分式不等式例题

甲、多 项 不 等 式 及 分 式 不 等 式

1、 高 次 多 项 不 等 式 及 其 解 法

一、 高次不等式：

已知：anxn＋an－1xn1＋…＋a1x＋a0＞0。(其中，不等符号可为＞、＜、?、? )

－

若：an≠0。 称：n次不等式。 若：n?2。 称：高次不等式。

二、 解法：

___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ 例題1 解下列不等式

(1) (x＋3)(x－2)(x－4)＞0，______________________ (2) (x＋1)(x－1)(2＋x)(2－x)＜0，_________________ (3) (x＋1)(x2＋3x－4)＞0，______________________ (4) (2x－1)2＜(x＋2)2，_________________ Sol：

1

例題2

解不等式(x－2)(x－3)(x＋1) ? 0，____________________

成都市和圆教育教案

教师： 学生： 年级： 时间: 年 月 日

成都市和圆教育名师 1 对 1 作业辅导

教育专线：65030765 地址：成都青羊区培风东街 435 号(三十七中斜对面)

4.

2008 年 5 月 12 日，汶川发生了里氏 8.0 级地震，给当地人民造成了巨大的损失.某中学全体师生积极 捐款，其中九年级的 3 个班学生的捐款金额如下表：

老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息： 信息一：这三个班的捐款总金额是 7700 元； 信息二：二班的捐款金额比三班的捐款金额多 300 元； 信息三：一班学生平均每人捐款的金额大于 48 元，小于 51 元. .. .. 请根据以上信息，帮助老师解决： (1) 二班与三班的捐款金额各是多少元? (2) 一班的学生人数是多少?

5.

某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租公司有 42 座和 60 座客车，42 座客车的租金为每辆 320 元，60 座客车的租金为每辆 460 元. (1) 若学校单独租用这两种客车各需多少钱? (2) 若学校同时租用这两种客车 8 辆(可以坐不满),而且比单独租用一种车辆节省

成都市和圆教育教案

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教育专线：65030765 地址：成都青羊区培风东街 435 号(三十七中斜对面)

4.

2008 年 5 月 12 日，汶川发生了里氏 8.0 级地震，给当地人民造成了巨大的损失.某中学全体师生积极 捐款，其中九年级的 3 个班学生的捐款金额如下表：

老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息： 信息一：这三个班的捐款总金额是 7700 元； 信息二：二班的捐款金额比三班的捐款金额多 300 元； 信息三：一班学生平均每人捐款的金额大于 48 元，小于 51 元. .. .. 请根据以上信息，帮助老师解决： (1) 二班与三班的捐款金额各是多少元? (2) 一班的学生人数是多少?

5.

某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租公司有 42 座和 60 座客车，42 座客车的租金为每辆 320 元，60 座客车的租金为每辆 460 元. (1) 若学校单独租用这两种客车各需多少钱? (2) 若学校同时租用这两种客车 8 辆(可以坐不满),而且比单独租用一种车辆节省

1、 某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每

间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。

2、 有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜每亩可收入

0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,若要使总收入不低于15.6万元,则应该如何安排人员？

3、 出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km

后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租 汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程大约是多少?

4、 在双休日,某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园,公司先派一个

人去了解船只的租金情况,这个人看到的租金价格表如下:

那么,怎样设计租船方案才能使所付租金最少?(严禁超载)

5、 (2001安徽)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的

工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

6、 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为

600元和1000元.现要求乙种

中学生数学

年 !月上

第

期#高中

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分式不(丁兴

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江苏省南京市上新河中学&

在数学竞赛中的分式不等式的证明往往带有一定的技巧性因此证明过程常常会用到%

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著名的不等式这种做法忽视了证明不等式基本的方法即作差法这里我们通过作差法来简,

同 4可以通过作差法给出简易的证明丁丫牛 6一+“

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这是一道经典的不等式题常见的证法是整体代换分母或用柯西不等式证明之事实上用作差法很容易给出证明)二二一一<卜8%%

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(一)不等式概念和性质错解例析

初学不等式，由于对概念及性质理解不够深刻，有些同学常出现一些错误，现举例分析,望能引以为戒

一、理解概念不透致错

例1、下列给出四个式子，

①x>2 ②a≠0 ③5<3 ④a≥b 其中是不等式的是（ ）

A、①④ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

错解、选A

分析、不等式是指形式上用“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”连接的式子，不受其是否成立的影响，5<3是不等式，只不过这个不等式不成立，另外a≠0也是不等式，因为“≠”也是不等号， 正解、选D

二、符号意义不清致错 例2、下列不等式

①2a>a ②a2+1>0 ③8≥6 ④x2≥0 一定成立的是（ ）

A、②④ B、② C、①②④ D、②③④

错解、选A

分析、导致本题错误的原因是对“≥”理解不正确，“≥”的意义是“>”或“=”，有选择功能，二者成立之一即可，事实上也只能二者取一，不等号两边的量不会既“>”又“=”，所以，对8≥6的理解应是“8大于6”，对x2≥0的理解应是，“当x=0时，x2=0；当x≠0时，x2>0” 正解、选D

例3、不等式x>-2的解集在数轴上表示正确的一项是（ ）

A B C

D

错解，选A

分析、对不等式的解集在数轴上的表示方法不清出错，在数轴上表示不等式的解集时，实心

初二数学备课组

中考专题复习

第2讲 不等式与不等式组

一级训练

1．(2012年广东广州)已知a＞b，c为任意实数，则下列不等式中总是成立的是( ) A．a＋c＜b＋c B．a－c＞b－c C．ac＜bc D．ac＞bc 2．(2012年四川攀枝花)下列说法中，错误的是( )

A．不等式x＜2的正整数解中有一个 B．－2是不等式2x－1＜1的一个解 C．不等式－3x＞9的解集是x＞－3 D．不等式x＜10的整数解有无数个

3．(2012年贵州六盘水)已知不等式x－1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为(

)

4．(2012年湖北荆州)已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(

)

2x－1≥x＋1，

5．(2012年山东滨州)不等式 的解集是( )

x＋8≤4x－1

A．x≥3 B．x≥2 C．2≤x≤3 D．空集

x－1≥0，

6．(2012年湖北咸宁)不等式组 的解集在数轴上表示为(

)

4－2x＞0

7．(2012年湖南益阳)如图2－2－2，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集(

)

图2－2－2

x≥－5， x＞－5， x＜5， x＜5， A. B. C. D. x＞－3

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典型例题一

例1 若0?x?1，证明loga(1?x)?loga(1?x)（a?0 且a?1）．

分析1 用作差法来证明．需分为a?1和0?a?1两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．

解法1 （1）当a?1时，

因为 0?1?x?1,1?x?1， 所以 loga(1?x)?loga(1?x) ??loga(1?x)?loga(1?x) ??loga(1?x2)?0． （2）当0?a?1时， 因为 0?1?x?1,1?x?1 所以 loga(1?x)?loga(1?x) ?loga(1?x)?loga(1?x) 2 ?loga(1?x)?0． 综合（1）（2）知loga(1?x)?loga(1?x)． 分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号． 解法2 作差比较法． 因为 loga(1?x)?loga(1?x) ?lg(1?x)lg(1?x) ?lgalga1?lg(1?x)?lg(1?x)? lga1??lg(1?x)?lg(1?x)? lga?1lg(1?x2)?0， lga???所以loga(1

第三十五讲 不等式、分解因式、分式综合复习

【典例分析】

例1、已知 ABC中，AB 3AC，设

例2、设a,b,c是 ABC的三边，试判断代数式a2 c2 (b2 2ac)的正负性

例3、已知x 3是不等式mx 2 1 4m 2x的一个解，则整数m可取的值是？

AC

m，证明：0.25 m 0.5 BC

x a 0

例4、已知关于x的不等式组 的整数解共有3个，则a的取值范围？

1 x 0

例5、已知不等式组

x 2 m n2008

的解集为 1 x 2，则(m n)的值

x 1 m 1

例6、三个非负数a，b，c满足：3a 2b c 5，2a b 3c 1，若m 3a b 7c，求m的最大值和最小值。

例7、已知代数式a bx，当 3 x 1时，1 a bx 9，求2b a的值。

例8、计算：（2

例9、a,b,c是 ABC的三边，且满足a b c ab bc ac，试判断 ABC的形状

例10

、求函数y

2

2

2

中自变量x的取值范围

例11、若不等式(2a b)x 3a 4b＜0的解集是x＞

9

，则不等式4

(a 4b)x 2a 3b＞0的解集是 。

分析：原不等式可化为(2a b)x＜4b 3a。因为x＞

2a b＜0

4b 3a 9 2

第四章 微积分中值定理与证明 4.1 微分中值定理与证明

一 基本结论

1．零点定理：若f(x)在[a,b]连续，f(a)f(b)?0，则???(a,b)，使得f(?)?0． 2．最值定理：若f(x)在[a,b]连续，则存在x1,x2使得f(x1)?m,f(x2)?M．其中

m,M分别是f(x)在[a,b]的最小值和最大值．

3．介值定理：设f(x)在[a,b]的最小值和最大值分别是m,M，对于?c?[m,M]， 都存在???[a,b]使得f(?)?c．（或者：对于?c?(m,M)，都存在???(a,b)使得

f(?)?c）

4．费玛定理：如果x0是极值点，且f(x)在x0可导， 则 f?(x0)?0．

5．罗尔定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，f(a)?f(b)，则???(a,b)使得

f?(?)?0．

6．拉格朗日定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，，则???(a,b)使得

f(b)?f(a)?(b?a)f?(?)．

) 7．柯西定理：f(x)，g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g?(x)?0，则???(a,b使得

f(b)?f(a)f?(?)?．

g(b)?g(a)g?(?)8．泰勒公