解题达人理科数学

特级教师高考理数导数题型分析及解题方法总结

一、考试内容(重点)

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

32f(x)?x?3x?2在区间??1,1?上的最大值是 2 1．

22．已知函数y?f(x)?x(x?c)在x?2处有极大值，则常数c＝ 6 ；

33．函数y?1?3x?x有极小值 －1 ,极大值 3

题型二：利用导数几何意义求切线方程

3??1,?3?处的切线方程是 y?x?2 y?4x?x1．曲线在点

42．若曲线f(x)?x?x在P点处的切线平行于直线3x?y?0，则P点的坐标为 （1，0）

4y?x3．若曲线的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为 4x?y?3?0

4．求下列直线的方程：

322 （1）曲线y?x?x?1在P(-1,1)处的切线； （2）曲线y?x过点P(3,5

高中理科数学解题方法篇方程与函数

方程

错解剖析得真知（二十）平面解析几何初步§7.1直线和圆的方程

一、知识导学

1．两点间的距离公式:不论A(

1，

1

)，B(

2

，

2

)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=，特别地，与坐标轴平行

的线段的长|AB|=|

2－

1

|或|AB|=|

2

-

1

|.

2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三

点A(

1，

1

)，B(

2

，

2

)，P(，)之间数量关系

的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P

为分点，则定比分点公式是.当P点为

AB的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是

.

3．直线的倾斜角和斜率的关系

（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.

（2）斜率存在的直线，其斜率与倾斜角α之间的关系是=tanα.

4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.

名

称

方程说明适用条件

斜截式

为直线的斜

率

b为直线的纵

截距

倾斜角为

90°的直线

不能用此式

点斜式() 为

直线上的已

知点，为直

线的斜率

倾斜角为

90°的直线

不能用此式

两

点式=

()，()

是直线上两

个已知点

与两坐标轴

平行

数列型不等式放缩技巧八法

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一 利用重要不等式放缩

1． 均值不等式法

例1 设Sn?1?2?2?3???n(n?1).求证解析 此数列的通项为ak?n(n?1)(n?1)2

?Sn?.22k(k?1),k?1,2,?,n.

n1k?k?11，n??k?Sn??(k?)， ?k?k(k?1)??k?222k?1k?12即n(n?1)?Sn?n(n?1)?n?(n?1).

2222 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab?a?b，若放成

2k(k?1)?k?1则得Sn??(k?1)?(n?1)(n?3)?(n?1)，就放过“度”了！

k?1n222 ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

2 a1???ana12???an

每当上数学课时，总能看到他积极踊跃的身影，他就是我们班的数学小达人周睿远。

周睿远戴着一副眼镜，显得他更加有学问。记得有一次，戴老师提出一个很难的问题，难得我们抓耳挠腮，怎么也想不出来。就在这时，我们都目瞪口呆，小达人举起手来，心想：这可是难倒了全班55个人了耶，你能回答得出吗？我幸灾乐祸地想看他的笑话，同时也充满敬佩的心情，因为他数学成绩一直很优秀。只见他推了推眼镜，不急不慢地说：我们可以画个图来表示烧掉的部分”，看着戴老师脸上露出欣慰的表情，果然，他并没有答错。

当作文他回答完时，我们都被他思维方式惊呆了，直接是恍然大悟，茅塞顿开，并说道：哦噢！原来是这样解的呀”，厉害，真不愧是数学小达人。

他的获奖证书有三好学生、计算小能手，而且他也是体育小达人哦，几次在学校运动会给班级争光呢，真是文武双全啊！

他的脑筋很灵活，做题时也不是死板的。就说上次吧，做作业时，我一看题目老师在课上没讲过，我急忙跑去问周睿远他先是皱了皱眉头，然后对我说：你把半径调个位置就行了”。我这被他这一点也看通了，我点了点头，说了声谢谢。

怎么样，数学小达人名不虚传吧！

1 2013高三专题复习五 概率与统计

一．专题综述

在中学数学里，排列、组合、二项式定理、概率统计相对比较独立，他们与实际生活联系较紧，解决本部分的问题也有比较独特的思维方式，高考对本部分考察的命题往往具有一定得灵气。

二．考点选讲

【考点1】排列、组合的应用题 排列、组合的应用题是每年高考的必考点，几种典型的分析思路和典型的模型是我们要掌握的重点。

【例1】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内

（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？

（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？

（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

【练习1】设集合{}1,2,3,4,5I =。选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）种

A ．50

B ．49

C ．48

D ．47

【练习2】已知集合A ＝{1，2，3}，集合B ＝{4，5，6，7，8}，映射f :A →B 满足f (1)＜f (2)＜f (3)，则这样的映射f 共有( )

A 、35个

B 、15个

C 、53个

注重解题反思提高解题能力

作 者：陈丽玉

（桂林师范高等专科学校2005级初等教育专业，广西，桂林 541001）

[论文摘要]新课程标准非常重视学生良好学习方式的形成以及注重培养数学的数学素养。因此培养解

题的能力极其重要，如何提高学生的解题能力我主要从三方面出发，如何指导学生在解题前、解题过程中、解题后进行反思，使学生养成解题反思习惯，从而提高数学解题能力，并学会通过反思探索解题的思维过程，从解题中挖掘知识要点和所应用的数学思想方法。

[关键词] 解题悟性 创立目标意识 剖析思维过程

在实习期间，经过我认真地的观察发现有很多学生对课本习题、复习题非常熟练，解答顺利。在做题的时候有部分同学做完一道题不假思索，能快速地做其余的题目。照常规，他们的成绩应该是很理想的，但却出乎意外，成绩很平常，甚至出现低分。这到底是什么原因呢？“熟能生巧”这句古语究竟是否是数学学习的一条规律？??这一系列的问题促使我挖空心思，不断探索研究，由此我猜想：“解题与思维能力提高之间一定存在一个重要的环节，那就是解题后的反思环节，它是减轻学生课业负担的同时提高学生数学思维能力的必由之路。”最后，我还发现这其中的奥妙：其实学生在一个数学问题的解决时不单单是只会解这道题目

武汉-交大力泉 15:32:23

高考数学解题思路一：函数与方程思想

函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。

高考数学解题思路二：数形结合思想

中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此我们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。

高考数学解题思路三：特殊与一般的思想

用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，我们可以直接确定选择题中的正确选项。不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样精彩。

高考数学解题思路四：极限思想解题步骤

极限思想解决问题的一般步骤为：(1)对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量;(2)确认这变量通过无限过程的结果就

数学解题教学探讨

摘要：就数学的解题教学从重一题多解、重视一题多变到培养学生抓住问题的实质的能力；从尊重学生的思维选择到立足通法、兼顾巧法等作了阐述，认为对学生要加强思维教育，培养能力，数学解题教学才能收到好的效果。 关键词：数学教学；解题；思维；能力探讨

绝大部分的数学家和从事数学教育的工作者都肯定了解解题教学在数学教学中的重要性，学生数学思维能力的提高，只有在解决数学问题的思维实践中才能实现。对数学解题教学中思维教育应侧重于如何启发、引导，同时展示教师的思维过程来达到训练学生思维能力的目的。在解题教学中应注重从以下几个方面来培养学生的数学能力和数学素质。 一、重视一题多解，一题多变

解题过程中，教师应有目标、有计划地引导学生体会、提炼其隐含的数学思想方法，通过一题多解使学生在接受知识的同时，受到数学思想方法的熏陶和启迪，这样，才能把提高学生的能力落到实处。

一题多变常常能使学生把问题的诸方面都观察到，从而掌握这类问题的解题规律。例如求定义在一个闭区间上函数y=ax2+bx+c的值域时，我这样安排例题：求函数y=―x2+4x―2定义在区间［0,3］上的值域（显然其顶点横坐标―b2a=2），经过引导，学生懂了，会解了。

目 录

前言 ????????????????????? 2 第一章

高中数学解题基本方法 ????????? 3 一、 配方法 ??????????????? 3 二、 换元法 ??????????????? 7 三、 待定系数法 ????????????? 14 四、 定义法 ??????????????? 19 五、 数学归纳法 ????????????? 23 六、 参数法 ??????????????? 28 七、 反证法 ??????????????? 32 八、 消去法 ??????????????? 九、 分析与综合法 ???????????? 十、 特殊与一般法 ???????????? 十一、 十二、 第二章

类比与归纳法 ?????????? 观察与实验法 ??????????

高中数学常用的数学思想 ???????? 35

一、 数形结合思想 ???????????? 35 二、 分类讨论思想 ???????????? 41 三、 函数与方程思想 ??????????? 47 四、 转化（化归）思想 ?????????? 54 第三章

高考热点问题和解题策略 ???????? 59 一、 应用

小学数学解题方法解题技巧之列表法

把应用题中的条件简要地摘录下来，列表分类整理、排列，并借助这个表格分析、解答应用题的方法叫做列表法。

在用列表法解题时，要仔细判断题中哪些数量是同一件事中直接相关联的，哪些数量是同一类的。排列数量时，要尽量做到“同事横对”，“同名竖对”。这就是说，要使同一件事中直接相关联的数量横向排列，使同一类的、单位名称相同的数量竖着排列，还要使它们的数位上、下对齐。

这样就可以在读题、列表的过程中正确识别数量，选择数量，理解数量之间的联系、区别，理清思路，为下一步的分析、推理作好准备。

（一）通过列表突出题目的解法特点

有些应用题的解法具有一定的特点，如果把题中的条件按一定的格式排列，整理成表，则表格会起到突出题目解法特点的作用。

例1 桌子上放着黄、红、绿三种颜色的塑料碗。3只黄碗里放着51个玻璃球，5只红碗里放着75个玻璃球，2只绿碗里放着24个玻璃球。要使每只碗里玻璃球的个数相同，每只碗里应放多少个玻璃球？（适于四年级程度）

解：摘录题中条件，排列成表15-1。 表15-1

求每只碗里应放多少个球，要先求出一共有多少个碗，和在这些碗中一共放了多少个球。由于表15-1中把碗的只数排列在前一竖行，把球的个数排列在另一