二次根式

精品专题课程 · 初中数学

第十讲 二次根式

一、二次根式考点

考点： 1、二次根式的相关概念； 2、最简二次根式； 3、化简二次根式； 4、利用二次的性质进行运算； 5、求代数式的值； 6、比较二次根式的大小； 7、二次根式的开放性问题； 8、二次根式的应用。 二、知识梳理/提炼

1.二次根式的定义：式子 叫做二次根式. 2.二次根式的性质 （1）

、?a?＝a（a≥0）

2a2＝a，

（2）ab＝a·b（a≥0，b≥0），aa＝（a≥0，b＞0）. bb3.最简二次根式：符合条件（1）被开方式中不含有开得尽方的数或因式，（?2）被开方式中不含有分母，符合以上两个条件的二次根式叫最简二次根式.

4.分母有理化

（1）互为有理化因式：?两个带有二次根式的代数式相乘不再含有二次根式，则这两个代数式叫做互为有理化因式，常见的有理化因式有：a与±a，a+b与a－b，a+b与a－b，ma+nb与ma－nb；

（2）分母有理化：把分母中的根号化去过程，叫做分母有理化，?方法是在分子分母上同乘以分母的有理化因式.

5.二次根式的运算：（1）加减运算：化成同类

浙江版数学八年级下教案——第一章《二次根式》

§1.1二次根式

教学目标：

1、经历二次根式概念的发生过程； 2、了解二次根式的概念；

3、理解二次根式何时有意义，无意义，会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围； 4、会求二次根式的值。

重点与难点：本节教学的重点是二次根式的概念。例1的第（2），（3）题学生不容易理解，是本节教学的难点。

教学设想：课本在回顾算术平方根的基础上，通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念，并说明以前学的数的算术平方根也叫二次根式，在例题和练习的安排上，着重体现三个方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范围；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有关的问题。因此在教学中我采用基本按照教材的主体设计意图，按教材的步骤进行教学，让学生在自主学习的基础上，发现教材中的学习重点，概括学习所得，提升学生的学习能力。 教学过程：

一、引入（合作学习）：

根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：

直角三角形的斜边长是____________； 正方形的边长是____________； 等边三角形的边长是_________。

首先是让学生进行自主学习，并在实际情境中写出表

行知教育——好老师，好成绩，好口碑

www.yzxzjy.com

杨嘉敏 同学个性化教学设计

年级： 初二 教师： 丁诗雅 科目： 数学

班主任： 王卫卫 日期： 时段： 课题 二次根式 通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质：当a≥0时，个性质进行一些简单的计算与化简。 理解公式（a）=a（a≥0）, a?a，并能利用公式进行二次根式的化简 2教学目标 ?a?= a；能运用这22 重难点透析 二次根式的概念、基本性质以及二次根式的混合运算 知识点剖析 序号 1 2 3 知识点梳理 典型例题讲解 随堂练习巩固所学知识

课堂反馈： ○非常满意 ○满意 ○一般 ○差 学生签字： 主任签字： 日 期：

追 求 卓 越 崇 尚 完 美

知识点

21.1二次根式（1）说课稿

各位评委、各位老师大家好！今天我说课的题目是九年级上册第二十一章第1节“二次根式”。下面我就教材、教法、学法、教学过程、教学反思五个方面进行说明。 一、说教材 1、 说课内容

本节课是义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册（人民教育出版社 ）第二十一章二次根式第一节二次根式第一课时。

2、教材的地位及作用

“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本章是在第13章实数（13.1 平方根、13.2 立方根、13.3 实数）的基础上进一步研究二次根式的概念，性质和运算。本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的 “一元二次方程” 、“锐角三角函数”和“二次函数”等内容的重要基础。第一节研究了二次根式的概念和性质。它是学习本章的关键，它也是学习二次根式的化简和运算的依据。

3、教学目标

根据新课标的要求和教材结构内容分析，结合九年级学生的实际水平，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，本节课可确定如下教学目标：",

",（1）知识技能：使学生理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围。

",（2）数学思考：使学生理解二次根式被开方数的取值范

二次根式以及二次根式的乘除练习题

一、选择题

1．下列式子中，不是二次根式的是（ ）

1 x2．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（） 1A．5 B．5 C．D．以上皆不对 5 A．4 B．16 C．8 D．

3.使式子?(x?5)2有意义的未知数x有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数

4．下列各式中15、3a、b2?1、a2?b2、m2?20、?144，二次根式的个数是（ ）．

A．4 B．3 C．2 D．1 5．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0

116．(2)2?(?2)2的值是（ ）．

33 A．0 B．

22 C．4 D．以上都不对 337．a≥0，a2、(?a)2、-a2，比较它们的结果，下面选项中正确的是（ ）． A．a2=(?a)2≥-a2 B．a2>(?a)2>-a2 C．a2<(?a)2

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】 1.二次根式的定义： 形如才有意义．

2. (a)2?aa(?0)．

的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，

a(a?0)? 3. 公式a2?与(a)2?aa(?0)的区别与联系. |a|???a(a?0)?（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数． （2）(a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3）a2和(a)2的运算结果都是非负的． 精典考题

类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围） 1、下列各式中，不是二次根式的是（ ） A．45 B．3?? C．14 D．

1 22、二次根式

2x?1有意义时的x的取值范围是 。 2x?43、已知： y?x?2??x?2?1，则(x?y)2001= 。

类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简） 4、代数式3?4?x2的最大值是 。

5、实数在数轴上的位置如图1所示，化简a?1?(a?2)2???。 6、把?43的根号外的因式移到根号内得 ；5?26的平方根是 。 7、化简：x?

二次根式拓展

一. 利用非负性解题(a(a?0))

例题 1. 若y=x?5?5?x+2009，则x+y= 2.若4x?2?|3?y|?0，则2xy= 。

3. 若

a?b?1与?a?b?a?2b?4互为相反数，则

2005?_____________。

4.当a取什么值时，代数式2a?1?1取值最小，并求出这个最小值。

解题方法 :以上题目只要利用好二次根式的非负性,便可以很好的求出结果

二.利用二次根式的性质化简

例题 1. 已知x?2,则化简x2?4x?4的结果是 ( )

A、x?2

B、x?2

C、?x?2

D、2?x

2.如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│

2+(a?b) 的结果等于（ ）

A．－2b B．2b C．－2a D．2a

3.如果a?a2?2a?1?1，那么a的取值范围是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a

课题 教学目标 教学重点 教学难点 教 设 计 ︵ 容 、 方法 16.2最简二次根式 时间 1. 理解最简二次根式的定义； 2. 会将不是最简二次根式的根式化成最简二次根式。 最简二次根式的定义，化简二次根式 二次根式的化简 教学过程: 活动一： ①二次根式的乘法运算法则？②二次根式的除法运算法则？ 练习2：计算（1）10?27 （2） 1512 ÷245 补 充 学 解（1）方法1：10?27=10?27=10?3?32=330 方法2：10?27=10×33=330 1512?451522?3?5?3215?2?315（2）法1：1512 ÷245====15 2?452?45内 245?45法2：1512 ÷245=15?23532?35=5=15 从这两个题目中，都可看出先化简再计算的好处。 化简总是希望能化简到最简形式，那么什么样的二次根式是“最简二次根式”呢？ 、活动二： 过 定义：(1)被开方数中的因数是整数，因式是整式。 (2)被开方数中不含能开得尽方的因式或因数。 程 我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 、 例：判断下列各式是否为最简二次根式？ 反 （2）30x；（3）x馈

苏桥中学导学案

八年级数学 备课日期： 备课人： 班级 组别 姓名

16.2.2二次根式的除法

学习目标：会二次根式除法则计算和化简 学习过程： 一、复习引入

二次根式乘法法则：a?b? 二、自主学习

1.阅读课本P8，找到二次根式除法法则 根据二次根式乘法法则计算 ①

726 ②

48?23

③

31 ?26?45y2bb④6a?2a ⑤ ⑥ ?2520a35y

2.逆用除法法则进行化简：

932121b5化简： ①1 ② ③ ④ ??a?0216516a5

化简的结果要求分母不含二次根式；被开方数不含分母。 三、自学检测 1.计算

①98?7 ②?1

2.化简 ①

212252 ③16xy?2xy

二次根式

使x?1有意义的x的取值范围是（ ）

A x?1 B x?1 C x?1 D x?0 要使二次根式3?2x有意义，则x的取值范围是（ ）

A x?32 B x?32 C x?223 D x?3

如果式子2x?6有意义，那么x的的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（ ）

要使代数式2?3x有意义，则x的（ ） A 最大值是

23 B 最小值是2333 C 最大值是2 D最小值是2 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）

A

30 B 12 C 8 D

12 下列根式中，不能与3合并的是（ ）

A

1 B 3 233 C

3 D12 计算(?3)2的结果是（ ） A ?3 B 3 C ?9 D 9 下列运算中错误的是（ ） A

2?3?5 B 2?3?