第一章函数极限连续思维导图

《高等数学》（微积分）教案

【教学内容】§1.1 函数

【教学目的】理解并掌握函数的概念与性质 【教学重点】函数的概念与性质 【教学难点】函数概念的理解 【教学时数】2学时 【教学过程】

一、组织教学，引入新课

极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。 二、讲授新课 （一）实数概述 1、实数与数轴 （1）实数系表 （2）实数与数轴关系

?封闭性??有序性（3）实数的性质： ?

?稠密性?连续性?2、实数的绝对值

?x,x?0（1）绝对值的定义：x??

?x,x?0?（2）绝对值的几何意义 （3）绝对值的性质

练习：解下列绝对值不等式：① x?5?3，② x?1?2 3、区间

（1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间

设a与b均为实数，且a?b，则

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《高等数学》（微积分）教案

数集{xa?x?b}为以a、b为端点的闭区间，记作[a，b] 数集{xa?x?b}为以a、b为端点的开区间，记作（

第一章 函数·极限·连续

知识点：

?义域?函数的定义和函数的定??函数的简单性质???函数??基本初等函数??复合函数与初等函数?????简单的经济函数模型???定义?数列极限与函数极限的???函数的左、右极限????极限?无穷大量和无穷小量??极限的四则运算法则?????两个重要极限????函数连续的定义??间??函数的间断点与连续区?连续?初等函数的连续性????质 ?闭区间上连续函数的性??教学目的要求：

（1）理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。

（2）理解数列和函数极限的描述性定义；理解函数左、右极限的定义，理解函数极限存在的充分必要条件；理解无穷小量和无穷大量的概念及相互关系，理解与掌握无穷小量的性质，了解无穷小量的比较；熟练掌握极限四则运算法则和两个重要极限，会求极限。

（3）理解函数连续与间断的概念，掌握判断函数连续性的方法；理解函数连续和极限存在之间的关系；会求函数的间断点与连续区间；理解初等函数的连续性，并能利用函数连续性求极限；

第一章 函数、极限和连续

【考试要求】 一、函数

1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数． 2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性． 3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像． 4．掌握函数的四则运算与复合运算．

5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数． 6．了解初等函数的概念． 二、极限

1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．

2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．

3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，趋于无穷（

x???，x???）时函数的极限．

4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理． 大量的性质，两个无穷小量阶的比较． 6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法． 7．熟练掌握分段函数求极限的方法． 三、连续

xx??，

5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷

1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其

第一章 函数、极限和连续

【考试要求】 一、函数

1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数． 2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性． 3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像． 4．掌握函数的四则运算与复合运算．

5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数． 6．了解初等函数的概念． 二、极限

1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．

2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．

3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，趋于无穷（

x???，x???）时函数的极限．

4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理． 大量的性质，两个无穷小量阶的比较． 6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法． 7．熟练掌握分段函数求极限的方法． 三、连续

xx??，

5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷

1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其

第一章 函数、极限和连续性

复习要求提示：

1. 函数实质上是变量间的对应关系。函数的概念及各种性质在考研数学中一般不作为直接

的考点。但函数是微积分的基本研究对象，绝大多数知识点都直接或间接地与函数相关，相当大的一部分题目中也要直接或间接地用到函数的各种性质。

函数部分需要重点掌握的内容有：复合函数，分段函数的运算，反函数的概念及计算，函数的奇偶性,单调性，周期性和有界性。

2. 极限是这一章的主要内容，也是整个学科的理论基础。本章的首要任务是熟练掌握各种

极限的计算方法，极限计算的方法牵涉到方方面面的理论，与后续很多章节都有和重要的联系，是常考的考点。总结起来主要有：利用四则运算，利用两个重要极限，利用等价无穷小替换，利用洛必达法则，利用变量替换，分别求左右极限，数列极限转化为函数极限，利用夹逼原理，利用单调有界原理，利用泰勒公式，利用定积分的定义等。 无穷大量和无穷小量的相关问题是这一部分的另一重要内容。主要理解无穷大量和无穷小量的概念及它们的关系，重点掌握无穷小量的比较方法，理解无穷小量的高阶、同阶、等价的概念并能用等价无穷小替换计算极限；理解无穷大与无界的关系；极限存在的准则。

极限部分需重点掌握的内容有：极限的保号性，无穷小的等价替换

第一章 从实验学化学-1- 化学实验基本方法

过滤 一帖、 二低、 三靠 分离固体和液体的混合体时， 除去液体中不溶性固体。（漏斗、 滤纸、玻璃棒、 烧杯）

蒸发 不断搅拌， 有大量晶体时就应熄灯， 余热蒸发至干， 可防过热而迸溅 把稀溶液浓缩或把含固态溶质的溶液干， 在蒸发皿进行蒸发

蒸馏 ①液体体积②加热方式③温度计水银球位置④冷却的水流方向⑤防液体暴沸 利用沸点不同除去液体混合物中难挥发或不挥发的杂质（蒸馏烧瓶、 酒精灯、 温度计、 冷凝管、 接液管、 锥形瓶）

萃取 萃取剂： 原溶液中的溶剂互不相溶； ② 对溶质的溶解度要远大于原溶剂； ③ 要易于挥发。 利用溶质在互不相溶的溶剂里溶解度的不同， 用一种溶剂把溶质从它与另一溶剂所组成的溶液里提取出来的操作， 主要仪器： 分液漏斗

分液 下层的液体从下端放出， 上层从上口倒出 把互不相溶的两种液体分开的操作， 与萃取配合使用的

过滤器上洗涤沉淀的操作 向漏斗里注入蒸馏水， 使水面没过沉淀物， 等水流完后， 重复操作数次

配制一定物质的量浓度的溶液 需用的仪器 托盘天平（或量筒）、 烧杯、 玻璃棒、 容量瓶、 胶头滴管

主要步骤： ⑴ 计算 ⑵ 称量（如是液体就用滴定管量取） ⑶ 溶解（少量水， 搅拌，

第一篇 高 等 数 学

第一章 函数 极限 连续

第一节 函 数

一、基本知识

1．函数的概念 （1）定义 设数集D?R，则称映射f:D?R为定义在D上的函数，通常简记为 y?f(x),x?D 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df,即Df?D． 函数定义中，对于每一个x?D．按照对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f(x)，即y?f(x)．因变量y与自变量x的这种依赖关系，通常称为函数关系．函数值f(x)的全体构成集合称为函数f的值域，记作Rf或f(D)，即

Rf?f(D)??yy?f(x),x?D?． （2）函数的常用表示法 ①公式法：如y?2x?1等， ②表格法：如三角函数表、对数表等， ③图示法：如温度记录仪记录的某地某天的温度曲线；医学上常用的心电图等． （3）分段函数 定义域内由两个或两个以上数学表达式分段表示的函数叫做分段函数． 函数关系y?f(x)不一定是由一个或几个数学表达式所构成，可能是由普通语言描述的，也可能是一幅图或一张表．总之，函数关系的实质是自变量与因变量之间的“对应关系”，而与表达形式无关，对于分段函数

第一章 一元函数的极限

§1.1 利用定义及迫敛性定理求极限

设R表示实数集合,R*表示扩张的实数集,即R*?R????,???. 例1 若liman?a?R*.证明limn???a1?a2???ann?0?a?R* (算术平均值收敛公式).

?a?n???证明 (1)设a?R,由liman?a,??n???,?N1?0,当n?N1时, an?2.

因此

a1?a2???ann?a

?(a1?a)?(a2?a)???(an?a)n

?a1?a?a2?a???aN?a1nAnAn?aN1?1?a???an?an

??n?N1n??2

???2,

An?其中A?a1?a?a2?a???aN?a.又存在N2?0,当n?N2时,

1?2.因此当

n?max{N1,N2}时,

a1?a2???ann?0?a??2??2??.

（2）设liman???,则?Mn???,?N1?0,当n?N1时,an?3M.

因此

?a1?a2???ann

aN1a1?a2???aNn1??1?aN1?2???annAn1?An?n?N1n?3M,

?0其中A?a1?a2???aN.由于时,

An?M2?0,

n?N1n?1(n???),所以存在N2,当n?N2,

n?N1

第一章 一元函数的极限

§1.1 利用定义及迫敛性定理求极限

设R表示实数集合,R*表示扩张的实数集,即R*?R????,???. 例1 若liman?a?R*.证明limn???a1?a2???ann?0?a?R* (算术平均值收敛公式).

?a?n???证明 (1)设a?R,由liman?a,??n???,?N1?0,当n?N1时, an?2.

因此

a1?a2???ann?a

?(a1?a)?(a2?a)???(an?a)n

?a1?a?a2?a???aN?a1nAnAn?aN1?1?a???an?an

??n?N1n??2

???2,

An?其中A?a1?a?a2?a???aN?a.又存在N2?0,当n?N2时,

1?2.因此当

n?max{N1,N2}时,

a1?a2???ann?0?a??2??2??.

（2）设liman???,则?Mn???,?N1?0,当n?N1时,an?3M.

因此

?a1?a2???ann

aN1a1?a2???aNn1??1?aN1?2???annAn1?An?n?N1n?3M,

?0其中A?a1?a2???aN.由于时,

An?M2?0,

n?N1n?1(n???),所以存在N2,当n?N2,

n?N1

第 函数 极限 连续

第一节 函 数

1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性

定义：单调增： x1?x2?f(x1)?f(x2). 单调不减： x1?x2?f(x1)?f(x2). 判定：（1）定义：

(2）导数：设f(x)在区间I上可导，则 a) f?(x)?0?f(x)单调不减； b) f?(x)?0?f(x)单调增； 2)奇偶性

定义：偶函数 f(?x)?f(x); 奇函数 f(?x)??f(x). 判定：(1）定义：

(2）设f(x)可导，则：

a)f(x)是奇函数? f?(x)是偶函数；

b)f(x)是偶函数? f?(x)是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；

连续的偶函数其原函数之一是奇函数。

3)周期性

定义：f(x?T)?f(x) 判定：(1)定义；

(2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4)有界性

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