北大高等代数教材

高等代数 北大版 课件

第六章 线性空间§1 集合映射 集合 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数基与坐标 维数 §4 基变换与坐标变换 §5 线性子空间 §6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 小结与习题

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§6.7 子空间的直和一,直和的定义 二,直和的判定 三,多个子空间的直和

§6.7 子空间的直和

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引入为线性空间V的两个子空间 的两个子空间, 设 V1 ,V2为线性空间 的两个子空间,由维数公式

dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 ∩ V2 )有两种情形: 两种情形:

1) dim(V1 + V2 ) < dimV1 + dimV2此时 dim(V1 ∩ V2 ) > 0, 必含非零向量. 即,V1 ∩ V2 必含非零向量§6.7 子空间的直和

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2) dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2此时 dim(V1 ∩ V2 ) = 0,

V1 ∩ V2 不含非零向量,即 V1 ∩

第二学期第二十三次课

§4 单变量有理函数域

9.4.1 域上的一元有理分式域的定义

设R为一整环，命S?{(b,a)|a,b?R,a?0}。现在S中规定?为

(b,a)?(d,c)?bc?ad

逐一验证“反身性”、“对称性”、“传递性”可知?为一等价关系。用(b,a)表示与(b,a)等价的元素的全体。现记S关于?的等价类的集合为S，则(b,a)是S中的元素。下面

??在S?上定义二元运算：

(a,b)?(c,d)?(ad?bc,bd)

可以验证：

（1）?,?是良定义的，即与等价类代表元的选择无关； （2）(S(a,b)?(c,d)?(ac,bd)

?,?,?)对加法构成交换群，(S,?,?)?{0}对乘法也构成交换群，且加法和乘

?法满足分配律。

于是，(S,?,?)构成域，称之为R的分式域或商域，将(S,?,?)中的元素(a,b)记为??a)中的元素的运算规则与通常的分式运算完全一致。 ，则(S,?,??b定义9.15 （域上的一元有理分式域） 若R?K[x]，则记(S?,?,?)为K(x)，并将其

称之为域上的一元有理分式域，其元素形如

9.4.2 有理分式的准素分解式

g(x)(f(x)?0)。 f(x)k定义9.16 （准素分

授课内容 教学时数 教学目标 教学重点 教学难点 教学方法与手段 第六章 线性空间 第一讲 集合映射 2 授课类型 讲授 通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义 集合映射的有关定义 集合映射的有关定义 讲授法 启发式 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S是集合,A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集,记作A?B；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集,记做A?B；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的 教 学 过 程 元素组成的集合成为A与B的差集,记做A\\B. 定义:(集合的映射) 设A、B为集合.如果存在法则f,使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素(记做f(a)),则称f是A到B的一个映射,记为 f:A?B,a?f(a). 如果f(a)?b?B,则b称为a在f下的像,a称为b在f下的原像.A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像,记做f(A),即f(A)??f(a)|a?A?. 若?a?a'?A,都有f(a)?f(a'), 则称f为单射.若 ?b?B,都存在a?A,使

授课内容 教学时数 教学目标 教学重点 教学难点 教学方法与手段 第四章 矩阵 第一讲 矩阵的概念 2 授课类型 讲授 要求学生了解引进矩阵的意义，理解矩阵的概念 矩阵的概念 矩阵概念的理解 讲授法 启发式 在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有 教 学 过 程 些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象. 1. 在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转轴)，那么平面直角坐标变换的公式为 ?x?x?cos??y?sin?, (1) ???y?xsin??ycos?,?其中?为x轴与x?轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系，完全通过公式中系数所排成的2?2矩阵 ?cos???sin???s

授课内容 教学时数 教学目标 教学重点 教学难点 教学方法与手段 第四章 矩阵 第一讲 矩阵的概念 2 授课类型 讲授 要求学生了解引进矩阵的意义，理解矩阵的概念 矩阵的概念 矩阵概念的理解 讲授法 启发式 在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有 教 学 过 程 些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象. 1. 在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转轴)，那么平面直角坐标变换的公式为 ?x?x?cos??y?sin?, (1) ???y?xsin??ycos?,?其中?为x轴与x?轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系，完全通过公式中系数所排成的2?2矩阵 ?cos???sin???s

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第六章 线性空间

§1 集合映射

一 授课内容:§1 集合映射

二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号

与乘积号的定义.

三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程:

1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S是集合,A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集,记作A?B；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集,记做A?B；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集,记做A\\B.

定义:(集合的映射) 设A、B为集合.如果存在法则f,使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素(记做f(a)),则称f是A到B的一个映射,记为

f:A?B,a?f(a).

如果f(a)?b?B,则b称为a在f下的像,a称为b在f下的原像.A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像,记做f(A),即

f(A)??f(a)|a?A?.

若?a?a'?A,都有f(a)?f(a'), 则称f为单射.若 ?b?B,都存在

a?A,使得f(a)?b,则称f为满射.如果f既是单射

第六章 线性空间

1.设M?N,证明：M?N?M,M?N?N。

证 任取??M,由M?N,得??N,所以??M?N,即证M?N?M。又因

M?N?M,故M?N?M。再证第二式，任取??M或??N,但M?N,因此无论

哪 一种情形，都有??N,此即。但N?M?N,所以M?N?N。

2.证明M?(N?L)?(M?N)?(M?L)，M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。

证 ?x?M?(N?L),则x?M且x?N?L.在后一情形，于是x?M?N或x?M?L.所以x?(M?N)?(M?L)，由此得M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。反之，若

x?(M?N)?(M?L)，则x?M?N或x?M?L. 在前一情形，x?M,x?N,因此x?N?L.故得x?M?(N?L),在后一情形，因而x?M,x?L,x?N?L，得

x?M?(N?L),故(M?N)?(M?L)?M?(N?L),

于是M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。

（N?L），则x?M，x?N?L。 若x?M??（M?L）因而x?（M?N）在前一情形Xx?M?N， 且X?M?L，。

在后一情形，x?N,x?L,因而x?M?N,且X?M?L，即X?（M?N）?（M?L）所以 （M?

第二章 行 列 式

1. 求以下9级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性

1) 2) 3)

1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 9 8 7 6 5 4 3 2 1;

解:1) 所求排列的逆序数为:

??134782695??0?1?1?3?3?0?1?1?10， 所以此排列为偶排列。

2) 所求排列的逆序数为:

??1?0?4?5?4?3?0?1?18， ??217986354 所以此排列为偶排列。 3) 所求排列的逆序数为:

??987654321??8?7?6?5?4?3?2?1? 所以此排列为偶排列。 2.选择i与k使

1) 1274i56k9成偶排列； 2) 1i25k4897成奇排列。

解: 1) 当i?8,k?3时, 所求排列的逆序数为:

9?9?1??36， 2???1274i56k9????127485639?0?0?4?1?3?1?1?0?10，

第六章 线性空间

1.设M?N,证明：MN?M,MN?N。

证 任取??M,由M?N,得??N,所以??M?N,即证M?NM。又因

M?N?M,故MN?M。再证第二式，任取??M或??N,但M?N,因此无论

N?N。

哪 一种情形，都有??N,此即。但N?M?N,所以M2.证明M?(N?L)?(M?N)?(M?L)，M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。

证 ?x?M?(N?L),则x?M且x?N?L.在后一情形，于是x?M?N或x?M?L.所以x?(M?N)?(M?L)，由此得M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。反之，若

x?(M?N)?(M?L)，则x?M?N或x?M?L. 在前一情形，x?M,x?N,因此

x?N?L.故得x?M?(N?L),在后一情形，因而x?M,x?L,x?Nx?M?(N?L),故(M?N)?(M?L)?M?(N?L),

于是M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。 若x?M（NL，得

L），则x?M，x?NL。 L，因而x?（MN）（ML）。

在前一情形Xx?MN， 且X?M在后一情形，x?N,x?L,因而x?MN,且X?M （MN）（ML）?M（NL）故 M（N即证。L）=（MN

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高等代数（北大第三版）答案

目录

第一章 多项式 第二章 行列式 第三章 线性方程组 第四章 矩阵 第五章 二次型 第六章 线性空间 第七章 线性变换 第八章 —矩阵

第九章 欧氏空间

第十章 双线性函数与辛空间

注：

答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！

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12．设A为一个n级实对称矩阵，且A 0，证明：必存在实n维向量X 0，使

X AX 0。

证 因为A 0，于是A 0，所以rank A n，且A不是正定矩阵。故必存在非退化线性替换X CY使

1

AX Y C 1ACY Y BY X

y1 y2 yp yp 1 yp 2 yn，

1

且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在Z CY中，令y1 y2 yp

2

2

2

2

2

2

0,yp 1 yp 2 yn 1,则可得一线性方程组

c11x1 c12x2 c1nxn 0 cp1x1 cp2x2 cpnxn