积分题目及答案

实用标准文案 复变函数与积分变换试题（一）

一、填空（3分×10）

1．ln(?1?3i)的模 ，幅角 。

2．-8i的三个单根分别为： ， ， 。 3．Lnz在 的区域内连续。 4．f(z)?z的解极域为： 。 。

5．f(z)?x2?y2?2xyi的导数f?(z)? ?sinz?6．Res?3,0?? ?z? 。 。 。 。 。

7．指数函数的映照特点是： 8．幂函数的映照特点是： 9．若F(?)=F [f(t)]，则f(t)= F ?1f[(?)] 10．若f（t）满足拉氏积分存在条件，则L [f(t)]= 二、(10分)

11已知v(x,y)??x2?y2，求函数u(x,y)使函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为

22解析函数，且f(0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算

dz?|z|?2z6(z?1)(z?3)

四、计算积分（5分×2） 1．?|z|?2dz

第九章 重积分

(A)

1．填空题

(1) 设P?x,y??x2y，Q?x,y??x3y2，定义于D:0?x?1，0?y?1，则

??P?x,y?d? ??Q?x,y?d?

DD(2) 设曲顶柱体的顶面是z?f?x,y?，?x,y??D，侧面是母线平行于z轴，准线为D

的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为V? 。

(3) 在极坐标系中，面积元素为 。 2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小

(1) 围成。

(2) 围成。

3．利用二重积分性质，估计积分I???2x2?2y2?9d?的值，其中D是圆形闭区域

D2322D与，其中积分区域是由圆周????????x?yd?x?yd?x?2?y?1?2所????DD23与其中积分区域D由x轴，y轴以及直线x?y?1所 ????x?yd?x?yd?，????DD??x2?y2?4。

4．交换积分?2aadx?02ax?x22a?xf?x,y?dy的积分次序。

5．交换积分?dy?122?yf?x,y?dx的积分次序。

y?aa2?y26．交换二次积分?dy?0af?x,y?的积分次序。

7．计算???3x?2y?d?，其中D是由两坐

2015秋微积分A（1）第八周习题课

一．函数的极限与连续（下）

例.1

例.2

例.3

例.4

例.5

例.6 设函数f(x)在 0, 上满足f(x2) f(x)，且lim f(x) limf(x) f(1)，求证：x 0x x a 已知极限lim x x 1 x 1 e 2，求常数a。 cos1 1x limxe e求极限 x 21 1 xx 1 求极限limx3 3 x 2若limx(cosx b) 5，则a =，b=. x 0e asinx求极限lim sinx x 0x 11 cosx

f(x) f(1),x (0, )。

例.7 设函数y f(x)在( , )上连续，且limf(x) 0存在，若y f(x)在 x

( , )内可取到正值，证明函数y f(x)在( , )上必有正的最大值。

例.8 设f C( , )，且 x,y ,f(x y) f(x) f(y)，证明：存在实数a使

得f(x) ax,x 。

例.9 设f(x)在(a,b)内至多只有第一类间断点，且

x y f(x) f(y)f , x,y (a,b)（*） 22

证明：f C(a,b)。

二．微分与导数（

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1word 版本可编辑.欢迎下载支持. 上海第二工业大学

不定积分、定积分 测验试卷

姓名： 学号： 班级： 成绩：

一、选择题：（每小格3分，共30分）

1、设

sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a

?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x

e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0

x x e c x F x e c x -?+≥=?-+

3、设01,0

()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >??===??-

?，则（ ） （A ）()F x 在0x =点不连续；

（B ）()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导；

（C ）()F x 在(,)-∞+∞内可导，且满足()

第十章 曲线积分与曲面积分

(A)

1．计算??x?y?dx，其中L为连接?1,0?及?0,1?两点的连直线段。

L2．计算?Lx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?ax。

3．计算??x2?y2?ds，其中L为曲线x?a?cost?tsint?，y?a?sint?tcost?，

L?0?t?2??。

4．计算?eLx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一

角限内所围成的扇形的整个边界。

4?4????33??5．计算??x?y?ds，其中L为内摆线x?acos3t，y?asin3t?0?t??L2????在第一象限内的一段弧。

6．计算

?Lz2ds，其中L为螺线x?acots，y?asint，22x?yz?at?0?t?2??。

7．计算?xydx，其中L为抛物线y2?x上从点A?1,?1?到点B?1,1?的一段弧。

L8．计算?x3dx?3zy2dy?x2ydz，其中L是从点A?3,2,1?到点B?0,0,0?的直线

L段AB。

9．计算?xdx?ydy??x?y?1?dz，其中L是从点?1,1,1?到点?2,3,4?的一段直

L线。

10．计算??2a?y?dx??a?y?dy，其中L为摆线x?a?t?sint?

第十章 曲线积分与曲面积分

(A)

1．计算??x?y?dx，其中L为连接?1,0?及?0,1?两点的连直线段。

L2．计算?Lx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?ax。

3．计算??x2?y2?ds，其中L为曲线x?a?cost?tsint?，y?a?sint?tcost?，

L?0?t?2??。

4．计算?eLx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一

角限内所围成的扇形的整个边界。

4?4????33??5．计算??x?y?ds，其中L为内摆线x?acos3t，y?asin3t?0?t??L2????在第一象限内的一段弧。

6．计算

?Lz2ds，其中L为螺线x?acots，y?asint，22x?yz?at?0?t?2??。

7．计算?xydx，其中L为抛物线y2?x上从点A?1,?1?到点B?1,1?的一段弧。

L8．计算?x3dx?3zy2dy?x2ydz，其中L是从点A?3,2,1?到点B?0,0,0?的直线

L段AB。

9．计算?xdx?ydy??x?y?1?dz，其中L是从点?1,1,1?到点?2,3,4?的一段直

L线。

10．计算??2a?y?dx??a?y?dy，其中L为摆线x?a?t?sint?

第4章 不定积分

内容概要 名称 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注：（1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1：d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx； ?????dx性质2：F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C； 性质3：[?f(x)??g(x)]dx??计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 第二类 换元积 分法 ??? ?f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有换元公式： ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零，f[?(t)]??(t)有原

高数复习

一． 求下列极限（每小题5分，共20分）

x

x 1x 1

1．lim lim

x

x x

x 1

lim 1 x

e.

e

xx 0x 1 1 x 1

sinx 2．

lim

x2

cos

1

x1x 0

x

limsinxx 0x limx 0xcosx

1 0 1.

2

1

3．

lim1 cosx

0

1 x2

x lim 1 x2

1 cosx

lim2x 0

12x2

ex 01 cosx e. 2

其中，lim

等价lim2x 0 1 cosx

x 0

2

2。

2

x

tsintdt

2

4． lim

0

xx sinx

limxsinx 0

x 01 cosx等价 limx 01 2. 22x

二．求下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分） 1．

y lnx 1 x 1

，求dy.

解：

y lnx 1 x 1

ln

2x 1 x 1

ln2 lnx 1 x 1

，所以，

y

/

1

x 1 x 1

x 1

/

x 1

/

1 1x 1 x 1 2x 1 1

2x 1

1x 1 x 1x 1 x 1

x

2

11

1

2

1

2

，x

2

dy

1

2

x

2

dx. 1

2．设函数

y y x 由方程exy

ln

y

x 1

0确定，求y/ 0

第五章 定积分

(A层次)

?2031．?sinxcosxdx； 2．?x0a2a?xdx； 3．?223dxx211?x2；

4．?7．?1?1xdx5?4xdx； 5．?4dxx?11； 6．?341dx1?x?1；

e21?dx； 8．?2； 9．?1?cos2xdx；

?2x?2x?20x1?lnx032xsinxdx；10．?xsinxdx； 11．?2?4cosxdx； 12．?4

?5x?2x2?1???2??4454lnx1xdx13．??； 14．； 15．dxxarctgxdx； ?2?10sinxx4?3?016．?2e2xcosxdx； 17．??3?2?xsinx?dx； 18．?sin?lnx?dx； 01?e?019．?2?cosx?cosxdx； 20．?44?sinxxsinxdx； dx； 21．?01?cos2x1?sinx22．?1202??1?x1?xxlndx； 23．?dx； 24．?2lnsinxdx； 40??1?x1?x?25．? (B层次)

??0

名词解释

类病毒：病状：病原物的寄生性、垂直抗性·病害三角关系·生理小种·活体营养生物·侵染性病害·病原物的致病性·毒素·鉴别寄主·潜育期·子囊果·质粒 1单循环病害和多循环病害的流行学特点是什么？ 2 真菌的有性与无性生殖分别产生那几类孢子？ 3 植物非侵染病害有什么特点？

4 为什么说症状是诊断植物病害的重要依据？ 5 植物线虫病害的特点是什么？ 6 植物侵染性病害的诊断要点是什么？ 7昆虫的体躯分哪几段？昆虫有哪些生活习性？

8引起植物发生传染性病害的因素主要有哪些？非传染性病害的病原有哪些？ 9鳞翅目、鞘翅目、直翅目、双翅目、半翅目的昆虫的前翅分别是什么？ 10侵染性病害的侵染过程划可分为哪几个阶段？侵染循环分为哪几个环节？ 11植物病害的病状、病征常表现为类型？

12植物病害诊断的一般步骤是什么？诊断植物病害时应注意哪些问题？ 13昆虫的头部着生有哪些附器？；因此昆虫的头部的功能是什么？ 14能传播病毒的昆虫主要有哪些？

15昆虫的繁殖方式有哪些？细菌、病毒的繁殖方式是什么？ 16病原物的越冬越夏场所有哪些？ 更多：

1昆虫的蛹和卵期外观不食不动，而内部则发生巨变的吗？（） 2病毒侵入植物的途径是新鲜微伤口吗？（） 3具有捕捉足的昆