椭圆的几何性质大总结

2.1.2 椭圆的简单几何性质

第1课时 椭圆的简单几何性质

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能

掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，明确其相互关系． 2．过程与方法

能够画出椭圆的图形，会利用椭圆的几何性质解决相关的简单问题． 3．情感、态度与价值观

从离心率大小变化对椭圆形状的影响，体现数形结合，体会数学的对称美、和谐美． ●重点、难点

重点：由标准方程分析出椭圆几何性质． 难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解．

对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好①让学生自主探索新知，②重难点之处进行反复分析，③及时巩固

(教师用书独具)

●教学建议

根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，宜采用这样的教学方法：启发式讲解，互动式讨论，研究式探索，反馈式评价．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：椭圆有哪些简单几何性质？

?

引导学生结合椭圆的图形，观察、比较、分析，导出焦点在x轴上的椭圆的简单几何性质.?

引导学生类比导出焦点在y轴上椭圆的简单几何性质.

???

通过例1及其互动探究，使学生掌握已知椭圆方程求几何性质的方法.通过例2及其变式训练，使学生掌握由椭圆的

椭圆（1）

1 椭圆的一个顶点为A?2，0?，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x?y?1?0交于A、B两点，M为

AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

x2y?9???1上不同三点A?x1，y1?，B?4，?，C?x2，y2?与焦点F?4，0?的距离4椭圆

259?5?成等差数列．

（1）求证x1?x2?8；

（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．

2x2y??1，F1、F2为两焦点，问能否在椭5 已知椭圆

43圆上找一点M，使M到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

1 / 5

2

6 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．

7 求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；

（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

8 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．

9 求椭圆上的点到直线的距离的最小值．

椭圆的简单几何性质

《椭圆的简单几何性质》教学

一. 教材分析

1. 教材的地位和作用

本节课是普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第二章2.1.2第1课时：椭圆的简单几何性质。

在此之前，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这只是单纯地通过曲线建立方程的探究。而这节课是结合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程探讨椭圆的几何性质,是数与形的完美结合，让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上，充分认识到“由数到形，由形到数”的转化，体会了数与形的辨证统一，也从中体验了学数学的乐趣，受到了数学文化熏陶，为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。

2. 教材的内容安排和处理

本课为“椭圆的简单几何性质”这部分内容的第一课时，主要介绍椭圆的简单几何性质及其初步运用，在解析几何中，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次，因此可根据学生实际情况及认知特点，改变了教材中原有研究顺序，引导学生先从观察课前预习所作的具体图形入手，按照通过图形先发现性质，在利用方程去说明性质的研究思路，循序渐近进行探究。在教学中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用，而且更应重视对学生进行这种研究方法的思想渗透，通过教师合理的情境创设，师

数学

数学

标准方程 范围 对称性 顶点坐标

x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b

x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称

|x|≤ b,|y|≤ a 同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前

焦点坐标半轴长 a、b、c的关 系

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半 轴长为b. a>b

a2=b2+c2

数学

如下图，观察不同的椭圆，我们发现，椭圆的扁平程 度不一，在图1中你能发现a、b、c发生怎样的变化呢？

离心率

图1

c 椭圆的焦距与长轴长的比：e a

叫做椭圆的离心率。

数学

练习:比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆， 哪一个更扁？为什么？(即课本P48《练习》5.)

答案： 2 2 x y 2 2 (1)椭圆 1更圆, 椭圆9 x y 36更扁. 16 12 2 2 x y 2 2 (2)椭圆 1更圆, 椭圆 x 9 y 36更扁. 6 10

x y 1; (1) 9 x

选修２—１ 2.2.2 椭圆的简单几何性质（教案）

（第1课时）

【教学目标】

1．掌握椭圆的几何图形、椭圆的范围、对称性、顶点的几何性质；

2．掌握标准方程中的a、b、c的几何意义，会用代数的方法来研究曲线的几何性质． 【重点】

椭圆的几何性质． 【难点】

如何用代数方法去研究椭圆的几何性质．

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第43页～第46页） 1．完成下表 标准方程 xa22?yb22?1?a?b?0? xb22?ya22?1?a?b?0? yPyPF2OF1 图形 焦点 焦距 性 质 范围 对称性 顶点 长短轴 a、b、c的关系 【基础练习】 ?a?x?a,?b?y?b F1OF2xxF1(?c,0),F2(c,0) 2c F1(0,?c),F(0,c) ?b?x?b,?a?y?a 关于两坐标轴和坐标原点对称 (?a,0),(0,?b) (?b,0),(0,?a) 长轴长：2a；短轴长：2b． a2?b?c 22 1．经过点Ｐ（－３，０）、Ｑ（０，－２）的椭圆的标准方程为

x29?y24?1．

1

2．椭圆

xa22?y

选修２—１ 2.2.2 椭圆的简单几何性质（教案）

（第1课时）

【教学目标】

1．掌握椭圆的几何图形、椭圆的范围、对称性、顶点的几何性质；

2．掌握标准方程中的a、b、c的几何意义，会用代数的方法来研究曲线的几何性质． 【重点】

椭圆的几何性质． 【难点】

如何用代数方法去研究椭圆的几何性质．

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第43页～第46页） 1．完成下表 标准方程 xa22?yb22?1?a?b?0? xb22?ya22?1?a?b?0? yPyPF2OF1 图形 焦点 焦距 性 质 范围 对称性 顶点 长短轴 a、b、c的关系 【基础练习】 ?a?x?a,?b?y?b F1OF2xxF1(?c,0),F2(c,0) 2c F1(0,?c),F(0,c) ?b?x?b,?a?y?a 关于两坐标轴和坐标原点对称 (?a,0),(0,?b) (?b,0),(0,?a) 长轴长：2a；短轴长：2b． a2?b?c 22 1．经过点Ｐ（－３，０）、Ｑ（０，－２）的椭圆的标准方程为

x29?y24?1．

1

2．椭圆

xa22?y

《椭圆标准方程及其几何性质》

一：椭圆的简单几何性质

1、焦点F1(0,?4)，F2(0,4)，2a?10； 则椭圆的标准方程： 2、焦点在x轴上，a:b?2:1，c?6；则椭圆的标准方程：

3、a?c?1，b?5；则椭圆的标准方程： 4、焦距为6，a?b?1；则椭圆的标准方程：

225、焦点在y轴上，a?b?5，且过点(?2,0)；则椭圆的标准方程：

6、椭圆经过两点(?35,)，(223,5)．则椭圆的标准方程：

7、求过点P(6,1)，Q(?3,?2)两点的椭圆的标准方程；

8、求和椭圆9x?4y?36有共同的焦点，且经过点(2,?3)的椭圆方程.

9、两个焦点的坐标分别是(0,?2)、(0,2)，并且椭圆经过点(? 10、椭圆

x22235 ,)．则椭圆的标准方程：

22162?y29?1的焦距是 ，焦点坐标为 ，若CD为过左焦点F1的弦，则

?F2CD的周长为 ．

11、方程4x?ky?

选修1-1 2.1.2椭圆的几何性质

一、选择题

1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是( ) A．(－1,0)，(1,0) C．(－6，0)，(6，0) [答案] D

[解析] ∵椭圆的焦点在y轴上，且a2＝6， ∴长轴的两个端点坐标为(0，－6)，(0，6)． x2y2x2y2

2．椭圆2＋2＝1和2＋2＝k(k>0)具有( )

ababA．相同的长轴 C．相同的顶点 [答案] D

x2y2x2y2x2y2

[解析] 椭圆2＋2＝1和2＋2＝k(k>0)中，不妨设a>b，椭圆2＋2＝1的离心率e1＝

abababa2－b2ka2－b2a2－b2x2y2

，椭圆2＋2＝1(k>0)的离心率e2＝＝. aakbkaka3．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是( ) 2m－1A.

m－12mC.

m[答案] C

x2y211

[解析] 椭圆方程可简化为＋＝1，由题意知m>0，∴<，

111＋mm1＋mm∴a＝1m＝， mm

－2－mB. m21－mD．－

m－2

B．相同的焦点 D．相同的离心率 B．(－6,0)，(6,0) D．(0，－6)，(0，6)

2m

∴椭圆的长轴长2a＝. m

4．下列方程所表示的曲线

椭 圆

重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程及椭圆的参数方程； 难点：用椭圆的定义及基本性质求椭圆的方程。 1 椭圆的两种定义：

①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a?F1F2的点的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（2a?F1F2时为线段F1F2，2a?F1F2无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集

??d2 标准方程：

M={P|

PF?e，0＜e＜1的常数

（e?1为抛物线；e?1为双曲线） ?。

x2y2（1）焦点在x轴上，中心在原点：2?2?1（a＞b＞0）；

ab焦点F1（－c，0）， F2（c，0）。其中c?a2?b2（一个Rt?）

y2x2（2）焦点在y轴上，中心在原点：2?2?1（a＞b＞0）；

ab焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中c?a2?b2 注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，c? a2?b2并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当A＜

B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。

高二数学选修1-1导学案 编号： 班级： 姓名： 学习小组： 层级编码： 组内评价： 教师评价：

主备人：杨淑宁 审核：王君茹 包科领导： 年级组长： 使用时间：

椭圆的简单性质2

[教学目标]

1.使学生掌握椭圆的简单几何性质。

2.会根据椭圆的标准方程画出它的几何图形、能根据几何性质解决一些简单问题。 3.体验自主探究、合作式学习的快乐、收获成功的快乐。 【重点、难点】

重点：椭圆的简单几何性质。

难点：椭圆性质在实际问题中的应用，数形结合的思想、方程的思想及转化的思想在研究难题和解决问题中的运用。 【学法指导】

1、 根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 2、 用红笔勾出疑难点，提交小组讨论； 3、 预习p28-p31 【自主探究】 1、 完成下表 椭圆 椭圆的定义 对称性 椭圆的标准方 范围 程 a,b,c的关系 顶点坐标 简单性质 焦点坐标 离心率及范围