量子力学讲义曾谨言

第一章

1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，

量子力学的诞生

??,x?0,x?a V(x)??0,0?x?a?试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 a?n??2(n?1,2,3,?)

???2a/n （1）

又据de Broglie关系

p?h/? （2）

而能量

E?p2/2m??2/2m?2h2n2?2?2n2??2m?4a22ma2?n?1,2,3,?? （3）

1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有

?px?dx?nxh,?nx?1,2,3,??

第一章

1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，

量子力学的诞生

??,x?0,x?aV(x)??

0,0?x?a?试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 a?n??2(n?1,2,3,?)

???2a/n （1）

又据de Broglie关系

p?h/? （2）

而能量

E?p2/2m??2/2m?2h2n2?2?2n2??2m?4a22ma2?n?1,2,3,?? （3）

1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有

?px?dx?nxh,?nx?1,2,3,??

第一章

1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，

量子力学的诞生

??,x?0,x?a V(x)??0,0?x?a?试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 a?n??2(n?1,2,3,?)

???2a/n （1）

又据de Broglie关系

p?h/? （2）

而能量

E?p2/2m??2/2m?2h2n2?2?2n2??2m?4a22ma2?n?1,2,3,?? （3）

1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有

?px?dx?nxh,?nx?1,2,3,??

曾谨言量子力学习题解答

第八章：自旋

x表象中，求 x的本征态 [1]在

（解） 设泡利算符 ， x，的共同本征函数组是： x1 sz 和x

2

1

2

2

sz （1）

x的本征函数，但它们构成一个完整 或者简单地记作 和 ，因为这两个波函数并不是

x的本征函数可表系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），

示：

c1 c2

(2)

x的本征值 ，则 x的本征方程式是： c1,c2待定常数，又设

x (3)

将（2）代入（3）：

x c1 c2 c1 c2 (4)

z表象基矢的运算法则是： x对 根据本章问题6（P．264），

x x

x的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）此外又假设 ：

c1 c1 c1 c2

比较 , 的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：

c1 c2 (6a)

c2 c1 (6b)

c2 c2 1 (6c)

2 1

前二式得 1，即 1，

第1章波函数与Schr?dinger方程

1.1复习笔记

一、波函数的统计诠释

1．实物粒子的波动性

de Broglie（1923）提出了实物粒子（静质量m≠0的粒子，如电子）也具有波粒二象性（wave-particle duality）的假设，即与动量为p和能量为E的粒子相应的波的波长λ和频率ν为

并称之为物质波（matter

wave）．2．波粒二象性的分析

（１）包括波动力学创始人Schr?dinger，de Broglie等在内的一些人，他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种物质波包．物质波包的观点显然夸大了波动性一面，而实质上抹杀了粒子性一面，是带有片面性的．

（２）与物质波包相反的另一种看法是：波动性是由于有大量电子

分布于空间而形成的疏密波．它夸大了粒子性一面，而实质上抹杀了粒子的波动性一面，也带有片面性．

然而，电子究竟是什么东西?是粒子?还是波?电子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一．但这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念中的粒子．

3.概率波，多粒子体系的波函数

把粒子性与波动性统一起来．更确切地说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来的是M．Born（1926）提出的

曾谨言量子力学题库

一简述题：

1. （1）试述Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planck公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问

题上的差别

2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr的量子理论

5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理

8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件

10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为?(r,?,?)，写出粒子在球壳(r,r?dr)中被测到的几率以及在

(?,?)方向的立体角元d??sin?d?d?中找到粒子的几率。

11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）?(x)??(x)是否定态？为什么？ 13.（2）设??1ikre，试写成其几率密度和几率流密度 r14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应

16.（3）说明一维方势阱体系中束缚

曾谨言量子力学题库

一简述题：

1. （1）试述Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planck公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问

题上的差别

2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr的量子理论

5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理

8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件

10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为?(r,?,?)，写出粒子在球壳(r,r?dr)中被测到的几率以及在

(?,?)方向的立体角元d??sin?d?d?中找到粒子的几率。

11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）?(x)??(x)是否定态？为什么？ 13.（2）设??1ikre，试写成其几率密度和几率流密度 r14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应

16.（3）说明一维方势阱体系中束缚

第3章 量子力学中的力学量

§1 算符的运算规则

一、算符的定义：

算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

??v Au表示?把函数u变成 v， ?就是这种变换的算符。为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。 二、算符的一般特性 1、线性算符

满足如下运算规律的算符?，称为线性算符

?(c??c?)?cA??? A11221?1?c2A2其中c1, c2是任意复常数，?1, ?2是任意两个波函数。

????i??， 例如：动量算符p单位算符I是线性算符。 2、算符相等

?对体系的任何波函数?的运算结果都相同，即A???B??，则算符?和算若两个算符?、B??B?相等记为A?。 符B3、算符之和

????B???B??，?对体系的任何波函数?有：?)??A???CB?C??若两个算符?、则AB(A称为算符之和。

??B?，A??B??A??(B?)?(A??B? ??C?)?C A4、算符之积

??，定义为 ?之积，记为AB 算符?与B??)??A?(B?? ??)?C(AB???BA??。 ?是任意波函数。

一、简述题：

1. （1）试述Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planck公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问

题上的差别

2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr的量子理论

5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理

8. （2）在给定的状态中测量某一力学量可得一测值概率分布。问在此状态中能否测得其它力学量的

概率分布？试举例说明。

9. （2）在给定状态下测量某一力学量，能测量到什么程度？ 10.（2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件

11.（2）假设一体系的基态波函数在全空间上都大于零，试解释是否存在某一激发态，该激发态在全

空间范围内也都大于零。

12.（2）已知粒子波函数在球坐标中为?(r,?,?)，写出粒子在球壳(r,r?dr)中被测到的几率以及在

(?,?)方向的立体角元d??sin?d?d?中找到粒子的几率。

13.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 14.（2）?(x)??(

一、简述题：

1. （1）试述Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planck公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问

题上的差别

2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr的量子理论

5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理

8. （2）在给定的状态中测量某一力学量可得一测值概率分布。问在此状态中能否测得其它力学量的

概率分布？试举例说明。

9. （2）在给定状态下测量某一力学量，能测量到什么程度？ 10.（2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件

11.（2）假设一体系的基态波函数在全空间上都大于零，试解释是否存在某一激发态，该激发态在全

空间范围内也都大于零。

12.（2）已知粒子波函数在球坐标中为?(r,?,?)，写出粒子在球壳(r,r?dr)中被测到的几率以及在

(?,?)方向的立体角元d??sin?d?d?中找到粒子的几率。

13.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 14.（2）?(x)??(