三角形内角和外角平分线定理
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三角形内外角平分线有关命题的证明及应用
在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目,本文将此类问题进行归纳总结,以利于进行求解.命题1如图1,点D是△ABC两个内角平分线的交点,则<D=90^o+1/2<A证明如图1,<1=<1’,<2=<2’,2<1+2<2+<A=180^。.<l+<2+<D=180^。.
2 8
中。擞 ( 1年 0初中 ) 7 7 2 1第1期 版 0
解题研究
三角形内外角平分线有关命题韵证明及应用4 1 2湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学张昌林 4 13在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目,本文将此类问题进行归纳总结,以利于进行求解.命题 1如图 1点 D是, AA C两个内角平分线的交 B点,a¥l ̄o=9。 0十l E A.
=9 0。一1 Z.
A.
点评
利用角平分线的定义和三角形的一个外角
等于与它不相邻两内角的和以及三角形的内角和等于10,以证明. 8。可命题 3如图 3, E是点
AA C一个内角平分线与一 B个外角平分线的交点,则 EC D
证明‘.’
如图 1,1= 1 2= 2,,
1 A=.
A.
图3
.
.
2 1+2 2+/
=1 0, 8。
(
1 2+LD=10.+ 8。 ①一得②
②
证明‘ .
如图 3,1= L
角平分线与等腰三角形
难舍难分的角平分线与等腰三角形
角平分线与等腰三角形有着密不可分的联系。在许多几何问题中,遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线,遇到角平分线又会想到构造等腰三角形。下面归类说明。
一、 角平分线+平行线→等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和平行线时,我们就可以寻找到等腰三角形。如图1(1)中,若AD平分,AD//EC,则是等腰三角形;如图1(2)中,若AD平分,DE//AC,则是等腰三角形;如图1(3)中,若AD平分,CE//AB,则是等腰三角形;如图1(4)中,若AD平分,EF//AD,则是等腰三角形。
图1
例1. 如图2,在中,AB=AC,在AC上取点P,过点P作线于点E,垂足为点F。求证:AE=AP
,交BA的延长
图2
简析:要证AE=AP,可寻找一条角平分线与EF平行,于是想到AB=AC,则可以作AD平分,此时。而,故AD//EF。故可知是等腰三角形。故AE=AP。
例2. 如图3,在中,、的平分线相交于点O,过点O作DE//AC,分别交AB、BC于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE的数量关系,并说明你的理由。
图3
简析:猜想:AD+CE=DE。理由如下:由于OA、OC分别是DE//AC,所以
和
。
训练题:如图4,在
中,AD平
角平分线与等腰三角形
难舍难分的角平分线与等腰三角形
角平分线与等腰三角形有着密不可分的联系。在许多几何问题中,遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线,遇到角平分线又会想到构造等腰三角形。下面归类说明。
一、 角平分线+平行线→等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和平行线时,我们就可以寻找到等腰三角形。如图1(1)中,若AD平分,AD//EC,则是等腰三角形;如图1(2)中,若AD平分,DE//AC,则是等腰三角形;如图1(3)中,若AD平分,CE//AB,则是等腰三角形;如图1(4)中,若AD平分,EF//AD,则是等腰三角形。
图1
例1. 如图2,在中,AB=AC,在AC上取点P,过点P作线于点E,垂足为点F。求证:AE=AP
,交BA的延长
图2
简析:要证AE=AP,可寻找一条角平分线与EF平行,于是想到AB=AC,则可以作AD平分,此时。而,故AD//EF。故可知是等腰三角形。故AE=AP。
例2. 如图3,在中,、的平分线相交于点O,过点O作DE//AC,分别交AB、BC于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE的数量关系,并说明你的理由。
图3
简析:猜想:AD+CE=DE。理由如下:由于OA、OC分别是DE//AC,所以
和
。
训练题:如图4,在
中,AD平
三角形的内角与外角
经典题讲解,一题多解,方法归纳。
三角形的内角与外角
经典题讲解,一题多解,方法归纳。
A x
方程思想解:设∠1=∠2=x,则∠3=∠4=2x,在△ABC中
x B D
2x
2x C
X+2X+63°=180° X=39° ∠DAC=63°-39°=24°
经典题讲解,一题多解,方法归纳。
C
E D 2 1
B
A
∠ADE=∠1+∠A ∠CDE=∠2+∠C ∠ADC=∠A+∠ABC+∠C
经典题讲解,一题多解,方法归纳。
C
D
∠A+∠B+∠C
B E
A
∠B+∠C
经典题讲解,一题多解,方法归纳。
转化思想C 1 D
B
A ∠ADC=180°-∠1-∠2
△ADC 中 △ABC中
∠DAB+∠B+∠BCD=180-∠1-∠2 ∠ADC=∠A+∠B+∠C
经典题讲解,一题多解,方法归纳。
D
A 1 B C
2 E
∠BAC>∠1 ∠1=∠2 ∠2>∠B ∠BAC>∠B 证不等关系常用外角性质,有时还需找准过渡量。
经典题讲解,一题多解,方法归纳。
转化:用外角性质将分散的条件聚拢。D
E
C
∠A+∠D
A
∠E+∠C B ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
经典题讲解,一题多解,方法归纳。
对顶三角形的性
3.6三角形外角定理
3 .6关注三角形的外角
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其 A 它角有什么关系?
能证明你的结论吗?
∠1+∠4=1800 ; ∠1>∠2; ∠1>∠3; ∠1=∠2+∠3.
2
3
B
4 1 C
D
证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理), ∠1+∠4=1800(平角的意义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 在这里,我们通过三角 形内角和定理直接推导 出两个新定理.像这样, 由一个公理或定理直接 推出的定理,叫做这个公 理或定理的推论.
A 2
3
B
4 1 C
D
推论可以当作定理使用.
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻的内角. △ABC中: ∠1=∠2+∠3; ∠1>∠2,∠1>∠3.
3
B
A 2
4 1 C
D
这个结论以后可以直接运用.
E
例1 已
三角形内角和定理教学反思
篇一:三角形内角和定理(1)教学反思
三角形内角和定理(1)教学反思
“三角形的内角和定理”我们在初一的时候就已经学会运用了,但是这个定理到底如何证明呢?这时,本节的目标就已经明确下来了。证明的过程中,通过课前准备好的三角形道具,让学生通过撕撕拼拼的方法,把三角形的三个内角拼成我们所熟悉的平角或者是同旁内角的关系,辅助线就自然而然的运用到其中。本节的重点和难点也就自然而然地被突破。
课后我认为本节中的成功之处有以下几点:
1、引入简单精炼,给了全体学生的自信心,能使所以学生的注意力迅速地集中到课堂上来;
2、利用拼图的方法来找到“三角形内角和定理”的证明方法的过程中,学生充分地配合,学生的思维得到了最大限度的发挥,而且采用此种方法来引出辅助线在几何中应用,巧妙地分散了本节的重点和难点,事实也证明学生的接受程度很好;
3、教师在多媒体上展示每个三角形都是用三种不同颜色的彩纸拼成的,学生在学习的过程中看起来会更加的清晰、醒目;
4、在本节课的整个流程中,师生之间的配合非常地默契,教师能够关注每一个学生,学生的思维也在短短的45分钟内得到了充分地发散和发挥,通堂的气氛活跃、轻松。
课后我认为本节课中的不足之处:
1、在学生拼图寻求“三角形内角和定理”证明之前的铺垫,
三角形的内角和与外角的性质
1、(2011 昭通)将一副直角三角板如图所示放置,使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为( )
A、45° B、60° C、75° D、85°
2、(2011 义乌市)如图,已知AB∥CD,∠A=60°,∠C=25°,则∠E等于( )
A、60° B、25° C、35° D、45°
3、(2011 台湾)如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系,下列何者正确( )
A、∠2=∠4+∠7 B、∠3=∠1+∠6
C、∠1+∠4+∠6=180° D、∠2+∠3+∠5=360°
4、(2011 台湾)若△ABC中,2(∠A+∠C)=3∠B,则∠B的外角度数为何( )
A、36 B、72
C、108 D、144
5、(2011 台湾)若钝角三角形ABC中,∠A=27°,则下列何者不可能是∠B的度数?( )
A、37 B、57
C、77 D、97
6、(2011 宁波)如图所示,AB∥CD,∠E=37
三角形的高中线角平分线练习题
三角形的高、中线、角平分线练习题
1、分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高。
2、三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是( )
A .直线
B .射线
C .线段
D .射线或线段
3、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是( )A .锐角三角形 B .直角三角形 C
.钝角三角形 D .不能确定
4、能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是
( )
A .中线
B .高
C .角平分线
D .以上三种情况都正确
5、如图若∠BAF=∠CAF ,则____是△ABD 的角平分线,
____是△ABC 的角平分线
6、如图AB ⊥AC ,则AB 是△ABC 的边____上的高,也是
△BDC 的边______上的高,也是△ABD 的边____上的高.
7、如图BD 、AE 分别是△ABC 的中线、角平分线,AC=10cm ,
∠BAC=700,则AD=_____,∠BAE=____.
F A B C
D A B C D A B C D
8、在△ABC 中,AE 是中线,AD 是角平分
线,AF 是
高,填空:
⑴BE =___=21_____;
⑵∠BAD=_____=21
_____;⑶∠AFB=_____=90
三角形三边关系、三角形内角和定理练习题
三角形三边关系、三角形内角和定理
一、三角形边的性质
1画出下列三角形是高
EF
B
2、已知:如图△ABC中AG是BC中线,AB=5cm AC=3cm,则△ABG和△ACG的周长的差为多少?△ABG和△ACG的面积有何关系?
3、三角形的角平分线、中线、高线都是( )
A、直线 B、线段 C、射线 D、以上都不对
4、三角形三条高的交点一定在( )
A、三角形的内部 B、三角形的外部
C、顶点上 D、以上三种情况都有可能
5、直角三角形中高线的条数是( )
A、3 B、2 C、1 D、0
6、判断:
(1) 有理数可分为正数和负数。
(2) 有理数可分为正有理数、正分数、负有理数和负分数。
7、现有10cm的线段三条,15cm的线段一条,20cm的线段一条,将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形?
二、三角形三边的关系
1、1.指出下列每组线段能否组成三角形图形
(1)a=5,b=4,c=3 (2)a=7,b=2,c=4
(3)a=6,b=6,c=12 (4)a=5,b=5,c=6
2.已知等腰三角形的两边长分别为11cm和5cm,求它的周长。
3.已知等腰三角形的底边长为8cm,
三角形三边关系、三角形内角和定理练习题
三角形三边关系、三角形内角和定理
一、三角形边的性质
1画出下列三角形是高
EF
B
2、已知:如图△ABC中AG是BC中线,AB=5cm AC=3cm,则△ABG和△ACG的周长的差为多少?△ABG和△ACG的面积有何关系?
3、三角形的角平分线、中线、高线都是( )
A、直线 B、线段 C、射线 D、以上都不对
4、三角形三条高的交点一定在( )
A、三角形的内部 B、三角形的外部
C、顶点上 D、以上三种情况都有可能
5、直角三角形中高线的条数是( )
A、3 B、2 C、1 D、0
6、判断:
(1) 有理数可分为正数和负数。
(2) 有理数可分为正有理数、正分数、负有理数和负分数。
7、现有10cm的线段三条,15cm的线段一条,20cm的线段一条,将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形?
二、三角形三边的关系
1、1.指出下列每组线段能否组成三角形图形
(1)a=5,b=4,c=3 (2)a=7,b=2,c=4
(3)a=6,b=6,c=12 (4)a=5,b=5,c=6
2.已知等腰三角形的两边长分别为11cm和5cm,求它的周长。
3.已知等腰三角形的底边长为8cm,