解析几何100题

1 4（（2011巢湖一检）已知直线1l y kx =+：，椭圆E ：22

21(0)9x y m m

+=>．（Ⅰ）若不论k 取何值，直线l 与椭圆E 恒有公共点，试求出m 的取值范围及椭圆离心率e 关于m 的函数式；

（Ⅱ）当k =时，直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，若2AM MB =uuu r uuu r ,求椭圆E 方程．

解：(Ⅰ)∵直线l 恒过定点M(0，1)，且直线l 与椭圆E 恒有公共点，∴点M(0，1)在椭圆E 上或

其内部，得()22

201109m m

+≤>，解得13m m ≥≠，且.(联立方程组，用判别式法也可)当13m ≤<时，椭圆的焦点在x

轴上，e =；当3m >时，椭圆的焦点在y

轴上，e =.

∴

)()133.m e m ≤<=??>??

， (Ⅱ)

由222

119y x y m ?=+????+=??，消去y

得222(10)9(1)0m x m +++-=. 设11()A x y ，，22()B x y ，

，则12x x +=，21229(1)10

m x x m -=+②. ∵M(0，1)，∴由2AM MB = 得122x x =- ③. 由①③得

2x =④. 将③④代入②得，

2

229(1)210m

x2y23?1(a?2)的离心率为1.（2013年卓越联盟第10题）设椭圆2?，斜率为k的直

a43线l过点E(0,1)且与椭圆交予C,D两点

（I）求椭圆方程；

（II）若直线l与x轴相交于点G，且GC?DE，求k的值；

（III）设A为椭圆的下顶点，kAC,kAD分别为直线AC,AD的斜率，证明对任意的k，恒有kAC?kAD??2.

c2a2?412x2y2?,a?6，椭圆方程??1； 解答：（1）2?2aa364（2）本问直接处理GC?DE运算量大，用CD,GE的中点重合简单.

y?kx?1?22,(2?3k)x?6kx?9?0， ?22?2x?3y?12?0?3k16'CD中点x0?GE;kx?1?0x??，中点，由中点重合得； k??02?3k22k3（3）设C?x1,y1?,D?x2,y2?,A?0,?2?, kACkADy1?2y2?2kx1?3kx2?3k2x1x2?3k(x1?x2)?9???????2得证.

x1x2x1x2x1x22. （2013年华约第3题）3 已知k?0，从直线y?kx和y??kx上分别选取点满足OAOB?1?k2，其中O为坐标原点，AB中点MA(xA,yA),B(xB,yB)，xAxB?0，的轨迹为曲

汤建良：《解析几何》课程教学大纲

深圳大学数学与计算科学学院

课程教学大纲

（2006年10月重印版）

课程编号 22143102

课程名称 解析几何

课程类别 专业必修

教材名称 解析几何

制 订 人 汤建良

审 核 人 刘则毅

2005年 4 月修订

- 1 -

汤建良：《解析几何》课程教学大纲

一、课程设计的指导思想

（一）课程性质 1．课程类别：专业必修课 2．适应专业：数学与应用数学专业（应用数学方向） 3．开设学期：第壹学期 4．学时安排：周学时3，总学时42 5．学分分配：3学分 （二）开设目的 解析几何是中学几何的继续与发展，既有深刻的数学理论意义，也有广泛的实际应用价值。在实际工程中的许多重要领域都有它的应用价值。通过本课程的学习，同学们还可以加深对中学三角和几何学的认识与理解，有助于解决一些初等数学问题。解析几何的一些思想方法在数学中具有普遍性。通过本课程的学习，能使学生提高数学素养，并为学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 （三）基本要求 掌握解析几何的基本理论与方法，深刻理解解

篇一：解析几何知识点总结

抛物线的标准方程、图象及几何性质：p?0

1、定义：

2、几个概念：

① p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，故p为正数；1

② ；

4

③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 ④ 通径：2p

3、如：AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN?l，N为垂足，BD?l，AH?l，D，H为垂足，求证：

（1）HF?DF； （2）AN?BN； （3）FN?AB；

（4）设MN交抛物线于Q，则Q平分MN；

2

（5）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y2??p，x1x2?

12

p； 4

（6）1?1

|FA|

|FB|

?

2； p

（7）A,O,D三点在一条直线上

2

（8）过M作ME?AB，ME交x轴于E，求证：|EF|?1|AB|，|ME|?|FA|?|FB|；

2

1、 双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|e(e注意： |

F1F2|）的点的轨迹。

?1)的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。

PF1|?|PF2|?2a与|PF2|?|PF1|?2a（2a?|F1F2

椭圆基础训练题

1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x轴上，则此椭圆的标准方程是（ ） （A）

x25＋

y23＝1（B）

x225＋

y29＝1 （C）

x23＋

y25＝1 （D）

x29＋

y225＝1

2．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ） （A）

122

（B）

2

22（C）

32（D）

3233

3．椭圆mx＋y＝1的离心率是，则它的长半轴的长是（ ）

12 （A）1 （B）1或2 （C）2 （D）4. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e=

（A） （C）

xx2或1

23，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。

x2362++

yy2202=1 （B）=1 （D）

13xx2362++

yy2202=1或=1或

32020x2++

y236y2=1 =1

3209595595. 椭圆25x2＋16y2=1的焦点坐标是（ ）。 （A）(±3, 0) （B）(±6. 椭圆

xa22, 0) （C）(±, 0) （D）(0, ±)

＋

yb22=1 (a>b>0)上任意一点到两个焦点的距离分别为d1,d2,焦距为2c，若d1, 2c, d2,

成等差数列则椭圆的

解析几何（双曲线、抛物线）

一、选择题（共8题，每题5分）

1.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是（ ）

A ．

28y x =- B ．28y x = C ．

2

4y x =- D ．

2

4y x = 2.在圆.0622

2=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的 面积为（ ）

A ．25

B ．210 C

． D ．220

3.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b

y a x 的两条渐近线均和圆C 0562

2=+-+x y x :相切,且双曲线的右焦

点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为（ ）

A ．22154x y -=

B ．22

145x y -= C ．22136x y -= D ．22

163x y -=

4.已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB 为C 的实轴长的 2倍，C 的离心率为（ ）

（A ）2 （B ）3（C ） 2 （D ） 3

5.已知抛物线C ：x y 42

=的焦点为F ，直线y=2x-4与C

空间解析几何

基本知识 一、向量

1、已知空间中任意两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，则向量

M1M2?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)

2、已知向量a?(a1,a2,a3)、b?(b1,b2,b3)，则 （1）向量a的模为|a|???????a1?a2?a3

222（2）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3) （3）?a?(?a1,?a2,?a3) 3、向量的内积a?b

（1）a?b?|a|?|b|?cos?a,b? （2）a?b?a1b1?a2b2?a3b3

其中?a,b?为向量a,b的夹角，且0??a,b???

注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积a?b（遵循右手原则，且a?b?a、a?b?b）

??????????????????????????ia?b?a1??ja2b2??ka3 b3??b1??5、（1）a//b?a??b?????a1a2a3 ??b1b2b3（2）a?b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0 二、平面

100

1、平面的点法式方程

已知平面过点P(x0,y0,z0)，且法向量为n?(A,B,C)，则平面方程为

《解析几何》教学大纲

一． 总 则

1． 本课程的教学目的和要求：

解析几何和其他自然科学一样，是在生产实践中产生和发展起来的，有着丰富的内容和实际背景，广泛应用于工程技术，物理、化学、生物、经济及其他领域。本课程的教学目的在于培养学生运用解析方法解决几何与实际问题的能力，掌握空间几何课程的基本知识和内容，并为进一步学习后继课程作准备。 2． 本课程的主要内容： 第一章 矢量与坐标 第二章 轨迹与方程 第三章 平面与空间直线

第四章 柱面、椎面、旋转曲面与二次曲面 第五章 二次曲线的一般理论 3． 教学重点与难点：

重点：空间直线、平面、常见二次曲面和平面、一般二次曲线的理论。 难点：已知条件求轨迹。

4． 本课程的知识范围以及与相关课程的关系：

本课程主要以线性代数为工具，研究空间解析几何，即研究空间中的直线、平面、二次曲线及平面上的二次曲线。解析几何与高等代数、数学分析有着密切的关系。在数学分析中，常常用到解析几何的方法图形的许多性质，并且解析几何为代数中不少对象提供了具体的几何解释，给代数以直观的几何形象，加强了数量关系的直观鲜明性，使几何、分析、代数构成了一个不可分

盐城师范学院考试试卷

2007 - 2008 学年 第一学期

数学科学学院 数学与应用数学专业《 解析几何》试卷A

标准答案及参考标准

一、单项选择题（本大题共5小题,每小题2分,共10分）

1-5 CDAAB

二、填空题(本大题共5小题10空,每空3分,共30分)

1.

6, 1,1, 1 或 1, 1,1 . 2. 3x 3y 2 0.

3. 9, 9, 9且 9. 4. x 3y z 5 0.

x25.

y2z2

9 4

1，4 9. 三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”.本大题共5小题，每题2分，共10分）

1-5 √×√××

四、计算题（本大题共3小题，每题10分，共30分）

1. 解 任取母线

x 11 y 1 1 z 1

2

上一点M x1,y1,z1 ，则过M的纬圆方程为 x x1 y y1 2 z z 1 0, x2 y2 z 1 2 x222 ……………………4’ 1 y1 z1 1 .

又M在母线上，有 x1 11 y1 1 1 z1 1

2

t .， ……………………7’ 联立消去参数有

5x2 5y2 2z

第一章 向量代数

习题1.1

1. 试证向量加法的结合律，即对任意向量a,b,c成立

(a?b)?c?a?(b?c).

证明：作向量AB?a,BC?b,CD?c（如下图），

D c

b?c a?b

AC

b B

a 则 (a?b)?c?(AB?BC)?CD?AC?C?D ,ADa?(b?c)?AB?(BC?CD)?AB?BD?AD,

故(a?b)?c?a?(b?c).

2. 设a,b,c两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是a?b?c?0.

证明：必要性，设a,b,c的终点与始点相连而成一个三角形?ABC，

C

c b

A

a B

则a?b?c?AB?BC?CA?AC?CA?AA?0. 充分性，作向量AB?a,BC?b,CD?c，由于

0?a?b?c?AB?BC?CD?AC?CD?AD,所以点A与D重合，即三向量

a,b,c的终点与始点相连构成一个三角形。

3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。

证明：设三角形?ABC三边AB,BC,CA的中点分别是D,E,F（如下图），并且记

CF c

E

b

A

a D B

a?AB,b?BC,c?CA，则根据书中例1.1.1，三条中线表示的向量分别是

CD?111(c?b)