对数幂函数指数函数比较大小

让更多的孩子得到更好的教育

指数函数、对数函数、幂函数综合 A

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.

2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点。 3．理解对数的概念及其运算性质。

4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.

5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数y?ax与对数函数y?logax互为反函数(a＞0，a≠1).

学习策略：

?

深刻理解指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化．在这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现．

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上

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考点4 二次函数 、指数函数、对数函数、幂函数

1.（2010·安徽高考理科·Ｔ6）设abc?0，二次函数f?x??ax2?bx?c的图象可能是（ ）

A、 B、

C、 D、

【命题立意】本题主要考查二次函数图像与其系数的关系，考查考生的逻辑推理能力． 【思路点拨】逐项验证，由图象先确定a、c的符号，再根据对称轴的正负确定b的符号。 【规范解答】选 D.由D选项的二次函数图象可知，a?0,c?0,且对称轴?b?0，所以b?0，满足2aabc?0，故D正确；同理可判断A、B、C错误。

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分a?0或a?0两种情况分类考虑，另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标等对系数的影响。 2.（2010·浙江高考文科·Ｔ2）已知函数 f(x)?log2(x?1),若f(?)?1, ?=（ ） (A)0

(B)1

(C)2

(D)3

【命题立意】本题主要考察对数函数概念及对数运算性质。 【思路点拨】把f(?)表示出来，解对数方程即可。

【规范解答】选B。f(?)?log2(??1)?1

会考复习三、指数函数、对数函数、幂函数

1、平方根、立方根、n次方根的概念

2、方根的性质

3、根式

4、正数的分数指数幂

5、零的分数指数幂

6、有理数指数幂的运算性质

三、例题分析

例1、求下列各式的值

（1）(5)2 = （2）( 2)3 = （3）

(3 )2= 例2、化简

（1）x2 2xy y2

（2）

yx

x y

1

2

3例3、求值：（1）1002

（2）83

（3） 1

4

例4、用分数指数幂的形式表示下列各式 a 0

（1）a2 a （2）a3 a2 （3）aa (m n)2

( 2)4= （4）

（3）(a 2)2

3（4） 16 4

81

（5）9

32

4）p6q3

p 0 （5）

（

例5、若a a 1 3(a 1)，求a a

12

12

及a a

32

32

。

四、随堂练习

1、用根式的形式表示下列各式(a 0)

（1）a （2）a （3）a （4）a2、用分数指数幂的形式表示下列各式：

（1）x （2）xy （3）3、求下列各式的值

（1）25 （2）

4、化简下列各式 （1）aaa

（3）(xy) (xy)(x 0,y 0) （4）(a

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考点4 二次函数 、指数函数、对数函数、幂函数

1.（2010·安徽高考理科·Ｔ6）设abc?0，二次函数f?x??ax2?bx?c的图象可能是（ ）

A、 B、

C、 D、

【命题立意】本题主要考查二次函数图像与其系数的关系，考查考生的逻辑推理能力． 【思路点拨】逐项验证，由图象先确定a、c的符号，再根据对称轴的正负确定b的符号。 【规范解答】选 D.由D选项的二次函数图象可知，a?0,c?0,且对称轴?b?0，所以b?0，满足2aabc?0，故D正确；同理可判断A、B、C错误。

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分a?0或a?0两种情况分类考虑，另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标等对系数的影响。 2.（2010·浙江高考文科·Ｔ2）已知函数 f(x)?log2(x?1),若f(?)?1, ?=（ ） (A)0

(B)1

(C)2

(D)3

【命题立意】本题主要考察对数函数概念及对数运算性质。 【思路点拨】把f(?)表示出来，解对数方程即可。

【规范解答】选B。f(?)?log2(??1)?1

1 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一）指数与指数函数

1．根式

（1）根式的概念

（2）．两个重要公式

①??

??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ；

②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂:0,,1)m

n a a m n N n *=>∈>、且;

②正数的负分数指数幂: 1

0,,1)m

n m

n a a m n N n a -*==>∈>、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质

①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );

②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q );

③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );.

3．指数函数的图象与性质

n 为奇数 n 为偶数

2

注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之

一．指数函数

1.y=a^x：

（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3） 函数图形都是下凹的。

（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。 （5） 函数总是通过（0，1）这点。

（6） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

二．对数与对数函数

（一）对数： 1.零和负数没有对数 2.三个对数恒等式

3.三个运算法则:(在a>0，a≠1的前提下)

1

(1) (2) (3)

4.两个换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下： (1) (2)

练习：1.解出下列的x 2.求下列函数的定义域：

(2)log3(x-1)=log9(x+5).

3.已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求4.求值:(1)

（二）对数函数的性质及应用

。 (2)

2

练习：

1. 若logm3.5>logn3.5(m，n>0，且m≠1，n≠1)，试比较m ，n的大小。

(-x2+2x+3)的值域和单调区间。

2. 求函数y=

3.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)。

(1)若函数f(x)的定义域为

分数指数幂

1、用根式的形式表示下列各式(a 0) 1（1）a5

（2）a

32

2、用分数指数幂的形式表示下列各式： 2（1）x4

y3

（2）mm

(m 0)

3、求下列各式的值

3

3（1）252

（2）2

25

4

4、解下列方程 3

（1）x 13 1

8

（2）2x4 1 15

分数指数幂（第

9份）答案

1

33

2、x2

y2, m2

3、（1）125 （2）

8125

4、（1）512 （2）16

指数函数（第

10份）

1、下列函数是指数函数的是（ 填序号） （1）y 4x

（2）y x4

（3）y ( 4)x

（4）y 4x2

。 2、函数y a

2x 1(a 0,a 1)的图象必过定点 。

3、若指数函数y (2a 1)x

在R上是增函数，求实数a的取值范围。4、如果指数函数f(x) (a 1)x

是R上的单调减函数，那么a取值范围是 （A、a 2 B、a 2 C、1 a 2 D、0 a 1

）

5、下列关系中，正确的是

中科教育2010年高中数学秋季讲义

指数函数、对数函数及幂函数

Ⅰ.指数与指数函数

1.指数运算法则：（1）aras?ar?s； （2）?ar??ars； （3）?ab??arbr；

srmn（4）a?a；

nm（5）a?mn?1nama,n奇 （6）nan????|a|,n偶

2. 指数函数：

指数函数 01 图 象 y?ax 表达式 定义域 值 域 过定点 单调性 【基础过关】

类型一：指数运算的计算题

我们关注每一位学生！

R (0,??) (0,1) 单调递减 单调递增 - 1 -

中科教育2010年高中数学秋季讲义

此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1、5?26的平方根是______________________

mn2、 已知a?2，a?16，则m的值为??????????????????( )

nA．3 B．4 C．a D．a

36b?(a?b)3、化简

1?a2?2ab?b2b?a的结果是????????????

分模块讲了高中 对数和指数非常常见的题型及解法

中小学1对1课外辅导专家

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号

分模块讲了高中 对数和指数非常常见的题型及解法

中小学 1 对 1 课外辅导专家

4. 重要公式： log a 1 = 0 , log a a = 1 。对数恒等式 a5. 对数的运算法则

log a N

=N。

如果 a > 0, a ≠ 1, N > 0, M > 0 ,有log a ( MN ) = log a M + log a Nlog a M = log a M log a N N m log a M n

log a n M m =

6. 对数换底公式：

log a N =

log m N log m a

( a > 0 ,a ≠ 1 ,m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 。

7. 两个常用的推论：

① log a b log b a = 1 , log a b log b c log c a = 1 。log a m b n = n log a b m ( a,b > 0 且均不为 1) 。

②

8. 对数函数的性质： a>1 0<a<1

y图 象

yx

o

1

o

1

x

(1)定义域： 0,+

名师精编 优秀教案

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

教学目标：

知识与技能 利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

过程与方法 能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用． 情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．

教学重点：

重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 难点 怎样选择数学模型分析解决实际问题．

教学支撑点：

指数函数、对数函数以及幂函数的有关知识；文字语言、数学语

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言和图形语言之间转换的能力；建立数学模型解决实际问题的意识。

蕴含的数学思想方法： 符号化，模型化。 教学导入

材料：澳大利亚兔子数“爆炸