位似变换的定义和性质

拉氏变换

2.5 拉氏变换与反变换

机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。

2.5.1 拉普拉斯变换的定义

如果有一个以时间t为自变量的实变函数 f?t? ，它的定义域是 t?0，，那么f?t?的的拉普拉斯变换定义为

?stF?s??L?ft?ftedt????????0 (2.10)

?e?sts???j??s是复变数， （σ、ω均为实数）， 0称为拉普拉斯积分； F(s)是函数 f(t)的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 F(s)为 f(t)的象函数，而称 f(t)为 F(s)的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。

式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 F(s)。

1.单位阶跃函数

?1(t)的拉氏变换

单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能

的标准输入，这一函

位似变换中对应点的坐标的变化规律：

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标为ka或-ka,a为原顶点的横纵标．

如：在以O为原点的坐标系内，△ABC的顶点坐标分别为A（1,1）、B（2,3）、C（4,2），若以O为位似中心在△ABC同侧放大，相似比为2，则A’坐标为（2,2）、B’（4,6）、C’（8,4）；若以O为位似中心在△ABC异侧放大，相似比为2，则A’’（-2，-3）、B’’（-4，-6）、C’’（-8、-4），

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以三角形的一个靠近原点的顶点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标变成ka-(k-1)或-ka+(k+1),a为原顶点的横纵坐标.

如：在以O为原点的坐标系内，△ABC的顶点坐标分别为A（1,1）、B（2,3）、C（4,2），若以A为位似中心在△ABC同侧放大，相似比为2，则A’坐标为（1,1）、B’（3,5）、C’（7,3）；若以O为位似中心在△ABC异侧放大，相似比为2，则A’’（1，1）、B’’（-1，-3）、C’’（-5、-1）。

§7-2 傅立叶变换的性质

这一节我们将介绍傅氏变换的几个重要性质。为了叙述方便，假定在这些性质中 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理的条件，在证明这些性质时，不再 重述这些条件，望读者注意。 一。线性性质

设F

F c1 f1 t c2 f 2 t cn f n t 或

f k t Fk c k 是常数(k =1,2,……,n),则有 c1F1 c2 F2 cn Fn c1 f1 t c2 f 2 t cn f n t (7-2-1)

F 1 c1F1 c2 F2 cn Fn (7-2-1)’

该性质的证明可利用积分的线性性质直接由傅氏变换的定义式得到.1

二。位移性质 ： (1) 或 (2)

设F

f t F , (

则有：

F f t a e j a F F 1

F e j 0t f t F 0 ( 为实数) 0 F 1

e

j a

F f t a

52向量空间的定义和基本性质

5.2向量空间的定义和基本性质

授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质

教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质

授课时数：3学时

教学重点：线性空间的定义及基本性质

教学难点：性质及有关结论的证明

教学过程：

一、线性空间的定义

1. 引例―――定义产生的背景

例子． 设 , , Fn,a,b F则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律.

（1） （2）( ) ( )

对 ，有 使 （ ） 0 （3） 零向量 有 （4）

（5）a( ) a a （6）(a b) a b

（7）(ab) a(b ) （8）1

这里 , , Fn,a,b F

2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质

Def: 设V 是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作 , , , ；F是一个数域a,b,c F,如果在集合V中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了F V到V的一个叫做纯量乘法的代数运算.（F中元素a与V中 的乘积记作a ,a V）。如

论权力资源的法律调控动因（周旺生）

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一、法治与权力资源的法律调控

权力资源应受法律调控，这在人们普遍谈论依法治国的现时环境下，已为学人和国人 所逐步认同。但权力资源何以应受法律调控，人们对这个问题的思考似乎还有待清晰和 深入。在中国，依法调控权力资源，主要是从法治国家建设正式启动之际，才进入法律 人的视野的，所以我们的讨论也从法治与权力资源调控的关联谈起。 法治到底是什么?中国人到现在还在探讨以至争论，西方人到现在也还在继续发展着对 这个问题的看法。一个是在探讨和争论，一个是在继续发展着对这个问题的看法，两者 的差异，明眼人不难发现。(注：应当指出：中国虽然在很早的时候也有过法治，但是 ：其一，倡言法治的主要是一帮为正在谋取天下或巩固天下的治者献策，并且也希望自 己能从中分得一杯羹的文人、谋人、策人，实行法治的主要是想当帝王或已是帝王的人 。其二，也是特别重要的，这种法治的内容和重点，在于更好地治理国家和统驭人民， 为家天下或私天下服务，而不是为着解放人、保护人、使人更好地成为人；因而这种法 治归根到底是一种治国的方法，是帝制之下、专制之下的法治，而不是为多数人所追求 的人与人之间的一种比较稳定、比较正当、比

3-5

傅里叶变换的基本性质

傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需

要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。

一、 线性

傅里叶变换是一种线性运算。若

f1(t)?F1(j?) f2(t)?F2(j?)

则

af1(t)?bf2(t)?aF1(j?)?bF2(j?) (3-55) 其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。

例3-6 利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数F(j?)。 解 因

f(t)?U(t)?由式(3-55)得

11?sgn(t)22

111121F(j?)???U(t)?????1???sgn(t)???2??(?)?????(?)?2222j?j?

二、对称性

若

f(t)?F(j?)

F(jt)?2?f(??) (3-56)

证明 因为

1f(t)?2?有

????F(j?)ej?td?

2?

论权力资源的法律调控动因（周旺生）

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一、法治与权力资源的法律调控

权力资源应受法律调控，这在人们普遍谈论依法治国的现时环境下，已为学人和国人 所逐步认同。但权力资源何以应受法律调控，人们对这个问题的思考似乎还有待清晰和 深入。在中国，依法调控权力资源，主要是从法治国家建设正式启动之际，才进入法律 人的视野的，所以我们的讨论也从法治与权力资源调控的关联谈起。 法治到底是什么?中国人到现在还在探讨以至争论，西方人到现在也还在继续发展着对 这个问题的看法。一个是在探讨和争论，一个是在继续发展着对这个问题的看法，两者 的差异，明眼人不难发现。(注：应当指出：中国虽然在很早的时候也有过法治，但是 ：其一，倡言法治的主要是一帮为正在谋取天下或巩固天下的治者献策，并且也希望自 己能从中分得一杯羹的文人、谋人、策人，实行法治的主要是想当帝王或已是帝王的人 。其二，也是特别重要的，这种法治的内容和重点，在于更好地治理国家和统驭人民， 为家天下或私天下服务，而不是为着解放人、保护人、使人更好地成为人；因而这种法 治归根到底是一种治国的方法，是帝制之下、专制之下的法治，而不是为多数人所追求 的人与人之间的一种比较稳定、比较正当、比

函数专题：对数函数图象及其性质（1）

学习目标：

1．知道对数函数的定义

2．能够画出对数函数图象及并通过图象研究函数基本性质

3．会求简单的与对数有关的复合函数的定义域 4.掌握通过图象比较两个对数的大小的方法 学习重点：对数函数的图象、性质及其应用

学习过程：

一、复习引入：

1、指对数互化关系：

2、 y?a(a?0且a?1)的图象和性质 x a>1 650

函数，这个函数可以用指数函数y=2x表示 现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个??细胞? 二、新课学习： 1．对数函数的定义：

一般地，形如y=logax（a＞0且a≠1）的函数叫对数函数。

练习：判断以下函数是对数函数的为（D）

2A、y?log2(3x?2)B、y?log(x?1)xC、y?log1xD、y?lnx

3

2．对数函数的图象研究：

画出下列函数的图象f(x)?log2x， f(x)?log1x图像略

2

3．对数函数的性质：

对比指数函数图像和性质，得出对数函数的性质 图 象 a>1 0

根据定义知，指数函数和对数函数互为反函数，所以定义域值域互换可得；图像关于y=x直线对称，所以对数函数的性

2.6 傅里叶变换的性质 2.6.1线性

若信号

则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若

,则

和

的傅里叶变换分别为

和

，

其中为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.

显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即

叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和

2.6.2 反褶与共轭性

设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶

f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为

（2）共轭

（3）既反褶又共轭

本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则

在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质

2.6.3 奇偶虚实性

已知f(t)的傅里叶变换为。

§ 4.5

傅里叶变换的性质 时域的描述 频域的描述

任一信号可以有两种描述方法

本节将研究在某一域中对函数进行某种运算，在另一域中所引起的效应。为简便，用

f ( t ) F ( j )

表示时域与频域之

间的对应关系，即

F( j ) f t f (t )e dt1 j t f (t ) F ( j )e d 2

j t

一、线性若 f ( t ) F ( j ) 1 1

f2 (t) F2 ( j )则对于任意常数 a1和 a 2

,有

a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1( j ) a2F2 ( j )傅里叶变换的线性性质可以推广到有多个信号的情况

线性性质有两个含义：1、齐次性

它表明，若信号f(t)乘以常数（即信号增大

a

倍），则其频谱函数也乘以相同的常数（则其频谱函数也增大2、可加性

它表明，几个信号之和的频谱函数等于各个信号的频谱函数之和。

a倍）；

a

a

二、奇偶性下面研究时间函数与其频谱的奇、偶、虚、实关系。如果 f (t )是时间

t的实函数，那么根据： j t

e

j t

cos( t ) j sin( t )

F( j ) f (t)e dt f (