中考数学一元二次方程的重要性

专题 一元二次方程

一）一元二次方程的定义

ax

2

bx c 0(a 0)是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的

2

最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。ax

b

bx 0；ax

2

2

c 0；ax

2

0这三个方

程都是一元二次方程。求根公式为x 二）ax

2

b 4ac2a

b

2

4ac 0

bx c 0(a 0)。a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项，注意的是系

数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？ 1、 ＝b2 4ac当Δ>0时方程有2个不相等的实数根； 2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根；

3、当Δ< 0时方程无实数根.

4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）; 5、ac<0时方程必有解,且有两个不相等的实数根;

6、c=0，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.另一个根为

ba

7、当a、b、c是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。 8若x1,x2是一元二次方程ax 即① x1 x2

ba

2

bx c 0(a 0)的两个实数根，

ca

x1 x2

（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足

Δ≥0这个条件，否则解题就会出错

学大教育个性化辅导教案

等于 0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. (3)配方法： 例 3

x2 6 x 4 0

解：x 2 6 x 4 x 2 6 x 32 4 32 ( x 3) 2 5 x 3 5 x1 5 3, x2 5 3.就是把一元二次方程转化为可以直接直接开平方的方法。 教师提问三：那同学们又能说说步骤吗？ 用配方法解一元二次方程

ax 2 bx c 0 a 0

的一般步骤是： ①化二次项系数为 1, 即方程两边同时除以二次

项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的 平方；④化原方程为 ( x m) n 的形式；⑤如果 n 0 ,就可以用直接开平方求出方程的解，如果 n<0,则原方2

程无解. (4)公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后公式计算。 一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的求根公式是：2

x

b b 2 4ac 2 (b 4ac 0). 2a

例4 解：

x2 x

一元二次方程的解法 一元二次方程的解法

一、知识要点：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基

础，应引起同学们的重视。

一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2

的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解

法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例题精讲：

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程，其解为x=m± .

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以

此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x

用于期末复习

杨家中学2010-2011年度九年级上之一元二次方程复习

一、选择题 1．（2010江苏苏州）下列四个说法中，正确的是 A

．一元二次方程x2 4x 5

2有实数根；

B

．一元二次方程x2 4x 5 2 C

．一元二次方程x2 4x 5 3

有实数根；

D．一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有实数根．

3．（2010安徽芜湖）关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）

A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 4．

5．（10湖南益阳）一元二次方程ax2

bx c 0(a 0)有两个不相等．．．

的实数根，则b2

4ac满足的条件是

Ａ．b2 4ac＝0 Ｂ．b2 4ac＞0 Ｃ．b2 4ac＜0 Ｄ．b2 4ac≥0

6．（2010山东日照）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是

（A）－3，2 （B）3，-2 （C）2，－3 （D）2，3 7．(2010四川眉山）已知方程x2 5x 2 0的两个解分别为x1、x

一元二次方程的解法 一元二次方程的解法

一、知识要点：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基

础，应引起同学们的重视。

一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2

的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解

法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例题精讲：

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程，其解为x=m± .

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以

此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x

十一）、几何类题 （2）动态几何问题

图2

图3 B

Q

CP

图4 http://www.77cn.com.cn

例：如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C

点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

解：因为∠C＝90°，所以AB＝10（cm）.

（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm. 则根据题意，得

1

·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4. 2

所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2. （2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半. 则根据题意，得

2

111(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0. 222

-6 4 1

一元二次方程的概念说课稿

一、教材分析： 1、教材的地位和作用

一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。此外，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归

纳出一元二次方程的概念。

2、 教学目标

根据大纲的要求、本节教材的内容和学生的好奇心、求知欲及已有的知识经验，本节课的三维目标主要体

现在：

知识与能力目标： 要求学生会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，培养学生归纳、分

析的能力。

过程与方法目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织学生讨论，让学

生自己抽象出一元二次方程的概念 。

情感、态度与价值观：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培

养用数学的意识。 3、 教学重点与难点

要运用一元二次方程解决生活中的实际问题，首先必须了解一元二次方程的概念，而概念的教学又要从大量的实例出发 。所

一元二次方程教材分析

新墩中心学校

一.本章内容分析

本章主要介绍了一元二次方程及有关概念,一元二次方程的解法,运用一元二次方程分析和解决实际问题。其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。

方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备.

数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固. 二.课时安排： 2.1 花边有多宽 2课时

2.2 配方法 3课时 2.3 公式法 2课时 2.4 分解因式法 2课时 2.5 为什么是0.618 2课时 回顾与思考 2课时 三、本章知识结构图 四.单元内容分析

2.1 花边有多宽

本小节分两课时,以实际问题为背景,引出一元二次方程的概念,归纳出

一元二次方程的一般形式,给出一元二次方程根的概念。

⒈教学目标：(1)通过实际问题了解一元二次方程的定义及一般形式；

(2)会将一个整式方程化为一元二次方程的一般形式，并能指

出二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项。

教学重点:一元二次方程及有关概念的理解.

教学难点:准

一元二次方程应用题经典题型汇总

一 几何图形转换问题

例1、（2013?昆明）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）

2

A． 100×80﹣100x﹣80x=7644 C． （100﹣x）（80﹣x）=7644

考由实际问题抽象出一元二次方程． 点： 专几何图形问题． 题： 分把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方析： 形，根据长方形的面积公式列方程． 解解：设道路的宽应为x米，由题意有 答： （100﹣x）（80﹣x）=7644， 故选C． 点此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移评： 到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． B． （100﹣x）（80﹣x）+x=7644 D． 100x+80x=356 2练习: 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）

（1）设计方案1（如图2）花园是两个互相垂直且宽度相等的矩形. （2）设计方案2（如图3）花园

一元二次方程学案

3.1

学习目标：

会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

课堂研讨：

探究新知

【例1】小明把一张边长为10c的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81c,那么剪去的正方形的边长是多少？

设剪去的正方形的边长为xc，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？

合作交流

动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。

列出的方程是.

自主学习

【做一做】根据题意列出方程：

一个正方形的面积的2倍等于50,这个正方形的边长是多少？

一个数比另一个数大3,且这两个数之积为这个数，求这个数。

一块面积是150c长方形铁片，它的长比宽多5c,则铁片的长是多少？

观察上述四个方程结构特征，类比一元一次方程的定

义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。

【我学会了】

只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：，其中二次项，是一次项，

是常数项，二次项系数，一次项系数。

展示反馈

【挑战自我】判