质量密度体积公式

篇一：圆锥体体积公式的证明

圆锥体体积公式的证明

证明需要几个步骤来解决：

1)圆柱体的微分单元是三棱柱, 而圆锥体的微分单元是三棱锥。

所以, 只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的1/3，即可知题目所求正确。

2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：

(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。 )

现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3.

证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。

3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理：祖暅原理。

注释：祖暅原理

祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖暅(gèng)首先提出来的。

祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实，他的发

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质量密度易错题汇编

漫画释义

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1．三个质量和体积都相等的空心木球、铁球和铝球（p铁>p铝>p水），在它们各自的空心部分都装满酒精之后，质量最大的是( )。

A．木球

B．铝球

C．铁球

D．一样大

3333

2．1米的水和1米的冰（p冰＝0.9×10千克／米）相比较，下列说法中正确的是( )。 A．冰和水的体积相同，水的质量比冰的质量小 B．冰和水的体积相同，冰的质量等于水的质量 C．冰的密度比水的密度小，冰的体积比水的体积大 D．冰的密度和质量都比水的密度和质量小

3．在研究物体质量跟物质种类是否有关的实验中，提供的材料：(1)0.1米3的铜块；(2)0.1米3的铝块；(3)0.2米3的铜块；(4)0.3米3的铝块。应选用的材料是( )。

A．(1)与(2)

B．(1)与(3) C．(2)与(4) D．(3)与(4)

4．一个容器最多能装600克水，则这个容器不能装( )。

A．600克煤油

2015年全国中考物理110套试题汇编:《质量和密度》

一、选择题

6．（3分）（2015?河池）两个实心物体a、b的体积与质量的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）A

A．a的密度是b的密度的2倍 b的密度是a的密度的2倍 B． a的密度是0.5×103kg/m3 C． D．a、b的密度与它们的质量、体积有关 8．（3分）（2015?钦州）如图所示，能正确反映同种物质的质量与体积关系的是（ ）B

A．B．C．D．

5．（3分）（2015?钦州）物理知识在生产生活中应用广泛，例如：①用水对汽车发动机进行循环散热；②用泡沫塑料作为救生衣材料；③用塑料制造插座和开关的外壳；④用盐水进行农业选种．其中，运用了密度性质的是（ ）C A．①② B． ②③ C． ②④ D．③④

7．(2015?岳阳)我国研制的“全碳气凝胶”是目前世界上密度最小的固态材料，其密度仅为0.16kg/m3，则（ ）B

A． 该材料体积越大，密度越大 B． 1m3的该材料质量为0.16kg

C． 该材料制成的物品带到太空，质量减小 D． 该材料适合做打桩用的重锤

10. (2015?广州) 规格相同的瓶装了不同的液体，放在横梁已平衡的天平上

圆柱体的体积公式：体积=底面积×高 ，如果用h代表圆柱体的高，则圆柱＝S底×h 长方体的体积公式：体积=长×宽×高

如果用a、b、c分别表示长方体的长、宽、高则 长方体体积公式为：V长=abc

正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长． 如果用a表示正方体的棱长，则 正方体的体积公式为V正＝a·a·a＝a3

锥体的体积=底面面积×高÷3 V 圆锥＝S底×h÷3 台体体积公式:V=[ S上+√(S上S下)+S下]h÷3 圆台体积公式:V=(R2+Rr+r2)hπ÷3 球缺体积公式＝πh2(3R-h)÷3 球体积公式：V＝4πR3/3

棱柱体积公式：V＝S底面×h＝S直截面×l （l为侧棱长,h为高) 棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*h 注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。 ------

几何体的表面积计算公式 圆柱体:

表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 圆锥体: 表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根] 体积: πRRh/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高,

质量 密度

一、宇宙粒子 原子结构

一 选择题

1（11无锡）7．下列实例中，材料的选用与描述的物理属性不相符的是 A．电线的线芯用铜制成，是因为铜的导电性好

B．房屋的天窗用玻璃制成，是因为玻璃的透光性好 C．水壶的把手用胶术制成，是因为胶木的导热性好

D．划玻璃的刀刃用金刚石制成，是因为金刚石的硬度大 答案：C

2（11福州）10．石墨烯又称单层墨，它仅由一层碳原子组成，具有许多奇特的属性，包括极强的拉力，优良的导电性和导热性，硬度最大，熔点超过3000℃等，这种高新材料有可能代替硅成为新的半导体材料。发现石墨烯的两位俄裔科学家因此获2010年诺贝尔物理学奖。根据石墨烯的特性，你认为石墨烯不能用来制成（ ）

A．高压输电线 B．坚韧的防弹衣 C．发光二极管 D．保温隔热材料 答案：D

3（11温州）4．科学家最新研制了一款微型无人侦察机——“蜂鸟”。为了减轻其质量，该侦察机的材料应具有的特点是 A．硬度高 8．熔点低 C．密度小 D．导热性好 答案：C

4(山东临沂）10.下列说法正确的是

A.机械钟表中的发条可以储存时钟运转所需要的能量，主要是由于制成发

1 质量和密度练习

一、选择题：

1、下列说法正确的是（ ）

A ．一块砖切成体积相等的两块后，砖的密度变为原来的一半

B ．铁的密度比铝的密度大，表示铁的质量大于铝的质量

C ．铜的密度是8.9 x 103kg/m 3 ，表示lm3铜的质量为8. 9 x 103kg

D ，密度不同的两个物体，其质量一定不同

2、图所示的是A 、B 两种物质的质量m 与体积V 的关系图像，由图像可知，A 、B 两种物质的密度ρA 、ρB 和水的密度ρ水之间的关系是 ( )

A ．ρB>ρ水>ρA

B ．ρB>ρA>ρ水

C ．ρA>ρ水>ρB

D ．ρ水>ρA>ρB

3、在“用天平称物体质量”的实验中，张强同学用已调节好的天平在称物体质量时，通过增、减砝码后指针偏在分度盘中线左边一点，这时应该（ ）

A ．把横梁右端螺母向右旋出一些

B ．把横梁右端螺母向左旋进一些

C ．把天平右盘的砝码减少一些

D ．向右移动游码

4、一个物体的质量是300g ，这个物体可能是（ ）

A ．一张课桌

B ．一本书

C ．一支铅笔

D ．一个学生

5、一个量程为100ml 的量筒竖直放在水平桌面上，lOOml 刻度线以上还可以容水15ml 。现给量筒

质量 密度

一、宇宙粒子 原子结构

一 选择题

1（11无锡）7．下列实例中，材料的选用与描述的物理属性不相符的是 A．电线的线芯用铜制成，是因为铜的导电性好

B．房屋的天窗用玻璃制成，是因为玻璃的透光性好 C．水壶的把手用胶术制成，是因为胶木的导热性好

D．划玻璃的刀刃用金刚石制成，是因为金刚石的硬度大 答案：C

2（11福州）10．石墨烯又称单层墨，它仅由一层碳原子组成，具有许多奇特的属性，包括极强的拉力，优良的导电性和导热性，硬度最大，熔点超过3000℃等，这种高新材料有可能代替硅成为新的半导体材料。发现石墨烯的两位俄裔科学家因此获2010年诺贝尔物理学奖。根据石墨烯的特性，你认为石墨烯不能用来制成（ ）

A．高压输电线 B．坚韧的防弹衣 C．发光二极管 D．保温隔热材料 答案：D

3（11温州）4．科学家最新研制了一款微型无人侦察机——“蜂鸟”。为了减轻其质量，该侦察机的材料应具有的特点是 A．硬度高 8．熔点低 C．密度小 D．导热性好 答案：C

4(山东临沂）10.下列说法正确的是

A.机械钟表中的发条可以储存时钟运转所需要的能量，主要是由于制成发

卧罐体积计算公式

设卧式储罐内部为椭圆柱，椭圆的两半轴为a（宽度方向），b（高度方向），长度为L，内部介质的高度为h，则内部介质体积V1的计算公式与h的关系推导如下：

V1=2L∫(b-h,b)√(b^2-x^2)dx

=(2aL/b)[(x/2)√(b^2-x^2)+(b^2/2)arcsin(x/b)]| (b-h,b) =(2aL/b)[πb^2/4-(b-h)√(2bh-h^2)/2-(b^2/2)arcsin(1-h/b)]

以上计算是假设卧式储罐为平封头时的情况，当卧式储罐带有两个半椭球封头时，内部介质体积计算公式需要修正：

设椭球封头的三个半轴为a（宽度方向），b（高度方向），c（长度方向），内部介质的高度为h，则椭球封头处内部介质体积V2的计算公式与h的关系推导如下：

V2=4∫(b-h,b)∫(0,a√(1-x^2/b^2))c√(1-x^2/b^2-y^2/a^2)dydx =(4c/a)∫(b-h,b)∫(0,a√(1-x^2/b^2))√(a^2-a^2x^2/b^2-y^2)dydx =(4c/a)∫(b-h,b)y√(a^2-a^2x^2/b^2-y^2)/2

+ arcsin(y/√(a^2-a^2x^2/b^2

体积与面积公式

多 面 体 的 体 积 和 表 面 积

体积与面积公式

f 一个组合三角形的面积

V=

棱

锥

n 组合三角形的个数 O 锥底各对角线交点

1 F h 3 S= n f+ F S1= n f

Go=h/4

F1, F2 两平行底面的面积 h 底面间距离棱台

V=

a 一个组合梯形的面积 n 组合梯形数

1 h( F1+ F2+ F1F2 ) 3 S= an+ F1+ F2 S1= an

G0=

h F1+ 2 F1 F2+ 3 F2 4 F1+ F1 F2+ F2

圆柱：

R 外半径 r 内半径圆柱和空心圆柱∧管∨

V=πR 2 h S= 2πR h+ 2πR 2 S1= 2πR h空心直圆柱： V=πh( R 2 r 2 )= 2πRpth S= 2π ( R+ r )h+ 2π ( R 2 r 2 ) S1= 2πh( R+ r )

t 柱壁厚度 p 平均半径 S1=内外侧面积

Go=h/2

h1 最小高度斜线直圆柱

V=πr 2

h1+ h2 2 1 ) cosα

h2 最大高度 r 底面半径

G0= GK=

S=πr (h1+ h2 )+πr 2 (1+ S1=πr (h1+ h2 )

h1+ h2 r 2tg 2α+ 4 4(h1+

推导

第十课时

教学目标：

知识与能力：使学生理解求圆锥体积的计算公式．

过程与方法：会运用公式计算圆锥的体积．

情感态度和价值观：：培养学生初步的空间观念和思维能力；让学生认识“转化”的思考方法。

教学重点

圆锥体体积计算公式的推导过程．

教学难点

正确理解圆锥体积计算公式．

教学过程：

一、铺垫孕伏

1、提问：

（1）圆柱的体积公式是什么？

（2）投影出示圆锥体的图形，学生指图说出圆锥的底面、侧面和高．

2、导入：同学们，前面我们已经认识了圆锥，掌握了它的特征，那么圆锥的体积怎样计算呢？这节课我们就来研究这个问题．（板书：圆锥的体积）

二、探究新知

（一）指导探究圆锥体积的计算公式．

1、教师谈话：

下面我们利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法．老师给每组同学都准备了两个圆锥体容器，两个圆柱体容器和一些沙土．实验时，先往圆柱体（或圆锥体）容器里装满沙土（用直尺将多余的沙土刮掉），倒人圆锥体（或圆柱体）容器里．倒的时候要注意，把两个容器比一比、量一量，看它们之间有什么关系，并想一想，通过实验你发现了什么？

2、学生分组实验

学生汇报实验结果

①圆柱和圆锥的底面积相等，高不相等，圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒，倒了一次，又倒了一些，才装满．

推导

②圆柱和圆锥的底面积不相等，高相等，