matlab微分方程求解

《数学实验》报告

实验名称 常微分方程的求解 学 院 专业班级 姓 名 学 号

2013年5月

一、 【实验目的】

1. 学习在MATLAB中如何求解微分方程的方法；

2. 掌握基本的微分求解命令，学会结合学过的基础知识求解方程； 3. 熟练运用基本的解法即数值解法解微分方程； 4. 注意不同方法下求得微分方程的优缺点。

二、 【实验任务】

xsinxy?1. 求解微分方程为cosy。

''y2. 用数值方法求解下列微分方程，用不同颜色和线形将y和画在同一个

图形窗口里：

y?ty?y?1?2t初始时间：t0=0;终止时间：tf

三、 【实验程序】 1.

y=dsolve('Dy=x*sinx/cosy','x') 2.

定义的程序：

function xdot=exf(t,x)

xdot=[0 1;1 -t]*x+[0;1]*(1-2*t);

主程序：

2

'''

=?;初始条件：y|t?0?0.1 y

二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)用的是五点差分法。

《微分方程数值解法》期中作业实验报告

二阶椭圆偏微分方程第一边值问题

姓名： 学号： 班级：

2013年11月19

日

二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)用的是五点差分法。

二阶椭圆偏微分方程第一边值问题

摘要

对于解二阶椭圆偏微分方程第一边值问题，课本上已经给出了相应的差分方程。而留给我的难题就是把差分方程组表示成系数矩阵的形式，以及对系数进行赋值。解决完这个问题之后，我在利用matlab解线性方程组时，又出现“out of memory”的问题。因为99*99阶的矩阵太大，超出了分配给matlab的使用内存。退而求其次，当n=10，h=1/10或n=70，h=1/70时，我都得出了很好的计算结果。然而在解线性方程组时，无论是LU分解法或高斯消去法，还是gauseidel迭代法，都能达到很高的精度。

关键字：二阶椭圆偏微分方程差分方程out of memory LU分解高斯消去法gauseidel迭代法

一、题目重述

解微分方程：

(eyux(x,y))x (exuy(x,y))y (x y)ux(x,y) (x y)uy(x,y) u(x,y) ye xe e y x 1 e

发放

常系数非齐次线性微分方程一、

f (x) = e P (x) 型 m+P (x)sinωx]型 n

λx

二、 f (x) = eλ x[P(x)cosω x l

高等数学》 《高等数学》

土木103、104 、 土木

2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

发放

二阶常系数非齐次线性微分方程 :

y′′ + py′ +qy = f (x)y =Y+y*

(p,q为常数 为常数) 为常数

①

根据解的结构定理 , 其通解为齐次方程通解 非齐次方程特解

求特解的方法

— 待定系数法的待定形式, 的待定形式

根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解

代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木 2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

发放

设非齐次方程(2)的右端 定理 4 设非齐次方程 的右端 f (x)是几个函

( 数之和, 数之和 如 y′′ + P(x)y′ +Q x)y = f1(x) + f2(x)分别是方程, 而 y 与 y 分别是方程* 1 * 2

y′′ + P(x)y′ +Q x)y = f1(x) ( y′′ + P(x)y′ +Q x)y = f2(x) (的特解, 就是原方程的特解.

茂名学院

毕业论文

题目常微分方程数值解及其MATLAB实现

英文并列题目Numerical Solution of Ordinary Differential Equations and MATLAB Implementation

学院理学院专业数学与应用数学（师范）

班级数学05-1班学生李尧光

指导教师（职称）李伟勋（副教授）

完成时间2009年1月15日至2009 年6月10日

毕业论文任务书

数学系数学与应用数学（师范）专业数学05-1班学生李尧光

一、毕业论文课题常微分方程数值解及其MATLAB实现

二、毕业论文工作自2009 年1 月15 日起至2009 年 6 月10 日止

三、毕业论文进行地点茂名学院图书馆、学生宿舍

四、毕业论文的内容要求

1．内容要求

《常微分方程数值解及其MATLAB实现》主要介绍常微分方程初值问题的数值解法，探讨了采用单步法求解常微分方程初值问题的数值解，并运用MATLAB进行编程求解。

2．过程要求

（1）4月10日前按要求组织所需资料，完成提纲、摘要。

（2）5月26日前按要求查阅相关文献、撰写论文初稿。

（3）6月9日前按要求完成论文终稿、打印装订以及答辩前的准备工作。

（4）6月10日至14日为小组答辩，15日至16日为公开答辩

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第一讲 微分方程的基本概念 教学要求： 微分方程的基本概念以及微分方程阶的概念。 重 点：微分方程的基本概念，微分方程阶的概念 难 点： 微分方程的概念； 微分方程阶的概念 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 微分方程的问题举例 30分钟 3 微分方程概念以及阶数练 45分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习导数和高阶导数的概念 二、微分方程问题举例及引出 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映?利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究?因此如何寻找出所需要的函数关系?在实践中具有重要意义?在许多问题中?往往不能直接找出所需要的函数关系?但是根据问题所提供的情况?有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式?这样的关系就是所谓微分方程?微分方程建立以

第三篇 第十章 常微分方程（组）求解

Matlab常微分方程（组）求解 一、 求微分方程的解

（一） 相关函数（命令）及简介

1， dsolve('equ1','equ2',…):Matlab求微分方程的解析解。

equ1,equ2,…为方程（或条件）。写方程（或条件）时用Dy表示y关于自变量的一阶导数，用D2y表示y关于自变量的二阶导数，依次类推。

2， simplify(s):对表达式s使用maple的化简规则进行化简。 例如： syms x

simplify(sin(x)^2+cos(x)^2) ans=1

3,[r,how]=simple(s):由于Matlab提供了多种化简规则，simple命令就是对表达式s用各种规则进行化简，然后用r返回最简形式，how返回形成这种形式所用的规则。 例如： syms x

[r,how]=simple(cos(x)^2-sin(x)^2) r=cos(2*x) how=combine

4,[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0),求微分方程的数值解。 （1）其中的solver为命令

ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb之一

第十二章 微分方程

一、内容提要

（一）主要定义

【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程； 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.

【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.

一般形式为： Fx,y,y?,y??,?,y标准形式为：y?n??(n)??0.

??fx,y,y?,?,y?n?1?.

?【定义12.3】 微分方程的解 若将函数y???x?代入微分方程使其变成恒等式 即 F?x,??x?,???x????n???x????0,

或者 ??n??x????x?,?,??n?1??x?? f?x,?x,?????则称y???x?为该方程的解.

根据y?y?x?是显函数还是隐函数 ,分别称之为显示解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解)；不含有任意常数的解叫特解.

【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件.

例

【例1

manlab软件应用试验题目

专业 序号 姓名 日期

实验3 常微分方程数值解

【实验目的】

1．掌握用MATLAB求微分方程初值问题数值解的方法；

2．通过实例学习微分方程模型解决简化的实际问题；

3．了解欧拉方法和龙格库塔方法的基本思想。

【实验内容】

用欧拉方法和龙格库塔方法求下列微分方程初值问题的数值解，画出解的图形，对结果进行分析比较

(1) y' y 2x,

y(0) 1

2(0 x 1),精确解y 3e 2x 2;2x

(2) y' x y, y(0) 0或y(0) 1 (0 x 10).

【解】:手工分析怎样求解

【计算机求解】:怎样设计程序？流程图？变量说明？能否将某算法设计成具有形式参数的函数形式？

【程序如下】:

function f=f(x,y)

f=y+2*x;

clc;clear;

a=0;b=1; %求解区间

[x1,y_r]=ode45('f',[a b],1); %调用龙格库塔求解函数求解数值解；

%% 以下利用Euler方法求解

y(1)=1;N=100;h=(b-a)/N;

x=a:h:b;

for i=1:N

y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i));

end

figure(1)

plot(x1,y_r,'r*',x

manlab软件应用试验题目

专业 序号 姓名 日期

实验3 常微分方程数值解

【实验目的】

1．掌握用MATLAB求微分方程初值问题数值解的方法；

2．通过实例学习微分方程模型解决简化的实际问题；

3．了解欧拉方法和龙格库塔方法的基本思想。

【实验内容】

用欧拉方法和龙格库塔方法求下列微分方程初值问题的数值解，画出解的图形，对结果进行分析比较

(1) y' y 2x,

y(0) 1

2(0 x 1),精确解y 3e 2x 2;2x

(2) y' x y, y(0) 0或y(0) 1 (0 x 10).

【解】:手工分析怎样求解

【计算机求解】:怎样设计程序？流程图？变量说明？能否将某算法设计成具有形式参数的函数形式？

【程序如下】:

function f=f(x,y)

f=y+2*x;

clc;clear;

a=0;b=1; %求解区间

[x1,y_r]=ode45('f',[a b],1); %调用龙格库塔求解函数求解数值解；

%% 以下利用Euler方法求解

y(1)=1;N=100;h=(b-a)/N;

x=a:h:b;

for i=1:N

y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i));

end

figure(1)

plot(x1,y_r,'r*',x

P10习题

1.用Euler法和改进的Euler法求u’=-5u (0≤t≤1),u(0)=1的数值解，步长h=0.1,0.05;并比较两个算法的精度。

解：function du=Euler_fun1(t,u) du=-5*u;clear;

h=0.1;tend=1;N=1/h;t(1)=0;u(1)=1; t=h.*(0:N); for n=1:N

u(n+1)=u(n)+h*Euler_fun1(t(n),u(n)); end

plot(t,u,'*');hold on for n=1:N

v(1)=u(n)+h*Euler_fun1(t(n),u(n)); for k=1:6

v(k+1)=u(n)+h/2*(Euler_fun1(t(n),u(n))+Euler_fun1(t(n+1),v(k))); end

u(n+1)=v(k+1); end

plot(t,u,'o');

sol=dsolve('Du=-5*u','u(0)=1'); u_real=eval(sol); plot(t,u_real,'r');

将上述 h 换为0.05得：

由图像知道:

显然改进的Euler法要比Euler法