多项式的最大公因式辗转相除法

. .

.页脚多项式的最大公因式

问题：

（一）. 多项式的最大公因式的定义是什么？

设f(x)与g(x)是P[x]中两个多项式，P[x]中多项式d(x)称为f(x)与g(x)的最大公因式，如果满足下面两个条件：

(1).d(x)是f(x)与g(x)的公因式；

(2).f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式。

我们约定用( f(x)，g(x))表示首项系数为1的那个最大公因式。

定理1：对于P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x)，v(x)使

d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)

引理：设f(x),g(x),q(x),h(x)∈F(x),g(x)≠0，且

f(x)=g(x)q(x)+h(x)

则f(x)与g(x)与q(x)与h(x)有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且

( f(x)，g(x))=( g(x)，h(x))

定理2：F(x)的任意两个多项式f(x)与g(x)一定存在最大公因式。

（二）.用来求最大公因式的方法

(1).辗转相除法:

如果f(x),g(x)∈P[x],g(x)≠0，且q q(q),q q(q)∈P[x],使

f(

u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x))中u(x)，v(x)的

求法探讨

摘要：本文主要运用了高等代数中多项式的最大公因式理论，对最大公因式的判别公式(f(x),g(x))?u(x)f(x)+v(x)g(x)中的u(x)，v(x)进行了求法探讨，并给出了四种求u(x)，v(x)的方法：辗转相除法，递推公式法，矩阵的初等变换法以及待定系数法．

关键字：多项式；系数多项式；最大公因式；Bezout等式

关于两个多项式的最大公因式，高等代数中有一个重要的定理（最大公因式的存在表示定理或倍式和定理）：对于?[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在?[x]中存在一个最大公因式d(x)．使得在相差一个零次因式的情况下，f(x)，g(x)的最大公因式是唯一的（我们用(f(x),g(x))表示首项系数为1的那个最大公因式），且(f(x),g(x))可以表成f(x)，g(x)的一个组合，即存在?[x]中多项式u(x)，v(x)使

(f(x),g(x))?u(x)f(x)?v(x)g(x) （*）

公式（*）称为最大公因式的判别公式或Bezout等式；（*）中的u(x

多项式最大公因式性质定理及求解方法

作者：xxx 指导教师：xxx

摘 要 对多项式最大公因式理论中的重要性质定理进行总结归纳及对其中一个性质定理的结构进行进一步的研究，以及研究最大公因式的几种求解方法：因式分解法；辗转相除法；矩阵的初等变换法．

关键词 公因式 最大公因式 辗转相除法 初等变换

最大公因式是多项式理论的核心概念，最大公因式的性质在多项式理论的研究中具有关键作用，本文将分三个方面阐述这些内容：首先总结归纳最大公因式的性质定理；其次对其中的一个重要性质定理作进一步的研究；最后将对最大公因式的求解方法：因式分解法、辗转相除法、矩阵的初等变换法进行研究．

本文所考虑的多项式均为数域F上的一元多项式环F[x]内的多项式．

§1．最大公因式的定义及性质

首先我们给出最大公因式的定义：

定义1：设d(x)是多项式f(x)与g(x)的一个公因式，若是d(x)能被f(x)与g(x)的每一个公因式整除，那么d(x)叫做f(x)与g(x)的一个最大公因式．以(f(x),g(x))表示f(x)与g(x)在F[x]中最高项系数为1的最大公因式．

例1．如果f(x)?g(x)?q(x)，那么g(x)是f(x

维普资讯

4 2

2 0 0 2年第 6期数学通报

用“更相减损术”求最大公因式胡泰培 ( I l I乐山师范学院数学系 6 1 4 0 0 4 )“更相减损术”是我国占代数学中求二整数最大公因数的方法 .古典名著《九章算术》卷一在谈到分数分子分母约去公数有“置分母子之数 . 以少减多 .更相减损求其等也以等数约之 .”这的“等数”就是所说分母分子的最大公因数所谓“更相减损求其等”就是置两个整数，以少减多，反复相减，直到二数相等就得到它们的最大公因数 .例如，求9 l, 4 9的最大公因数 ( 9 1, 4 9 ) .我们有( 9 1, 4 9 )= ( 9 1—4 9, 4 9 )= ( 4 2, 4 9 ) ( 4 2, 7 )=……= ( 7, 7)= 7=

同的最大公园式 .事实上，当‰≠0时，“ )

互

素.因而 l厂 ( ), g ( ) f ( ), ( )有相同的公式，从而也有相同的最大公因式 . 如上引入的多项式一行矩阵，呵执 r矩阵的初等行变换： l 短阵的行可以相交换； Ⅱ 矩阵的某行可乘一非零数； 【 l l 矩阵某行的倍可加于另一行 .

刘徽说：“其所以相减者，皆等数之重叠 .”数9 1, 4 9都是等数 7的重叠 .

贵州师范大学求是学院本科期末论文（设计）

期末论文（设计）题目 《浅谈多项式因式分解的方法》

学生姓名： 何 娜 科任教师： 龙 伟 锋 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2012级 学 号： 122008011013

2015年 12 月 10 日

第 1 页 共 15 页

多项式因式分解的方法

摘要：在数学学习过程中以及上个学期的实习实践中（上初三的数学课），常常遇到多项式因式分解问题，本文对一元多项式因式分解的方法进行了初步的探索，归纳了一元多项式因式分解的12种方法，给出具体实例，并对每种方法加以评论。 关键词：一元多项式，因式分解

多项式在高等代数中的重要性使我们有必要对多项式进行深入研究。在高等代数中已经证明了数域上的多项式环内的每一个n?n＞0?次多项式都可以分解成这个多项式环内不可约多项式的乘积，并且表达式唯一（因式次序及零次因式的差异除外）。本文将对多项式因式分解的方法进行总结归纳。

多项式除法示例 多项式除以多项式的一般步骤：

多项式除以多项式一般用竖式进行演算

（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．

（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．

（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式

如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除

多项式除以多项式的运算

多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算(x?9x?20)?(x?4) 规范解法

2 ∴ (x2

?9x?20)?(x?4)?x?5.

解法步骤说明： （1）先把被除式x（2）将被除式x22?9x?20与除式x?4分别按字母的降幂排列好．

22 ?9x?20的第一项x除以除式x?4的第一项x，得x?x?x，这就是商的第一项．

（3

●

解题技巧与方法

●静

●

多项或 除法獬高次余◎黄嘉威 (暨南大学信息科技学院数学系，广东 广州 5 1 0 6 3 2 )

【摘要】本文研究了高次同余的计算问题，利用公式和递推的方法，推广了多项式除法的结果。

除P .展开即：

【关键词】同余；费马小定理；组合数；多项式1 .引言

’

定理2 . 1 X m p s∑ (一 1 ) c . m p - ( p - 1 ) i ( m o d p )用一个例子比较一下这个递推式与欧拉定理 aE 1 (m0 d n) .¨

由费马小定理开始高次同余有了计算方法，欧拉定理

葺 2x一

(m0 d 7 ) 4 4暑

(m 0 d 72 )

把它推广到合数情况， C a r m i c h a e l函数更使同余运算更进一

前者能在更小次方的情况下递推，更多的情况下 m p小于( P一1 ) P一+m.

步.

本文将透过多项式除法让高次同余运算得到更大的发展.

要是用前者递推高次同余，没能一步过的话会很麻烦，欧拉定理却能一步过 .。 0o

2 .费马小定理的推广费马小定理，即当。与 P互素，且 P为素数时，有o1(m o d D) .

掌 2x 9 4一 B 8三 3 x 8 8— 2x B 2鲁…

●

解题技巧与方法

●静

●

多项或 除法獬高次余◎黄嘉威 (暨南大学信息科技学院数学系，广东 广州 5 1 0 6 3 2 )

【摘要】本文研究了高次同余的计算问题，利用公式和递推的方法，推广了多项式除法的结果。

除P .展开即：

【关键词】同余；费马小定理；组合数；多项式1 .引言

’

定理2 . 1 X m p s∑ (一 1 ) c . m p - ( p - 1 ) i ( m o d p )用一个例子比较一下这个递推式与欧拉定理 aE 1 (m0 d n) .¨

由费马小定理开始高次同余有了计算方法，欧拉定理

葺 2x一

(m0 d 7 ) 4 4暑

(m 0 d 72 )

把它推广到合数情况， C a r m i c h a e l函数更使同余运算更进一

前者能在更小次方的情况下递推，更多的情况下 m p小于( P一1 ) P一+m.

步.

本文将透过多项式除法让高次同余运算得到更大的发展.

要是用前者递推高次同余，没能一步过的话会很麻烦，欧拉定理却能一步过 .。 0o

2 .费马小定理的推广费马小定理，即当。与 P互素，且 P为素数时，有o1(m o d D) .

掌 2x 9 4一 B 8三 3 x 8 8— 2x B 2鲁…

第4章 《多项式的运算》上课教案

第1课时

课题：4.1多项式的加法和减法(1) 教学目的：

1、进一步掌握整式的概念及单项式和多项式的概念。 2、会进行多项式的加法减运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。

教学重点：会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理。

教学难点：正确地去括号、合并同类项，及符号的正确处理。

教学方法：尝试法，讨论法，归纳法。 教学过程：

一、知识准备：

1、填空：整式包括 单项式 和 多项式 。

2、单项式

?2xy332的系数是?2、次数是 3 。

323、多项式3m?2m?5?m是 3 次 4 项式，其中三次项系数是 3 常数项是 -5 。

二、探索练习：

1、如果用a 、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 10a+b ,交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的两位数为 10b+a 。这两个两位数的和为 11a+11b 。

2、如果用a 、b、c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，那么这个三位数可以表示为 100a+10b+c ,交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位数为 100c+10b+

篇一：多项式乘多项式试题精选(二)附答案

多项式乘多项式试题精选（二）

一．填空题（共13小题）

1．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要C类卡片 _________ 张．

2．（x+3）与（2x﹣m）的积中不含x的一次项，则m=．

3．若（x+p）（x+q）=x+mx+24，p，q为整数，则m的值等于

4．如图，已知正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的大长方形，则需要A类卡片 _________ 张，B类卡片 _________ 张，C类卡片 _________ 张．

2

5．计算：

（﹣p）?（﹣p）=

（6+a）= _________ ．

6．计算（x﹣3x+1）（mx+8）的结果中不含x项，则常数m的值为 _________ ．

7．如图是三种不同类型的地砖，若现有A类4块，B类2块，C类1块，若要拼成一个正方形到还需B类地砖

2223=2xy?（）=﹣6xyz；（5﹣a）2

8．若（x+5）（x﹣7）=x+mx+n，则m=，n=．

9．（x+a）（x+）的计算结果不含x项，则a的值是

10．一块长m米，宽n米的地毯，长、宽各裁掉2米