n维线性空间和n维向量空间同构

第4章矩阵的秩与n维向量空间

本章主要内容：n维向量的概念与线性运算向量组的线性相关线性无关的概念及其有关的重要理论向量组的最大无关组向量组的

秩矩阵的秩与向量组的秩之间的关系向量空间与子空间

基底与维数向量的坐标与坐标变换公式向量的内积正交

矩阵

教学目的及要求：理解n维向量的概念，掌握向量的线性运算．理解向量组

的线性相关，线性无关的定义及有关的重要结论．理解向

量组的最大无关组与向量组的秩，理解矩阵的秩与向量组

的秩之间的关系，并掌握用初等变换求向量组的秩．理解

基础解系的概念，了解n维向量空间及子空间，基底，维

数，坐标等概念．掌握向量的内积及其性质、向量的长度

及其性质、正交向量、正交向量组及其性质、正交规范化

方法以及正交矩阵及其性质．

教学重点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；向量组的正交规范化的方法；正交矩阵的概念及其性质．

教学难点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；施密特正交化方法及应用

教学方法：启发式

教学手段：讲解法

教学时间：8学时

教学过程：

1 4．1 矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征，是矩阵在初等变换下的一个不变量，它能表述线性代数变换的本质特性，矩阵的秩在研究n 维向量空间的空间结构及向量之间的相

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第3章 3.1n 维向量

n 维向量及向量组的线性相关性

由解析几何知，二维空间(平面)上的任一向量 a1i a2 j 可用一个二元有序数组 {a1 , a2 } 表示，称之为二维向量，记为 {a1 , a2 } 或 (a 1 , a 2 ) ;

三维空间中的任一向量 a1i a2 j a3 k 可用一个三元有序 数组 {a1 , a2 , a3 } 表示，称之为三维向量，记为 {a1 , a2 , a3 } 或 (a1 , a2 , a3 ) 。

在解析几何中，引入向量的概念，给研究点、线、面之间 的关系带来许多方便。同样地，在本节我们引入 n 维向量 的概念，将对研究某些问题带来极大的方便。

3.1.1

n 维向量的概念数域 F (一般为实数域 R 或复数域 C )中 n 个数

定义 1

a1 , a2 , , an 构成的有序数组，称为数域 F 上的一个 n 维向量。 a i

称为该向量的第 i 个分量 (i 1,2, , n) 。 分量是实数的向量称为实向量，分量是复数的向量称为复向 量。数域 F 上全体 n 维向量组成的集合记为 F 。特

线性空间的同构

由前面的讨论知道，给定数域F上的n维线性空间V的一个基?1,?2,V中的任意一个向量x由?1,?2,,?n后，

,?n唯一线性表示，即存在唯一的

,?n]a。反之，对任意一个向量,?n]a，所以在线性空间V和Fn之

a??a1a2an??Fn，使得x?[?1,?2,Ta?Fn，存在唯一的x?V，使得x?[?1,?2,间存在一一的线性映射。这样，V的一些性质在Fn中会有所体现，所以研究Fn的属性将对V中的问题有所刻画，由此我们给出同构的概念。

定义1 设U,V是数域F上的线性空间，T是从U到V的线性映射，如果T是一一映射且为满射，则称T为从U到V的同构映射。若线性空间U,V之间存在同构映射，则称U,V同构。若T为从U到U的同构映射，则称T为U的自同构映射。

例1 数域F上的n维线性空间V与Fn同构。

?01?22TR?x?R例2 定义T(x)??，，则为的自同构映射。 x??10?定理1 设T为从数域F上的线性空间U到V的线性映射，且为满射，则T为

U到V的同构映射充分必要条件是若T(x)??v有x??u。

证明 必要性 设T为U到V的同构映射，由于T是一一映射及T(?u)??v，故

有若T(x)??v，则x??u。

充分性 只

线性方程

第二节

线性方程

一,向量的概念定义 n 个数组成的有序数组 α = (a1 , a 2 , , a n ) 称为

维向量. 一个 n 维向量.的分量或坐标. a1 , a2 ,, an 称为向量 α 的分量或坐标.

行向量

α = (a1 , a 2 , , a n ) a1 a2 α = a n

列向量

或 α = (a1 , a 2 , , a n )T

线性方程

维向量. 一般用希腊字母α , β , γ 等表示 n 维向量.

分量全部为零的向量称为零向量, 分量全部为零的向量称为零向量,记为 θ . 向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等 加减法, 相等, 向量可视为特殊的矩阵 因此 向量的相等,加减法, 数乘等概念完全与矩阵相同 等概念完全与矩阵相同. 数乘等概念完全与矩阵相同设 α = (a1 , a 2 , , a n ),β = (b1 , b2 , , bn ),

则 α + β = ( a1 + b1 , a 2 + b2 , , a n + bn ),

kα = ( ka1 , ka 2 , , ka n ) .

线性方程

向量的线性运算满足以下八条运算律: 向量的线性运算满足以下八条运算律:

(1)

第六章 线性空间和欧式空间 §1 线性空间及其同构

一 线性空间的定义

设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素?和?，在V中都有唯一的一个元素?与他们对应，成为?与?的和，记为?????。在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素?，在V中都有唯一的一个元素?与他们对应，称为k与?的数量乘积，记为??k?，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。 加法满足下面四条规则：

1）???????；交换律

2）(???)?????(???)；结合律

3）在V中有一个元素0，对于V中任一元素?都有??0??（具有这个性质的元素0称为V的零元素）； 存在零元

4）对于V中每一个元素?，都有V中的元素，使得????0（?称为?的负元素）.存在负元 数量乘法满足下面两条规则：

5）1???； 存在1元 6）k(l?)?(kl)?. 数的结合律 数量乘法与加法满足下面两条规则：

7）(k?l)??k??l?； 数的分配律 8）

习题课

?集合?????映射??线 性 空 ?线性空间的维数,基,坐标,?线性空间的基变换(过度矩阵)与坐标变换?子空间与子空间的运算:并,和,直和?线性空间的同构

间 的 一．线性空间的同构（基本概念）

同构映射、同构映射的六个性质，两个线性空间同构 二．习题举例

例1：求线性空间的维数

n(n?1) 2n(n?1)2）数域P上所有上三角形矩阵组成的线性空间。

21）数域P上所有反对称矩阵组成的线性空间。

例2：证明：Pn的任意一个真子空间都是若干个n-1维子空间的交。 证明：设V是Pn的任意一个真子空间，不仿设 V=L(?1,?2,??r)，(r?n)

?b11x1?b12x2???b1nxn?0,?bx?bx???bx?0,2112222nn它是线性方程组?的解空间， ????????b(n?r)1x1???b(n?r)nxn?0,?记Wk为线性方程组bk1x1?bk2x2???bknxn?0，k=1,2,…,n-r 的解向量空间,显然是Pn的n-1维子空间，且V恰好是这n-r个n-1维子空间的交。

例3设?1,?2,??n是n维线性空间V中的n个向量，V中的每个向量

都可以由它们线性给出，求证：?1,?2,??n是V的一组基。

六维空间考试答案

1.资源帖子可以包含多少个种子？

有且仅有一个可以不在主楼

可以有两个以上必须在主楼

可以有两个以上可以不在主楼

有且仅有一个必须在主楼

2.发帖被审核，哪种行为是违规的？

PM相关版面的版主，请其注意后台审核

去水区发帖抱怨帖子审核速度太慢

喝杯茶慢慢等，版主也有不在的时候

3.下面哪个资源贴可以在六维发布？

涉及色情的电影贴

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资源内容不违规，六维目前没有的资源

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4.本站推荐用什么客户端下载上传？

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5.下列哪种投诉建议的途径是不合理的？

点帖子下的“报告”链接

PM 相关版主，说明情况

相关版面置顶帖有投诉专用帖

水区发帖大发牢骚

在投诉区发帖，条例清楚且附上相关链接或者截图

6.下列哪个说法不符合漫版版规之规定？

新番更新必须添加TAG，其他情形推荐添加

发布个人珍藏的精美动漫壁纸，选择“漫画画集”分类

同一主题帖两人之间版聊超过5次（10帖）即会被版主处罚发布漫画要求至少附图一张

7.为什么有的人无法进入高清区？

六维空间考试答案

高清区的门槛是1000积分，该会员积分不足1000

哇哦，系统BUG了吧

浏览器出了故障了吧，改天再来

8.根据其他资源区版规，下列哪种帖不会成为不规

国家高技术研究发展计划(863计划)地球观测与导航技术领域

“地理空间的三维建模和分析软件及其应用示范”

重点项目申请指南

一、指南说明

国家863计划地球观测与导航技术领域重点项目“地理空间的三维建模和分析软件及其应用示范”针对三维空间建模与分析应用的重大需求，突破三维空间实体的高效建模、一体化数据管理、高性能空间分析和可视化等关键技术，研发具有自主知识产权的高性能、高可用性的三维空间信息可视化分析组件，集成开发自主产权的三维GIS软件平台，并结合典型城市进行系统集成、综合测试与应用示范，占领新一代地理信息系统技术的战略制高点，实现我国三维地理信息系统技术的创新和跨越式发展。

为公正、公平、公开地选择项目牵头单位，充分发挥相关企业、科研院所及高等院校的优势，集成全国三维空间建模分析与应用技术的优势力量开展本项目的工作，特此发布本重点项目申请指南。

二、指南内容 1．项目名称

地理空间的三维建模和分析软件及其应用示范 2．项目总体目标

1

设计可扩展的真三维GIS软件体系结构，研究地上与地下目标统一的三维空间数据模型与数据结构；研究高效的三维空间索引、海量数据并行存储管理、高可用性的人机协同交互等关键技术；研发多源数据建模、模型转换与模

第六章 线性空间自测题

一、判断题(正确的结论打“√”，并给出简单证明，错误的打“×”，试给出反例)

1、定义在整数集上的实函数全体，按通常函数的运算构成实数域上的线性空间。 ( ) 2、设W是线性空间V的子空间，若存在?,??V，但??W且??W，则必有????W

( )

3、若线性空间V的任一向量均可由线性无关的向量组?1,?2,?,?r线性表出，则

dimV?r。 ( )

4、设由基?1,?2,?,?n过渡到基?1,?2,?,?n的矩阵为A，由基?1,?2,?,?n过渡到基

?1,?2,?,?n的矩阵为B，则由?1,?2,?,?n过渡到?1,?2,?,?n的矩阵为AB。

( )

5、设V是一个线性空间，且V?{0}，则它不能表示为它的两个非平凡子空间的并集。

( )

6、设由?1,?2,?,?n是线性空间V的一组基，则?1??2,?2??3,?,?n?1??n,?n??

第丑卷第三期 a 9 9年月

信G N

号L A

处

理N Gg

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_

l兔9 S 9

OE C

A

8

共面 N点三维逆透视变换及运动估计朱维乐成都 (电讯工程学院〔摘要〕由于摄象时光学系统产生的中N,

“

透视投影变换

’

是一种损失深度讯息的变换“

,

在三维景物分析

“

深度

’

这一重要讯息极难提取,

。

木文提出的图象序列”_

三维逆透视变换

”

方法“

,

对联系空间中共予’

点在任意运动前后的相继两幅透视图象的对应象面参数分离出以”,

以全局线性化处理

`

归一中位奇异值

的3

x

3

深度运在的高度非线性方程组可—动间存—矩阵所代表的刚性运动的运动矩阵方程及一“

组线性的

“

相容方程

并系统地得到了基于自由参考坐标系的.

共面 N点三维逆透视变换`

’,

的显式解

,

用以同时砍定物点在运动前后的深度讯息及它们实际经受的运动该显式解直接由象面坐标进行计算,,

算法简单稳定,

、

。

特别是由线性的

相容方程,

”

的最小方差解可

对带有测量误差的 N点象面坐标取最小方差估计确

不仅有效地利用了多点讯息

使深度讯息的恢复十分准

而且也给共面 N点对的自动匹配提供了新的方法

一在机器视觉的研究中息。

、

前、

,

三维景物的分析。

匹配

二弓纷

曰

、

理解所依赖的重要讯息之一是深度讯“

在摄象过程中,,

,

由实际三维物空间二维象面间的

透视投影变换

”

是一损