设连续型随机变量x的分布函数为F(x)

2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2,

2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2,

大学教学课件,PPT,随机过程,概率论

第三节

随机变量的分布函数

一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结

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一、分布函数的概念1.概念的引入对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如 求随机变量 X 落在区间 ( x1 , x2 ] 内的概率P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 }

?

F ( x2 ) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).

F ( x1 ) 分布 函数

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2.分布函数的定义定义 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数,函数 F ( x ) P{ X x } 称为X的分布函数.

说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况.( 2)分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数.

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实例

抛掷均匀硬币, 令 1, X 0, 出正面, 出反面.

求随机变量 X 的分

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第三节

随机变量的分布函数

一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结

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一、分布函数的概念1.概念的引入对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如 求随机变量 X 落在区间 ( x1 , x2 ] 内的概率P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 }

?

F ( x2 ) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).

F ( x1 ) 分布 函数

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2.分布函数的定义定义 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数,函数 F ( x ) P{ X x } 称为X的分布函数.

说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况.( 2)分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数.

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实例

抛掷均匀硬币, 令 1, X 0, 出正面, 出反面.

求随机变量 X 的分

第三节 二维随机变量函数的分布

在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示这个人的血压，并且已知Z与X，Y的函数关系式

Z?g(X,Y), 现希望通过(X,Y)的分布来确定Z的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.

在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: (i) Z?X?Y;

(ii) Z?max{X,Y}和Z?min{X,Y}，其中X与Y相互独立.

注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.

内容分布图示

★ 引言

★ 离散型随机向量的函数的分布

★ 例1 ★ 例2

★ 连续型随机向量的函数的分布 ★ 连续型随机向量函数的联合概率密度 ★ 和的分布 ★ 例6 ★ 正态随机变量的线性组合

★ 例8 ★ 例9 ★ 商的分布 ★ 例11 ★ 积的分布 ★ 最大、最小

第四章 大数定律与中心极限定理

4.1特征函数

内容提要

1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =?为X 的特征函数,其表达式如下

(),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i i itX itx x e P X x t E e t e p x dx ?+∞-∞

?=?==-∞<<+∞???∑? 由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ?总是存在的.

2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤??t ; (2) ),()(t t ??=-其中)(t ?表示)(t ?的共 轭;

(3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ??=

(4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ????=+

(5) 若()l E X 存在,则)(t X ?可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =?

(6) 一致连续性 特征函数)(t ?在),(+∞-∞上一致连续

(7) 非负定性 特征函数)(t ?是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑

第三章 多维随机变量及其分布

随机向量的定义：

随机试验的样本空间为S={?}，若随机变量X1(?),X2(?),…,Xn(?)定义在S上，则称（X1(?),X2(?),…,Xn(?)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,Xn）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint

2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；

marginal

3．X与Y的相互关系；

4．（X,Y）函数的分布。

§ 3.1 二维随机变量的分布

一．离散型随机变量 1．联合分布律

定义3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(xi,yj), i，j=1,2…,取这些值的概率为

pij=P{(X,Y)=(xi,yi)}=p{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,…

教 案

课程名称 概率统计 授课教师 职 称 系（部）

教 研 室

2013 —2014 学年 第 二 学期

授课对象： 本、专科 2012 （年）级 专业 1 班

本、专科 （年） 级 专业 班 本、专科 （年） 级 专业 班

教案书写与使用要求

1、教师在授课前两周完成教案书写，并由教研室主任亲自审批（教研室主任的教案由系部教学主任代签），教师必须携带教案上课。每次教案只可使用一轮课；在授课对象的专业、层次相同，使用同版次教材且授课内容及学时数完全一致的情况下，可使用同一本教案，否则不允许通用。

2、封面填写：不能空项，各项要写全称；授课对象：选择本科或专科

莱阳市第九中学 数学组

学习目标：1. 理解离散型随机变量及其分布列的概念与性 质 2. 会求出某些简单的离散型随机的分布列

3、理解两点分布何超几何分布及其推导过程， 并能简单的应用

一、讨论及要求(约10分钟) (一)重点讨论的问题：1、任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？随机 变量的定义? 2、随机变量与函数有何区别与联系？ 3、什么是离散型随机变量？ 4、什么是离散型随机变量的分布列？ 求分布列的步骤？ 3、两种特殊的分布？

(二)讨论要求： (1)小组内先集中讨论，再组内一对一讨论，小 组长注意控制讨论节奏，及时安排展示与点评。 (2)力争全部达成目标，且多拓展,注重方法总结， 力争全部掌握.

引例：(1)抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？ 探究一：能否把 (2)姚明罚球 2次有可能得到的分数有几种情况？ 掷硬币的结果也 正面向上， X =1,表 0 分 ， 1 分 ， 2 分 用数字来表示呢？ 示反面向上”可以，用“X=0,表示

1,2,3,4,5,6

(3)抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？

正面向上，反面向上思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一 种情况吗？ 分析：不行，虽然我们能够事先知道随机试验可能出现 的所有结果

随机变量

第2 9卷第 3期20 0 9年 5月

大庆师范学院学报

Vo _ 9 o 3 l 2 N .Ma, 0 9 y2 0

J U N LO A I GN R LU IE ST O R A FD Q N O MA NV R IY

连续型随机变量的概率密度函数和独立性郭英，张宏礼，苫社，王徐艳

(黑龙江八一农垦大学文理学院，龙江大庆 1 3 1 )黑 6 3 9

摘

要：续型随机变量在分布函数的非连续导数点，何求概率密度函数值，何判定两个连续型随机变量的独连如如

立性 .有研究价值的问题。结合实例分析得出结论：分布函数的非连续导数点是有限个或可列个时，是在只要将概率 密度函数适当辛充定义，之在负无穷到正无穷之间有定义，卜使即可满足要求；两个连续型随机变量，须在一个非零必测度集上满足联合概率密度函数不等于两个边缘概率密度函数的乘积时，能说明二者不独立。才 关键词：率论；续型随机变量；率密度函数；布函数；立性概连概分独

作者简介：郭英 (9 7 )女，龙江宁安人，龙江八一农垦大学文理学院数学系讲师， 17一，黑黑从事随机微分方程、随机动力系统的研究。

基金项目：0 7年黑龙江省高等学校教学改革工程项目：信息与计算科学专业课程体系的建设与应用型人才培养 2