平稳时间序列

第六章 平稳时间序列模型

时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点，对于制定精确定价和预测决策是至关重要的，近代计量经济学和金融市场的许多研究成果和市场决策理论愈来愈多是建立在时间序列分析的基础上。Engle和Grange因为他们的时间序列模型在经济金融中的广泛应用而获得2003年的诺贝尔经济学奖，就是时间序列分析方法的重要性在世界上被广泛认可的有力证明．近代计量经济和金融市场的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。传统应用较广的是Box和Jenkins（1970）提出的ARIMA（自回归求和移动平均）方法；Engle(1982)提出了ARCH模型（一阶自回归条件异方差），用以研究非线性金融时间序列模型，由此开创了金融时序独树一帜的研究思路和方法。随着时间序列分析理论和方法的发展，美国学者Schemas和Lebanon发现股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象，米尔斯也指出金融时间序列似乎通常可以用随机漫步来很好近似，非线性时间序列模型被广泛应用在金融时间序列分析中。就数学方法而言，平稳随机序列的统计分析，在理论上的发展比较成熟，从而构成时间序列分析的基础。因此，本章从基本的平稳时间序列讲起。

第一节 基本概念

一、

第1节 有关单位过程的极限分布

对单位根过程这种非平稳序列的分析，传统分析方法失效，需寻找新的处理方法。这些新的分析方法都是建立在维纳过程（布朗运动）和泛函中心极限定理之上的。

一、 维纳过程

维纳过程(Wiener Process)也称为布朗运动过程(Brownian Motion Process)，是现代时间序列经济计量分析中的基本概念之一。设W(t)是定义在闭区间[0，1]上一连续变化的随机过程，若该过程满足：

(a) W(0)=0；

(b) 对闭区间[0，1]上任意一组分割0?t1?t2???tk?1，W(t)的变化量：

W?t2??W?t1?,W?t3??W?t2?,?,W?tk??W?tk?1?

为相互独立的随机变量；

(c) 对任意0?s?t?1，有

W(t)?W(s)~N(0,t?s) (5.2.1)

则称W(t)为标准维纳过程（或标准布朗运动过程）。

从定义我们可以看出，标准维纳过程是一个具有正态独立增量的过程。由定义显然有：

W(t)?W(t)?W(0)~N(0,t) (5.2.2)

W(1)~N(0,1)

即标准维纳过程W(t)在任意时刻t服从正态分布。

1 第三章 线性平稳时间序列分析

在时间序列的统计分析中，平稳序列是一类重要的随机序列。在这方面已经有了比较成熟的理论知识，最常用的是ARMA （Autoregressive Moving Average ）序列。用ARMA 模型去近似地描述动态数据在实际应用中有许多优点，例如它是线性模型，只要给出少量参数就可完全确定模型形式；另外，便于分析数据的结构和内在性质，也便于在最小方差意义下进行最佳预测和控制。本章将讨论ARMA 模型的基本性质和特征，这是时间序列统计分析中的重要理论基础。

§3.1 线性过程

通常假设随机序列是由平稳序列{}t X 与相互独立的冲击或振动{}t ε叠加生成，其中t ε是服从某一固定分布的随机变量，实际中由于t ε的独立性及分布情况难以确定，常用白噪声序列来定义。在正式讨论之前，我们首先给出相应的准备工具，介绍延迟算子和求解线性差分方程，这些工具会使得时间序列模型表达和分析更为简洁和方便，下面是延迟算子的概念。

定义 设B 为一步延迟算子，如果当前序列乘以一个延迟算子，就表示把当前序列值的时间向过去拨一个时刻，即1-=t t X BX 。

进一步地，对于任意的n ，延迟算子B 满足：

22

t t n t t n

B X X B

第七章 平稳时间序列模型预测

平稳时间序列模型预测设平稳时间序列{ X t }是一个ARMA(p,q)过程，即 X t = φ1 X t 1 + L + φ p X t p + ε t θ1ε t 1 L θ qε t q , 本章将讨论其预测问题，设当前时刻为t,已知 t 时刻t和以前时刻的观察值 xt , xt 1 , xt 2 ,L 我 t 们将用已知的观察值对时刻t后的观察值 xt +l ( l > 0 ) 进行预测，记为 xt ( l ),称为时间序列 { X t } 的第 l 步预测值。 ε t ~ WN ( 0, σ 2 ) , s < t , E ( X s ε t ) = 0

上海财经大学 统计与管理学院 1

第七章 平稳时间序列模型预测

§7.1 最小均方误差预测考虑预测问题首先要确定衡量预测效果的标准， 一个很自然的思想就是预测值 xt ( l)与真值 xt+l 的均 方误差达到最小，即设

et ( l ) = X t +l xt ( l ) 预测值 xt ( l )与真值 xt +l 的均方误差

我们的工作就是寻找 xt ( l ),

38. 非平稳时间序列的确定性分析

实际中大多数时间序列是非平稳的，对非平稳时间序列的分析方法主要有两类：确定性分析和随机性分析。

确定性分析——提取非平稳时间序列明显的规律性（长期趋势、季节性变化、周期性），目的是：①克服其它因素影响，单纯测度出单一确定因素对序列的影响；②推断各种确定性因素彼此之间相互作用关系及它们对序列的综合影响。

随机性分析——分析非平稳时间序列由随机因素导致的随机波动性。

（一）趋势分析

有的时间序列具有明显的长期趋势，趋势分析就是要找出并利用这种趋势对序列发展做出合理预测。

1. 趋势拟合法

即把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型。分为线性拟合和非线性拟合。

2. 平滑法

利用修匀技术，消弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑化，从而显示出长期趋势变化的规律。

（1）移动平均、加权移动平均 已知序列值x1, …, xt-1, 预测xt的值为

xt?1?xt?2???xt?n?t? xn称为n期移动平均值，n的选取带有一定的经验性，n过长或过短，各有利弊，也可以根据均方误差来选取。

一般最新数据更能反映序列变化的趋势。因此，要突出新数据的作用，可采用加权移动平均法：

?tw?

非平稳随机序列

习题3.1：某城市连续14年的月度婴儿出生率数据如下：（省略）

（1）选择适当的模型拟合该序列的发展

（2）使用该拟合模型预测下一年度该城市月度婴儿出生率

解：（1）首先分析一下该序列的平稳性，编写SAS程序如下：

data a;

input chusheng@@; month= _n_; cards; /*数据省略*/ ; run;

proc gplot;

plot chusheng*month;

symbol1 v=circle i=join c=red; proc arima data=a;

identify var=chusheng nlag=22; run;

得到原序列图如图：

1

从图中可以看到该序列有线性上升的趋势，不是平稳序列。通过一阶差分就可能实现趋势平稳。一阶差分要修改程序：

data a;

input chusheng@@; month= _n_;

dif1=dif(chusheng); dif1_12=dif12(dif1); cards; /*数据省略*/ ; run;

2

proc gplot;

plot chusheng*month; plot dif1_12*month;

symbol1 v

应 用 时 间 序 列 分 析 实 验 报 告 实验名称 第五章 非平稳序列的随机分析 一、上机练习 5.8.1 拟合ARIMA模型 data example5_1; input x@@; difx=dif(x); t=_n_; cards; 1.05 -0.84 -1.42 0.20 2.81 6.72 5.40 4.38 5.52 4.46 2.89 -0.43 -4.86 -8.54 -11.54 -16.22 -19.41 -21.61 -22.51 -23.51 -24.49 -25.54 -24.06 -23.44 -23.41 -24.17 -21.58 -19.00 -14.14 -12.69 -9.48 -10.29 -9.88 -8.33 -4.67 -2.97 -2.91 -1.86 -1.91 -0.80 ; proc gplot; plot x*t; symbol v=star c=black i=join; run; 输出时序图显示这是一个典型的非平稳序列。如图（1）所示： 图（1） 考虑对该序列进行1阶差分运算，同时考察差分序列的平稳性，在原程序基础上添加相关

1 基本概念

1.1 时间序列的平稳性

假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：

1）均值E(Xt)=?是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt)=?2是与时间t 无关的常数；

3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=?k 是只与时期间隔k有关，与时间t 无关的常数；

则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。

1.2 时间序列的非平稳性

平稳时间序列的均值为常数，自协方差函数与起点无关，而非平稳时间序列则不满足这两条要求。常见的非平稳类型有趋势和突变

1.2.1 趋势

趋势是指变量随时间持续长期的运动，时间序列变量围绕其趋势波动。可以用线性趋势、二次趋势、季节性均值趋势和余弦趋势来估计一般的非常数均值趋势模型的参数。

1.2.2 突变

突变来自总体回归系数在某一特定日期上的离散变化或来自系数在长时期内的渐变。

1.3 平稳性判断 1.3.1 图示判断

? 给

应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材

1

第三章 平稳时间序列模型的建立 本章首先介绍利用时间序列的样本统计特征识别 时间序列模型，然后分别介绍模型定阶、模型估 计和模型检验的多种方法，对Box-Jenkins建模 方法和Pandit-Wu建模方法归纳总结，最后给出 实际案例。

应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材

2

第一节 模型识别与定阶 一、 自相关函数和偏自相关函数的估计 (一)自协方差函数和自相关函数的估计

1 k N

N k k 1

yN k k 1

t

y yt k y , k 0,1,...

1 N k* k

y

t

y yt k y , k 0,1,...

应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材

3

k k , k 0,1,... 0* * k k , k 0,1,... 0

应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材

4

* k k 是平稳时间序列自协方差的无偏估计量； 1)

则是平稳时间序列自协方差的渐进无偏估计量。 0 1 ... k 1 2)

时间序列分析 教案

第5、6章 测试题

1. 时间序列{xt}的d阶差分实质上是一个d阶自回归过程， 则?xt?（1?B）xt?

ddii(?1)C?dxt?i ； i?0d2. 假设线性非平稳序列{xt}形如：xt?1?2t?at，

其中E（at）?0,Var（at）??2，Cov（at，at-1）?0，?t?1，

则?xt?xt?xt?1?2?at?at?1，?2xt??xt??xt?1?at?2at?1?at?2； 并说明为何说?2xt为过差分？

因为1阶和2阶差分后，序列均平稳，但Var(?xt)?Var(at?at?1)?2?2， 而Var(?2xt)?Var(at?2at?1?at?2)?6?，2阶差分后的方差大，过差分。 2

?1??1B）?xt?（（1??1B??2B2）?t?3. 形如：?E(?t)?0，Var(?t)???2,E(?t?s)?0,s?t的模型，

?Ex??0,?s?t?st简记为 ARIMA(1,1,2) 模型，并说明此模型的平稳性。 此为不平稳模型。

4. 模型ARIMA（0，1，0）称为 随机游走 模型， 其序列的方差 Var（xt）?Var(x0??t??t?