多元复合函数微分法

高等数学微积分教程

第三节 复合函数的微分法一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]dx du dx

推广

定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数dz f du f dv = + dx u dx v dx

u z v x

(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.

2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.

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例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx

z

u v w

x

u z v

x y

(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]

定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点

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第 三章

§3.4 隐函数和参数方程求导3. 4. 1 隐函数的导数 3. 4. 2 由参数方程确定的函数的导数 3. 4. 3 相关变化率问题 3. 4. 4 高阶导数机动 目录 上页 下页 返回 结束

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3. 4.1隐函数的微分法1.隐函数的概念

F x, y x 0, x I 成立, 则称 F x, y 0 确定了区间 I 里的一个隐函数 ；称形如 y f x 表示的函数为显函数 。若从方程 F x, y 0 中能求解出函数： y y x 或 x x y 则称该隐函数可以被显化。3 y 1 x ; 就确定了一个显函数 方程 x y 1 0 例如：

设方程 F x, y 0, 若存在函数 y y x , x I 使得

3

但要提请注意的是：并非隐函数均可被显化。 再如：5 7 方程. y 2 y x 3x 0 也确定 y 是 x 的函数 ，

但此隐函数不能被显化 。机动 目录 上页 下页 返回 结束

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2. 隐函数的求导法则 设方程 F x,