球面坐标变换

3.2矢量坐标变换原理和变换矩阵

矢量控制系统的坐标变换包括精致坐标系间的变换、旋转与静止坐标系间的变换以及指直角坐标系与极坐标系间的变换。其中三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3s/2s变换（也称Clarke变换）、两相静止坐标系和两相旋转坐标系间的变换，简称2s/2r变换（也称Park变换）。

坐标变换和矩阵变换的原理放在交流电机里头介绍比较容易理解，所以下面介绍的坐标变换和变换矩阵都以交流电机模型来说明。

3.2.1坐标变换的基本思路

不同电动机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。 众所周知，在交流电动机三相对称的静止绕组A、B、C中，通以三相平衡的正弦电流ia，所产生的合成磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速?1（即ib，ic时，电流角频率）顺着A-B-C的相序旋转。这样的物理模型绘于图3.3中的定子部分。

qAOiaF?dificC

图3.3 二极直流电动机的物理模型

F-励磁绕组 A-电枢绕组 C-补偿绕组

?B?1FibAOCC?1Fi??AOB?i?iciaFq??a??1d?b?ditqOim?c?图3.4 等效的交流电动机绕组和直流电动机绕组物理模型

（a）三相交流绕组 （b）

3.2矢量坐标变换原理和变换矩阵

矢量控制系统的坐标变换包括精致坐标系间的变换、旋转与静止坐标系间的变换以及指直角坐标系与极坐标系间的变换。其中三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3s/2s变换（也称Clarke变换）、两相静止坐标系和两相旋转坐标系间的变换，简称2s/2r变换（也称Park变换）。

坐标变换和矩阵变换的原理放在交流电机里头介绍比较容易理解，所以下面介绍的坐标变换和变换矩阵都以交流电机模型来说明。

3.2.1坐标变换的基本思路

不同电动机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。 众所周知，在交流电动机三相对称的静止绕组A、B、C中，通以三相平衡的正弦电流ia，所产生的合成磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速?1（即ib，ic时，电流角频率）顺着A-B-C的相序旋转。这样的物理模型绘于图3.3中的定子部分。

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图3.3 二极直流电动机的物理模型

F-励磁绕组 A-电枢绕组 C-补偿绕组

?B?1FibAOCC?1Fi??AOB?i?iciaFq??a??1d?b?ditqOim?c?图3.4 等效的交流电动机绕组和直流电动机绕组物理模型

（a）三相交流绕组 （b）

一个坐标系的坐标变换为另一种坐标系的坐标的法则。

由于交流异步电动机的电压、电流、磁通和电磁转矩各物理量之间是相互关联的强耦合，并且其转矩正比与主磁通与电流，而这两个物理量是随时间变化的函数，在异步电机数学模型中将出现两个变量的乘积项，因此，又为多变量，非线性系统（关键是有一个复杂的电感矩阵），这使得建立异步电动机的准确数学模型相当困难。为了简化电机的数学模型，需从简化磁链入手。

解决的思路与基本分析：

1.已知，三相( ABC )异步电动机的定子三相绕组空间上互差120度，且通以时间上互差120度的三相正弦交流电时，在空间上会建立一个角速度为?1的旋转磁场。

又知，取空间上互相垂直的（?，?）两相绕组，且在绕组中通以互差90度的两相平衡交流电流时，也能建立与三相绕组等效的旋转磁场。 此时的电机数学模型有所简化。 2. 还知, 直流电机的磁链关系为： F---励磁绕组

轴线---主磁通的方向，即轴线在d轴上,称为直轴(Direct axis)。 A---电枢绕组

轴线---由于电枢绕组是旋转的，通过电刷馈入的直流电产生电枢磁动势，其轴线始终被限定在q轴，即与d轴成90度，称为交轴(Quadrature axis)。

由于q

OpenGL通过相机模拟、可以实现计算机图形学中最基本的三维变换，即几何变换、投影变换、裁剪变换、视口变换等，同时，OpenGL还实现了矩阵堆栈等。理解掌握了有关坐标变换的内容，就算真正走进了精彩地三维世界。

一、OpenGL中的三维物体的显示

（一）坐标系统

在现实世界中，所有的物体都具有三维特征，但计算机本身只能处理数字，显示二维的图形，将三维物体及二维数据联系在一起的唯一纽带就是坐标。

为了使被显示的三维物体数字化，要在被显示的物体所在的空间中定义一个坐标系。这个坐标系的长度单位和坐标轴的方向要适合对被显示物体的描述，这个坐标系称为世界坐标系。世界坐标系是始终固定不变的。

OpenGL还定义了局部坐标系的概念，所谓局部坐标系，也就是坐标系以物体的中心为坐标原点，物体的旋转或平移等操作都是围绕局部坐标系进行的，这时，当物体模型进行旋转或平移等操作时，局部坐标系也执行相应的旋转或平移操作。需要注意的是，如果对物体模型进行缩放操作，则局部坐标系也要进行相应的缩放，如果缩放比例在案各坐标轴上不同，那么再经过旋转操作后，局部坐标轴之间可能不再相互垂直。无论是在世界坐标系中进行转换还是在局部坐标系中进行转换，程序代码是

OpenGL通过相机模拟、可以实现计算机图形学中最基本的三维变换，即几何变换、投影变换、裁剪变换、视口变换等，同时，OpenGL还实现了矩阵堆栈等。理解掌握了有关坐标变换的内容，就算真正走进了精彩地三维世界。

一、OpenGL中的三维物体的显示

（一）坐标系统

在现实世界中，所有的物体都具有三维特征，但计算机本身只能处理数字，显示二维的图形，将三维物体及二维数据联系在一起的唯一纽带就是坐标。

为了使被显示的三维物体数字化，要在被显示的物体所在的空间中定义一个坐标系。这个坐标系的长度单位和坐标轴的方向要适合对被显示物体的描述，这个坐标系称为世界坐标系。世界坐标系是始终固定不变的。

OpenGL还定义了局部坐标系的概念，所谓局部坐标系，也就是坐标系以物体的中心为坐标原点，物体的旋转或平移等操作都是围绕局部坐标系进行的，这时，当物体模型进行旋转或平移等操作时，局部坐标系也执行相应的旋转或平移操作。需要注意的是，如果对物体模型进行缩放操作，则局部坐标系也要进行相应的缩放，如果缩放比例在案各坐标轴上不同，那么再经过旋转操作后，局部坐标轴之间可能不再相互垂直。无论是在世界坐标系中进行转换还是在局部坐标系中进行转换，程序代码是

从1980西安坐标系到2000国家大地坐标系的坐标变换

钟业勋1，2 童新华2 王龙波1

（1广西测绘局，广西南宁，530023；2广西师范学院资源与环境科学学院，广西南宁，530001）

摘要：本文阐述了高斯—克吕格投影的建立原理，推导了坐标公式。对1980西安坐标系和

2000国家大地坐标系，作者给出了应用CASIOfx—4800P计算器由平面直角坐标反解地理坐标的计算程序。应用这程序，实现了从1980西安坐标系到2000国家大地坐标系的坐标变换。根据计算结果及其在1:25000地形图上的图解精度，因1:25000～1:50万地形图上同名点的坐标差异很小，都在图解精度0.2mm以内，所以地图改版时只需改变坐标系的名称即可。

关键词：1980西安坐标系；2000国家大地坐标系；高斯—克吕格投影；地理坐标；坐标变

换。

1 引言

根据国家测绘局6月18日发布的公告，我国从2008年7月1日起启用2000国家大地坐标系。公告提供了新坐标系的技术参数，并对新旧坐标系的转换和使用作出说明；2000国家大地坐标系与现行国家大地坐标系转换，衔接的过渡期为8至10年。现有各类测绘成果，在过渡期内可沿用现行国家大地坐标系；2008年7月1日后新生产的各类测

【摘要】:通过例子解释坐标之间计算的问题，以及总结如何避免此类问题的发生。

【关键字】：直角坐标，柱坐标，球坐标，向量计算

【正文】:

我们都知道在柱坐标和球坐标中的向量的加减，点积和叉积和直角坐标中不一样，那么又是什么让他们有如此之大的差距。本文意在通过例子说明其中的深刻含义，以期在实际运用中能够避免坐标不一致而带来的计算错误。 例子：

我们假设有直角坐标中向量为a=（1,1,1）,b=(2,4,1).如我们熟知c=a+b=(3,5,2).这是直角坐标的情形。

我们假设a=（1,1,1）,b=(2,4,1).此时为柱坐标。a+b为多少呢？我们有两种思路，一种就是把他们当做直角坐标的向量加减法则进行的结果再转换成直角坐标。另一种是两个向量同时转化为直角坐标然后再把它们按照直角坐标的法则相加减。下面我们来看看是否可行。

思路一：c=（3,5,2）(柱坐标)，则直角坐标为c=（0.85，-2.88,2）.

思路二：a=（0.54，0.84,2） , b=( -1.31,-1.51,1). a+b=( -0.77 , -0.67 ,2.00)=c 显然两个结果不相同。但是那个结果是正确的呢？思路二中我们将它化为直角坐标来算应该是正确的。也就是说第一个是

新版北师大练习题

图形变化与坐标变换习题

1． 四边形ABCD的顶点坐标分别是A（0，3），B（-3，0），C（0，-3），D（3，0）。

（1）将四边形ABCD向上平移3个单位长度，得到四边形A1B1C1D1，则顶点坐标为A1（ ），B1（ ），C1（ ），D1（ ）。

（2）将四边形A1B1C1D1向左平移4个单位长度，得到四边形A2B2C2D2，则顶点坐标为A（，2 ）B2（ ），C2（ ），D2（ ）。

（3）将四边形ABCD 可一次得到四边形A2B2C2D2。

（4）点P（-1.5，1.5）是四边形ABCD上一点，则在四边形A2B2C2D2上的对应点P2的坐标是（ ）。

2． 四边形ABCD的顶点坐标分别是A（-5，-1），B（-1，-1），C（-3，-4），D（-7，-4），

将四边形ABCD先向上平移5个单位长度，再向左平移8个单位长度。第二次平移后四个对应顶点的坐标分别为A′（ ），B′（ ），C′（ ），D′（ ）。

3．五边形ABCDE的坐标分别是A（0，6），B（-

1，abc to ab（park）

2,ab to abc（clark）

3,abc to dq

4,dq to abc

5,ab to dq

6,dq to ab

注意，涉及到abc到dq的坐标变换时，要加时钟函数具体见前面。参数如下

7，abc坐标系和αβγ坐标系之间的变换矩阵

考虑矩阵符号前面的因子后，以上变换矩阵的行向量分别是α、β、γ坐标轴上的单位向量在abc坐标系中的坐标。变换矩阵的逆矩阵，实际上就是线性代数课程中所定义的由旧基（a、b、c轴的单位向量）向新基（α、β、γ轴的单位向量）的过渡矩阵。

此矩阵左乘某向量在abc坐标中的坐标向量，可得到该向量在αβγ坐标系中的坐标向量；此矩阵的逆矩阵左乘某向量在αβγ坐标中的坐标向量，可得到该向量在abc坐标系中的坐标向量。

若将abc坐标变换到αβγ坐标的同时还将所得αβγ坐标系中的向量旋转θ角度，这样的变换称为Park变换。 显然，abc坐标到αβγ坐标的变换矩阵是Park变换矩阵在θ=0时的特例

不同情况下公式的第三行不一样

从1980西安坐标系到2000国家大地坐标系的坐标变换

钟业勋1，2 童新华2 王龙波1

（1广西测绘局，广西南宁，530023；2广西师范学院资源与环境科学学院，广西南宁，530001）

摘要：本文阐述了高斯—克吕格投影的建立原理，推导了坐标公式。对1980西安坐标系和

2000国家大地坐标系，作者给出了应用CASIOfx—4800P计算器由平面直角坐标反解地理坐标的计算程序。应用这程序，实现了从1980西安坐标系到2000国家大地坐标系的坐标变换。根据计算结果及其在1:25000地形图上的图解精度，因1:25000～1:50万地形图上同名点的坐标差异很小，都在图解精度0.2mm以内，所以地图改版时只需改变坐标系的名称即可。

关键词：1980西安坐标系；2000国家大地坐标系；高斯—克吕格投影；地理坐标；坐标变

换。

1引言

根据国家测绘局6月18日发布的公告，我国从2008年7月1日起启用2000国家大地坐标系。公告提供了新坐标系的技术参数，并对新旧坐标系的转换和使用作出说明；2000国家大地坐标系与现行国家大地坐标系转换，衔接的过渡期为8至10年。现有各类测绘成果，在过渡期内可沿用现行国家大地坐标系；2008年7月1日后新生产的各类测绘成