Cauchy收敛准则

闽江学院 本科毕业论文

题 目Cauchy收敛准则的研究与应用 学生姓名 陈益鹏 学 号 120070901223 系 别 数学系

年 级 2007级 专 业 数学与应用数学 指导教师 黄建吾

职 称 副教授 完成日期 2010年1月20日

闽江学院毕业论文诚信声明书

本人郑重声明：

提交的毕业论文（设计）《cauchy收敛准则的应用与推广 》，是本人在指导老师 黄建吾 的指导下独立研究、撰写的成果；论文（设计）未剽窃、抄袭他人的学术观点、思想和成果，未篡改研究数据，论文（设计）中所引用的文字、研究成果均已在论文（设计）中以明确的方式标明；在毕业论文（设计）工作过程中，本人恪守学术规范，遵守学校有关规定，依法享有和承担由此论文（设计）产生的权利

ANSYS非线性计算的收敛问题

收敛准则主要有力的收敛，位移的收敛，弯矩的收敛和转角的收敛。一般用力控制加载时，可以使用残余力的2-范数控制收敛；而位移控制加载时，最好用位移的范数控制收敛。收敛精度默认为 0.1%，但一般可放宽至 5%，以提高收敛速度。

使用力收敛是绝对的,而位移收敛并不一定代表你的计算真的收敛,但很多情况下使用位移更容易得到想要的结果

ANSYS中的收敛准则默认情况如下： cnvtol,lab,value,toler,norm,minref

1）在solcontrol为打开状态时，对于力和力矩来说是默认值为0.005；对于没有转角自由度的DOF，其默认值为0.05。

2）在solcontrol为关闭状态时，对于力和力矩来说，其默认值为0.001。

默认情况下solcontrol为打开状态，因此如果用户完全采用默认的话，对于力和力矩来说是默认值为0.005；对于没有转角自由度的DOF，其默认值为0.05。

在分析中追踪到沿荷载挠度曲线?反向“漂移回去”，是一个典型的难题，这是由于太大或者太小的弧长半径引起的。研究荷载-挠度曲线可以搞清楚这一点，。然后可应用nsubst和arclen命令调整弧长半径大小和范围。

加快收敛的方法

高斯收敛问题

首先，我们必须理解收敛是什么意思。在自洽场(SCF)计算中，自洽循环中，首先产生一个轨道占据的初始猜测，

1)然后根据此轨道占据构造电荷密度和哈密顿量。 2)对角化哈密顿量，得到新的轨道能级和占据。 3)产生新的电荷分布和哈密顿量，重复步骤2）

经过一定次数的循环后，某次循环前和循环后的电荷密度差别小于一定的标准，我们称之为收敛。

如果以上过程不能收敛，则gaussian给出convergence failure的警告。 如果SCF计算收敛失败，你首先会采取哪些技巧呢？这里是我们强烈推荐的首选方法。 1 考虑使用更小的基组

由于一定的基组对应于一定精度和速度，所以更换基组并不在所有的情况下都适用。方法是首先用小基组进行计算，由前一个波函得到用于大基组计算的初始猜测(Guess=Read自动进行)。

2 增加最大循环步数

Gaussian默认的最大循环步数为64 (SCF=DM或SCF=QC方法则为512)，如果循环次数超过这个数目则会汇报convergence failure。在一定的情况下，不收敛的原因仅仅是因为最大循环步数不够。可以通过设置maxcyc来增大最大循环步数。更多的SCF迭代(SCF(MaxCycle=N)，其中

高斯收敛问题

首先，我们必须理解收敛是什么意思。在自洽场(SCF)计算中，自洽循环中，首先产生一个轨道占据的初始猜测，

1)然后根据此轨道占据构造电荷密度和哈密顿量。 2)对角化哈密顿量，得到新的轨道能级和占据。 3)产生新的电荷分布和哈密顿量，重复步骤2）

经过一定次数的循环后，某次循环前和循环后的电荷密度差别小于一定的标准，我们称之为收敛。

如果以上过程不能收敛，则gaussian给出convergence failure的警告。 如果SCF计算收敛失败，你首先会采取哪些技巧呢？这里是我们强烈推荐的首选方法。 1 考虑使用更小的基组

由于一定的基组对应于一定精度和速度，所以更换基组并不在所有的情况下都适用。方法是首先用小基组进行计算，由前一个波函得到用于大基组计算的初始猜测(Guess=Read自动进行)。

2 增加最大循环步数

Gaussian默认的最大循环步数为64 (SCF=DM或SCF=QC方法则为512)，如果循环次数超过这个数目则会汇报convergence failure。在一定的情况下，不收敛的原因仅仅是因为最大循环步数不够。可以通过设置maxcyc来增大最大循环步数。更多的SCF迭代(SCF(MaxCycle=N)，其中

De e .2 01 4

CHI N ESE JoU RN A L oF EN G I N EERI N G M ATH EM TI CS

Vb 1 . 3 1 No . 6

d o i: 1 0 . 3 9 6 9/ j . i s s n . 1 0 0 5— 3 0 8 5 . 2 0 1 4 . 0 6 . 0 1 5

Ar t i c l e I D: 1 0 0 5 - 3 0 8 5 ( 2 0 1 4 ) 0 6 - 0 9 4 3 - 0 6

A na l yt i c Sol ut i ons of t he C auc hy Pr obl e m f o r

t he D G H Equat i on术ZHAO Ca i— xi a ,一 . FU Yi n g1

( 1一 S c h o o l o f Ma t h e ma t i c s, No r t h w e s t Un i v e r s i t y, Xi’ a n 7 1 0 1 2 7; 2一 E x p e r i me n t a l Mi d d l e S c h o o l o f Xi n z h o u

山不张扬自己的高度，并不影响它的耸立云端；海不张扬自己的深度，并不影响它海纳百川；地不张扬自己的厚度，但并没有谁能取代它承载万物的地位

在大自然中，那些空瘪的无实际用途的稻子总是高昂起头，挺直了身躯吸引众人的目光。然而最终供人食用的，却是那些低沉着头的稻子，它们实而不华。地势因为较低，而形成了海。做人因为能放低姿态，从而走向成功。

谦虚低调使人时刻保持清醒的头脑，稳中求胜。洛克菲勒在谈到早年从事煤油业时，曾这样说：等我事业有了起色，每晚睡前都会对自己说，你一定不要骄傲自大，你现在只不过有了一点点成就而已，一定不要骄傲自大，否则一切都会回到原点。你需要低头前进，否则就会陷入虚荣的旋涡中神志不清。”他怕自己承受不住作文成功的冲击，被虚荣愚蠢的思想控制住，于是选择低调前行。

为什么洛克菲勒的事业可以健步发展？这与他领悟了低”的奥秘是分不开的。在低调”的心态下使自己始终保持冷静，不怕名利、鲜花、掌声冲昏头，在事业的高峰时期也可以冷静地分析，权衡利弊。

低调做人，就是要不喧闹，不造作，不故作呻吟，不假惺惺，不卷入是非，不招人嫌，不招人妒，即使你认为自己满腹才华、学识渊博、能力比别人强，办事效率比别人高，也要学会藏拙。

过于张扬

关于瑕积分收敛的判断

课本中关于瑕积分收敛的判断主要是基于定理3与其推论（课本下册p.283）。由这一推论可以看出：推论是根据 x?a? （视具体情况亦可是 x?b?）时无穷大量 f?x? 相对于无穷大量

1? 的阶来判断。因为：lim??x?af?x??d 等价于

x?a?x?ax?alim?f?x?1?d ，当 0?d??? 时，无穷大量 f?x? 与无穷大量 是同?1?x?a???x?a?1 ，无穷大量 f?x? 的阶是 ? ），由于例3 （课x?a1本下册p.280），相对于无穷大量 ，无穷大量 f?x? 的阶 ??1 时瑕积分

x?a阶无穷大量（ 即：相对于无穷大量

?baf?x?dx 收敛，阶??1 时瑕积分

?f?x?dx 发散。当然，由于存在不可比较的无

ab穷大量，这一判断收敛的方法也不是万能的。

习题例解：

?例1． 判别瑕积分

?20d? 的敛散性（课本下册p.289：2（6））

1?sin?解：由于lim????2?1???，点 ?? 是其瑕点。又由于（注1）

21?sin????1?sin??1?cos??????2?

?2sin2??2 ，

?lim????22????1 ，当 ????2??2 时，相对于无穷大

De e .2 01 4

CHI N ESE JoU RN A L oF EN G I N EERI N G M ATH EM TI CS

Vb 1 . 3 1 No . 6

d o i: 1 0 . 3 9 6 9/ j . i s s n . 1 0 0 5— 3 0 8 5 . 2 0 1 4 . 0 6 . 0 1 5

Ar t i c l e I D: 1 0 0 5 - 3 0 8 5 ( 2 0 1 4 ) 0 6 - 0 9 4 3 - 0 6

A na l yt i c Sol ut i ons of t he C auc hy Pr obl e m f o r

t he D G H Equat i on术ZHAO Ca i— xi a ,一 . FU Yi n g1

( 1一 S c h o o l o f Ma t h e ma t i c s, No r t h w e s t Un i v e r s i t y, Xi’ a n 7 1 0 1 2 7; 2一 E x p e r i me n t a l Mi d d l e S c h o o l o f Xi n z h o u

写在前面的话：

特权同学花了很多时间在这一章上，甚至当初写《深入浅出玩转FPGA》的时候都没有这样投入过。因为觉得这个时序分析不仅重要，不仅对初学者来说有难度有深度，而且其中还有很多技巧和方法是非常值得总结和归纳的。特权同学虽然以往对这些知识点有过学习，有过实践，也有过总结，但是又一次对这些知识点的重新梳理才发觉其实还可以更深入。学无止境，站在前人（或者说是自己过往认知的基础上）的肩膀上我们可以看得更远，探得更深，摸得更透…… 为了不让大家等得太久，这一章分成多部分以博文形式发表，谢谢大家的支持！也很希望听到反馈的声音，你的问题也许就是我的疏忽。

特权同学在《深入浅出玩转FPGA》一书中也专门有章节和大家探讨时序相关概念，并且有数篇针对TimeQuest的分析案例。但其实很多人还是对这个熟悉而又陌生的知识点望而生畏，觉得无从下手。在初学时，特权同学也有过同样的困惑。但是今天回头看看过去走过的路，发现其实会与不会、懂与不懂之间只是隔了一层薄薄的窗纸而已，只要鼓起勇气花点时间费点精力再用点方法就足以捅破它，迎接你的将会是“柳暗花明又一村”式的豁朗开朗。

咱先在正式入题之前再说

正项级数收敛性的判别法

姓名：王浩 学号：200825020437 指导老师：汪会玲 摘要：

关键字：正项级数 收敛性 判别法

一、前言

二、判别法 （一）充要条件

定理1：正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界。即存在某正M，对一切自然数n有S

定理2：设和是两个正项级数，如果存在某正整数N，对一切都有那么

（1）若级数# 收敛，则级数 #也收敛 （2）若级数# 发散，则级数 #也发散 （三）比较判别法的极限形式 定理3：设 和 是两个正项级数，若 则 （1） （2） （3）

(四）比式判别法（达朗贝尔判别法）

定理4：设#为正项级数，且存在个自然数N及常数 (1)若对一切成立不等式 则级数收敛

(2)若对一切成立不等式 则级数收敛

(五)比式判别法的极限形式 定理5：若为正项级数，且 则

（1）当时，级数收敛 （2）当或时级数发散

（六）柯西判别法（根式判别法）

定理6：设为正项级数，且存在某正整数及常数 （1）若对一切，成立不等式

则级数收敛

（2）对一切成立不等式

则级数发散

（七）柯西判别法的极限形式 定理7：设为正项级数，且 则

（1）当时级数收敛 （2）当时级数发散 （八）积分判别法

定理8