关于ARMA AR MA模型的功率谱

自回归AR模型、移动平均MA模型与自回归移动平均ARMA模型的比较分析

系统中某一因素变量的时间序列数据没有确定的变化形式，也不能用时间的确定函数描述，但可以用概率统计方法寻求比较合适的随机模型近似反映其变化规律。(自变量不直接含有时间变量,但隐含时间因素)

1． 自回归AR(p)模型

（R：模型的名称 P：模型的参数）（自己影响自己，但可能存在误差，误差即没有考虑到的因素）

(1)模型形式（εt越小越好，但不能为0：ε为0表示只受以前Y的历史的影响不受其他因素影响）

yt=φ1yt-1+φ2yt-2+……+φpyt-p+εt

式中假设：yt的变化主要与时间序列的历史数据有关，与其它因素无关；

εt不同时刻互不相关，εt与yt历史序列不相关。 式中符号：p模型的阶次，滞后的时间周期，通过实验和参数确定； yt当前预测值，与自身过去观测值yt-1、…、yt-p是同一序列不同时刻的随机变量，相互间有线性关系，也反映时间滞后关系； yt-1、yt-2、……、yt-p同一平稳序列过去p个时期的观测值； φ1、φ2、……、φp自回归系数，通过计算得出的权数，表达yt依赖于过去的程度，且这种依赖关系恒

BOX-JENKINS预测法

1 适用于平稳时序的三种基本模型

（1）AR(p)模型（Auto regression Model）——自回归模型

p阶自回归模型：

????=??+?1?????1+?2?????2+?+??????????+????

式中，????为时间序列第??时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；?????1，?????2，?，???????为时序????的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；????是随机误差项；??，?1，?2，?，???为待估的自回归参数。 （2）MA(q)模型（Moving Average Model）——移动平均模型

q阶移动平均模型：

yt???et??1et?1??2et?2????qet?q

式中，?为时间序列的平均数，但当{yt}序列在0上下变动时，显然?=0，可删除此项；et，et?1，et?2，?，et?q为模型在第t期，第t?1期，?，第t?q期的误差；?1，?2，?，?q为待估的移动平均参数。

（3）ARMA(p,q)模型——自回归移动平均模型（Auto regression Moving Average Model）

模型的形式为：

yt?c??1yt?1??2yt?2?

谱估计的方法,ARMA模型的分类、 ARMA模型的求解(模型阶数的选择)

有理谱参数估计

谱估计的方法,ARMA模型的分类、 ARMA模型的求解(模型阶数的选择)

有理谱参数估计

谱估计的方法

ARMA模型 ARMA模型的分类 ARMA模型的求解

谱估计的方法,ARMA模型的分类、 ARMA模型的求解(模型阶数的选择)

谱估计的方法信号频谱的估计是信号分析的重要手段，也是信号综合 的前提。就目前而言，信号频谱估计的方法通常被分为经 典谱估计和功率谱的参数法(现代谱估计)两大类。 经典谱估计 属于线性估 计，而现代 谱估计属于 非线性估计。

谱估计的方法,ARMA模型的分类、 ARMA模型的求解(模型阶数的选择)

AR模型和MA模型的简介： AR模型可以用三种方法等效地表达：自相关函数值、 AR模型参数以及反射系数。 AR(k)和AR(k+1)模型的递推关系：模型参数迭代关系 的Levinson - Durbin算法和预测误差迭代关系的格形 滤波器。 在三种AR模型参数提取方法：自相关法、协方差法 和Burg法中，自相关法的性能稍差些，其他两种方 法的性能相近 MA模型法实际上就是自相关法谱估计，也与周期图 法谱估计是等效的。

谱估计的方法,ARMA模型的分类、

谱估计的方法,ARMA模型的分类、 ARMA模型的求解(模型阶数的选择)

有理谱参数估计

谱估计的方法,ARMA模型的分类、 ARMA模型的求解(模型阶数的选择)

有理谱参数估计

谱估计的方法

ARMA模型 ARMA模型的分类 ARMA模型的求解

谱估计的方法,ARMA模型的分类、 ARMA模型的求解(模型阶数的选择)

谱估计的方法信号频谱的估计是信号分析的重要手段，也是信号综合 的前提。就目前而言，信号频谱估计的方法通常被分为经 典谱估计和功率谱的参数法(现代谱估计)两大类。 经典谱估计 属于线性估 计，而现代 谱估计属于 非线性估计。

谱估计的方法,ARMA模型的分类、 ARMA模型的求解(模型阶数的选择)

AR模型和MA模型的简介： AR模型可以用三种方法等效地表达：自相关函数值、 AR模型参数以及反射系数。 AR(k)和AR(k+1)模型的递推关系：模型参数迭代关系 的Levinson - Durbin算法和预测误差迭代关系的格形 滤波器。 在三种AR模型参数提取方法：自相关法、协方差法 和Burg法中，自相关法的性能稍差些，其他两种方 法的性能相近 MA模型法实际上就是自相关法谱估计，也与周期图 法谱估计是等效的。

谱估计的方法,ARMA模型的分类、

振动台在使用中经常运用的公式

振动台在使用中经常运用的公式

1、 求推力（F）的公式

F=（m0+m1+m2+ ??）A??????????公式（1） 式中：F—推力（激振力）（N）

m0—振动台运动部分有效质量（kg） m1—辅助台面质量（kg）

m2—试件（包括夹具、安装螺钉）质量（kg）

A— 试验加速度（m/s2）

2、 加速度（A）、速度（V）、位移（D）三个振动参数的互换运算公式 2.1 A=ωv ????????????????????公式（2） 式中：A—试验加速度（m/s2）

V—试验速度（m/s） ω=2πf（角速度） 其中f为试验频率（Hz）

2.2 V=ωD×10-3

??????????????????公式（3） 式中：V和ω与“2.1”中同义

D—位移（mm0-p）单峰值

2.3 A=ω2

D×10-3 ??????????????????公式（4） 式中：A、D和ω与“2.1”，“2.2”中同义 公式（4）亦可简化为：

A=

f2250?D 式中：A和D与“2.3”中同义，但A的单位为g

1g=9.8m/s2

所以： A≈f225

实验三 ARMA模型建模与预测指导

一、实验目的

学会通过各种手段检验序列的平稳性；学会根据自相关系数和偏自相关系数来初步判断ARMA模型的阶数p和q，学会利用最小二乘法等方法对ARMA模型进行估计，学会利用信息准则对估计的ARMA模型进行诊断，以及掌握利用ARMA模型进行预测。掌握在实证研究中如何运用Eviews软件进行ARMA模型的识别、诊断、估计和预测和相关具体操作。

二、基本概念

宽平稳：序列的统计性质不随时间发生改变，只与时间间隔有关。

AR模型：AR模型也称为自回归模型。它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰值的线性组合预测， 自回归模型的数学公式为:

yt??1yt?1??2yt?2???pyt?p??t

式中: p为自回归模型的阶数?i（i=1，2， ?，p）为模型的待定系数，?t为误差， yt为一个平稳时间序列。

MA模型：MA模型也称为滑动平均模型。它的预测方式是通过

过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。滑动平均模型的数学公式为:

yt??t??1?t?1??2?t?2???q?t?q

式中: q为模型的阶数； ?j（j=1，2，?，q）为模型的待定系数；?t为误差； yt为平稳时间序列。

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基于ARMA模型和灰色预测模型的邮政业务总量预测

上传日期：2009年10月16日 编辑：现代经济编辑部 点击:318次

胡芳芳

（首都经济贸易大学统计学院，北京 100070）

摘 要：邮政业务是个复杂的社会经济系统，本文分别采取ARMA模型以及灰色预测模型GM（1，1）对邮政业务总量进行预测，并比较了两种模型的预测精度，并对2009-2011年全国邮政业务总量进行了预测。

关键词：ARMA模型；灰色预测模型；邮政业务；预测精度

中图分类号：F618 文献标识码：A 文章编号：1671-8089（2009）08-0032-04

一、基于ARMA模型的邮电业务总量预测

ARMA模型是一类常用的随机时序模型，由博克斯(Box)、詹金斯(Jenkins)创立，亦称B-J方法。它是一种精度较高的时序短期预测方法，其基本思想是：某些时间序列是依赖于时间t的一族随机变量，构成该时序的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变化却有一定的规律性，可以有相应的数学模型近似描述。通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认识时间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的

实验二 模拟AR模型

一、 实验目的：熟悉各种AR模型的样本自相关系数和偏相关系数的特点，为理 论学习提供直观的印象。 二、 实验内容：随机模拟各种AR模型。

三、 实验要求：记录各AR模型的样本自相关系数和偏相关系数，观察各种序列图形，总结AR模型的样本自相关系数和偏相关系数的特点 四、 实验时间：2小时。 五、 实验软件：SAS系统。 六、 实验步骤

1、开机进入SAS系统。 2、 模拟实根情况，模拟过程。 3、 在edit窗中输入如下程序： data a; x1=0.5; x2=0.5; n=-50;

do i=-50 to 250; a=rannor(32565); x=a-0.6*x1+0.4*x2; x2=x1; x1=x; n=n+1;

if i>0 then output; end; run;

4、观察输出的数据，输入如下程序，并提交程序。 proc print data=a;

自回归（AR）模型

理论模型

自回归（AutoRegressive, AR）模型又称为时间序列模型，数学表达式为

AR:y(t) a1y(t 1) ... anay(t na) e(t)

其中，e(t)为均值为0，方差为某值的白噪声信号。

Matlab Toolbox

研究表明，采用Yule-Walker方法可得到优化的AR模型[1]，故采用aryule程序估计模型参数。

[m,refl] = ar(y,n,approach,window)

模型阶数的确定

有几种方法来确定。如Shin提出基于SVD的方法，而AIC和FPE方法是目前应用最广泛的方法。若计算出的AIC较小，例如小于-20，则该误差可能对应于损失函数的10-10级别，则这时阶次可以看成是系统合适的阶次。

am = aic(model1,model2,...)

fp = fpe(Model1,Model2,Model3,...)

AR预测

yp = predict(m,y,k)

m表示预测模型；y为实际输出；k预测区间；yp为预测输出。 y(1),y(2),...,y(t k 1),y(t k),...,y(t 2),y(t 1),y(t)

当k

基于ARMA乘积模型的CPI指数分析及预测

【摘要】CPI指数是一个相对滞后的数据指数，通常是反映市场经济的一个重要指标。本文选取我国1990年1月至2013年11月共287个月份的CPI指数数据，对CPI序列建立乘积模型ARMA（1，1，1）×ARMA（0，1，1）12。结果表明，该模型是描述全国CPI变化趋势较优的时间序列模型。最后，本文利用此模型对2013年12月、2014年1-4月份的全国CPI指标进行了预测，并提出了相应的政策与建议。

【关键词】消费者物价指数 预测模型 通货膨胀 一、引言

CPI指数，即消费者物价指数（Consumer Price Index），英文缩写为CPI，是反映与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，是用来判断是否出现通货膨胀的重要衡量标准，如果CPI指数上升较为缓慢温和，则说明经济增长稳定，没有通货膨胀或通货膨胀轻微。

受全球金融危机的影响，2008年8月份开始，我国CPI指数一路下滑，自2009年4月份开始更是出现了连续3个月的同比负增长。短短1年时间，CPI指数从2008年4月份的同比上涨8.5%变为2009年4月份同比下降1.5%。

ARMA模型