解线性方程组的高斯消去法实验报告

本文档介绍了Guass消元法解法的思路与原理,并且包含了matlab程序代码。

西京学院数学软件实验任务书

本文档介绍了Guass消元法解法的思路与原理,并且包含了matlab程序代码。

实验一实验报告

一、实验名称：线性方程组高斯消去法。

二、实验目的：进一步熟悉理解Guass消元法解法思路，提高matlab编程能力。

三、实验要求：已知线性方程矩阵，利用软件求解线性方程组的解。

四、实验原理：

消元过程：

(0)(0)设a11，做（消去第i个方程组的xi） 0，令乘数mi1 ai(10)/a11

操作mi1×第1个方程+第i个方程（i=2，3，.....n）

1)(1)则第i个方程变为ai(2x2 ... ainxn bi1

这样消去第2，3，。。。，n个方程的变元xi后。原线性方程组变

为：

(0)0) a11x1 ... a1(nxn b1(0) (1)(1)(1)a22x2 ... a2x b nn2 .

. (1)(1)(1) ax ... ax bn22nnnn

这样就完成了第1步消元。

回代过程：

(n 1)在最后的一方程中解出xn，得：xn bn(n

数值试验报告分析

一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法 二、实验目的及要求：

通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。

三、算法描述：

本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU分解法求解线性方程组的解。

其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件:当A可逆时，列主元Gauss(高斯）消去法一定能进行到底。

优点:具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gauss消去法相同的计算量。列主元Gauss(高斯）消去法的精度显著高于顺序Gauss(高斯）消去法。 注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。

矩阵的三角分解法是A=LU,L是下三角阵，U是上三角阵,Doolittle分解:L是单位下三

角阵，U是上三角阵；Crout分解:L是下三角阵，U是单位上三角阵。矩阵三角分解的条件 是矩阵A有唯一的Doolittle分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零；矩阵A有唯一的Crout分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零。三角分解的实现是通过

(1)Doolittle分解的实现； (2)Doolitt

数值试验报告分析

一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法 二、实验目的及要求：

通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。

三、算法描述：

本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU分解法求解线性方程组的解。

其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件:当A可逆时，列主元Gauss(高斯）消去法一定能进行到底。

优点:具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gauss消去法相同的计算量。列主元Gauss(高斯）消去法的精度显著高于顺序Gauss(高斯）消去法。 注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。

矩阵的三角分解法是A=LU,L是下三角阵，U是上三角阵,Doolittle分解:L是单位下三

角阵，U是上三角阵；Crout分解:L是下三角阵，U是单位上三角阵。矩阵三角分解的条件 是矩阵A有唯一的Doolittle分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零；矩阵A有唯一的Crout分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零。三角分解的实现是通过

(1)Doolittle分解的实现； (2)Doolitt

系部 学号 实验题目

数计系

专 业 姓 名

计算机科学与技术

日期 成绩

2010 年 12 月

实验三： 实验三：解线性方程组的迭代法

一.实验目的 1.熟练运用已学过的迭代法求解线性方程组， 包括雅克比迭代法、 迭代法和 SOR 迭代法。 G-S 2.加深对计算方法技巧，选择正确的计算方法来求解各种线性方程组。 3.培养使用电子计算机进行科学计算和解决问题的能力。 二.实验环境 VC++6.0 实验语言：c++ 三.实验内容 1.试用雅克比迭代法和高斯塞德尔迭代法求解如下的线性方程组，设置精度为 1.0e-6:

10 1 1 x1 6.2 1 10 2 x2 = 8.5 2 1 5 x 3.2 3 2. 用 w=1 及 w=1.25 的 SOR 方法求解如下的线性方程组， 设置精度为 0.5e-7(初值为(1,1,1))

4 3 0 x1 24 3 4 1 x2 = 30 0 1 4 x 24 3 四.实验公

实 验 报 告

课程名称 数值分析 解线性方程组 上机 20111131 张振 理学楼407 预习部分 实验过程 表现 实验学时 学号 指导教师 实验时间 实验报告 部分 日期 4 2011113130 沈艳 2013.12.9 总成绩 实验项目名称 实验类型 班级 姓名 实验室名称 实验成绩 教师签字

哈尔滨工程大学教务处 制

实验四 解线性方程组

一．解线性方程组的基本思想 1．直接三角分解法：

将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U的乘积 ，其中L和U分别是下三角和上三角矩阵。当A的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A可以分解为A=LU，且分解唯一。其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。 2．平方根法：

如果矩阵A为n阶对称正定矩阵，则存在一个对角元素为正数的下三角实矩阵L，使得：A=LL^T。当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的，称为平方根法（Cholesky）分解。 3．追赶法：

设系数矩阵为三对角矩阵

?b1??a2?0A?????0??0?c1b2a3?000?c2?b3??00?000?0000?an?an?1bn?10??0?0?? ??cn?1??bn??则方程组Ax=f称为三对角方程组

第一章 解线性方程组的克拉默(Gramer)法则

解方程是数学中一个基本问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要地位，因此这个问题是读者所熟悉的，譬如说，如果我们知道了一段导线的电阻r，它的两端电位差v，那么通过这段导线的电流强度i，就可以由关系式 ir?v

求出来，这就是通常所谓一元一次方程的问题，在中学代数中，我们解过一元，二元，三元以致四元一次方程组，这一章和下一章主要就是讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组，这一章是引进行列式来解线性方程组，而下一章则在更一般的情况下来讨论解线性方程组的问题。

线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容。 对于二元线性方程组

?a?11x?1a12x?2b?a21x?1a2x?b

222当a11a22?a12a21?0时，此方程组有唯一解，即 x1a22?a12b2a11b2?a21b1?ba11a2?2a1a x2?221a11a2?2a1a 1221我们称a11a22?a12a21为二级行列式，用符号表示为

a11a22?a12aa1221?a11a

21a22于是上述解可以用二级行列式叙述为：

解线性方程组的几种迭代算法

内容摘要:

本文首先总结了分裂法解线性方程组的一些迭代算法,在此基础上分别通过改变系数矩阵A的分裂形式和对SSOR算法的改进提出了两种新的算法,并证明了这两种算法的收敛性.与其它方法相比,通过改变系数矩阵A的分裂形式得到的新算法具有更好的收敛性,改进的SSOR算法有了更快的收敛速度.最后通过数值实例验证了这两种算法在有些情况下确实可以更有效的解决问题.

关键词:

线性方程组 迭代法 算法 收敛速度

Several kinds of solving linear equations

iterative algorithm

Abstract:

In this paper, we firstly summarize some Iterative algorithms of Anti-secession law solution of linear equations. Based on these, two new algorithms are put forward by changing the fission form of coefficient matrix A and improving the alg

实 验 报 告 课程名称 数值分析 实验项目 解线性方程组的直接法 专业班级 姓 名 学 号 指导教师 成 绩 日 期 月 日 一. 实验目的 1、掌握程序的录入和matlab的使用和操作； 2、了解影响线性方程组解的精度的因素——方法与问题的性态。 3、学会Matlab提供的“\\”的求解线性方程组。 二. 实验要求 1、按照题目要求完成实验内容； 2、写出相应的Matlab 程序； 3、给出实验结果(可以用表格展示实验结果)； 4、分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。 5、写出实验报告。 三. 实验步骤 1、用LU分解及列主元高斯消去法解线性方程组 ?7?10???32.099999a)?5?1??2

解线性方程组的几种迭代算法

内容摘要:

本文首先总结了分裂法解线性方程组的一些迭代算法,在此基础上分别通过改变系数矩阵A的分裂形式和对SSOR算法的改进提出了两种新的算法,并证明了这两种算法的收敛性.与其它方法相比,通过改变系数矩阵A的分裂形式得到的新算法具有更好的收敛性,改进的SSOR算法有了更快的收敛速度.最后通过数值实例验证了这两种算法在有些情况下确实可以更有效的解决问题.

关键词:

线性方程组 迭代法 算法 收敛速度

Several kinds of solving linear equations

iterative algorithm

Abstract:

In this paper, we firstly summarize some Iterative algorithms of Anti-secession law solution of linear equations. Based on these, two new algorithms are put forward by changing the fission form of coefficient matrix A and improving the alg

线性方程组在现实中的应用

线性方程组在现实生活中的应用非常广泛的，不仅可以广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，通信，航空等学科和领域，同时也应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理等课程。 为了更好的运用这种理论，必须在解题过程中有意识地联系各种理论的运用条件，并根据相应的实际问题，通过适当变换所知，学会选择最有效的方法来进行解题，通过熟练地运用理论知识来解决数学得问题.

一、 线性方程组的表示

1.按照线性方程组的形式表示有三种 1）一般形式的表示

?a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1??a21x1?a22x2?...?a2nxn?b2?...??ax?ax?...?ax?bn22nnnn?n11

2）向量形式：

x1?1?x2?2?...?xn?n??

3）矩阵形式的表示 ：

AX??,A???1,?2,...,?n?X??x1,x2,...,xn?T

?0特别地，当?AX???0时，AX??称为齐次线性方程组，而当?时，

称为非齐次线性方程组

2.按照次数分类又可分为两类 1）齐次线性方程组