周期矩形信号的傅里叶级数

周期型方形信号的傅里叶级数展开

周期方形信号的傅里叶级数展开

提出问题：

用有限项傅里叶级数展开逼近周期方波信号。

设周期为1的方波信号由以下函数给出

??

???<=>=-<>=<->=+=)2且1(1)1且0()0且1(1)x (x x x x x x x x x f 。

利用Matlab 软件符号运算及绘图功能，观察方形信号由有限项傅里叶级数展开式的合成情况。

问题背景：

在信号分析与处理，特别是工程中，对于周期信号的处理通常采用傅里叶级数展开来进行分析，即频率分析法。在实际信号处理过程中，可以借助Matlab 软件来模拟傅里叶级数对于信号的逼近情况。

知识基础：

周期函数的傅里叶级数展开，Matlab 软件

实验过程：

对于周期为2π函数()f t , 满足Dirichlet 条件，则可展为傅里叶级数

经过傅里叶变换得到： ?????????---

+-

=∑∑∑∞∞∞111))

1(2sin(21)2sin(2

1))1(2sin(2

1)(x

k x k x k x f πππ 将级数展开式截断到有限项可用来逼近周期函数。利用Matlab 软件，编写程序如下： clear;clc;x=lin

周期方波的傅里叶级数

周期方形信号的傅里叶级数展开

提出问题：

用有限项傅里叶级数展开逼近周期方波信号。

设周期为2 的方波信号由以下函数给出

f(t) /4, 0 t 。

/4, t 2

利用Mathematica软件符号运算及绘图功能，观察方形信号由有限项傅里叶级数展开式的合成情况。

问题背景：

在信号分析与处理，特别是工程中，对于周期信号的处理通常采用傅里叶级数展开来进行分析，即频率分析法。在实际信号处理过程中，可以借助Mathematica软件来模拟傅里叶级数对于信号的逼近情况。

知识基础：

周期函数的傅里叶级数展开，Mathematica软件

实验过程：

对于周期为2 函数f(t), 满足Dirichlet条件，则可展为傅里叶级数

将级数展开式截断到有限项可用来逼近周期函数。利用Mathematica软件，编写程序如下： Clear[s,f,n,k,x,t,a,b,A,B]

f[t_]:=Piecewise[{{4/Pi,0 t

实验报告

课程名称 信号与线性系统分析

实验名称 周期信号的傅里叶级数和频谱分析 实验类型 验证 （验证、综合、设计、创新）

3日

实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析

1实验目的

1）学会利用MATLAB分析傅里叶级数展开，并理解傅里叶级数的物理含义； 2）学会利用MATLAB分析周期信号的频谱特性。

2实验原理及实例分析

周期信号可以再函数的区间里展成在完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别成为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称为傅里叶级数。

2.1周期信号的傅里叶级数

（基本原理请参阅教材第四章的4.1节和4.2节。）

例1：周期方波信号f(t)如图1所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB编程实现其各次谐波的叠加，并验证Gibbs现象。

f(t)3210-1-2-3-2-1.5-1-0.50t(sec)0.511.52

图1 周期方波信号f(t)的波形图

解：从理论分析可知，周期方波信号f(t)的傅里叶级数展开式为

f(t)?1111(sin?0t?sin3?0t?sin5?0t?sin7

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Signals and Systems

第3章 周期信号的傅里叶级数表示 章Fourier Series Representation of Periodic Signals

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本章内容： 本章内容：Ⅰ. 周期信号的频域分析 Ⅱ. LTI系统的频域分析 系统的频域分析 Ⅲ. 傅里叶级数的性质

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本章的目录: 本章的目录:3.0 引言 3.1 历史回顾 3.2 LTI系统对复指数信号的响应 系统对复指数信号的响应 3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3.4 傅里叶级数的收敛 3.5 连续时间傅里叶级数性质 3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示 3.7 离散时间傅里叶级数性质 3.8 傅里叶级数与 傅里叶级数与LTI系统 系统 3.9 滤波 3.10 用微分方程描述的连续时间滤波器举例 3.11 用差分方程描述的离散时间滤波器举例 3.12 小结

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3.0 引言 Introduction时域分析方法的基础： 时域分析方法的基础： 信号在时域的分解。 1) 信号在时域的分解。2) LTI系统满足线性、时不变性。 系统满足线性、 系统满足线性 时不变性。

从分解信号的角

实验三 连续时间周期信号的傅里叶级数

一、实验目的

掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的展开和合成，理解吉布斯现象，掌握周期矩形脉冲信号的频谱及脉冲宽度、周期对周期信号频谱的影响。

二、实验内容

1、周期信号的傅里叶级数的展开和合成

画出如下图对称方波（取E=1、T=1），并采用有限项傅里叶级数对原函数进行逼近，画出对称方波的1、3、5、7、9、11次谐波的傅里叶级数合成波形，观察吉布斯现象。

sum=0; t=-3:0.01:3;

E=1;T=1;ta=T/2;w=2*3.14159/T; for n=1:1

fn=(2*E*ta/T)*sin(w*ta*n/2)/(w*ta*n/2); f=(E*ta/T)+cos(n*w*t)*fn-E/2; sum=sum+f; end

plot(t,sum)

sum=0; t=-3:0.01:3;

E=1;T=1;ta=T/2;w=2*3.14159/T; for n=1:3

fn=(2*E*ta/T)*sin(w*ta*n/2)/(w*ta*n/2); f=(E*ta/T)+cos(n*w*t)*fn-E/2; sum=sum+f; end

plot(t,sum)

sum=0; t=-3:0.01:

重庆三峡学院 《信号与系统分析》实验

实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析

1实验目的

1）学会利用MATLAB分析傅里叶级数展开，并理解傅里叶级数的物理含义； 2）学会利用MATLAB分析周期信号的频谱特性。

2实验原理及实例分析

2.1 周期信号的傅里叶级数

（基本原理请参阅教材第四章的4.1节和4.2节。）

例1：周期方波信号f(t)如图1所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB编程实现其各次谐波的叠加，并验证Gibbs现象。

f(t)3210-1-2-3-2-1.5-1-0.50t(sec)0.511.52

图1 周期方波信号f(t)的波形图

解：从理论分析可知，周期方波信号f(t)的傅里叶级数展开式为

f(t)?4(sin?0t?1111sin3?0t?sin5?0t?sin7?0t?sin9?0t??) 3579?其中，?0?2??2?。则可分别求出1、3、5、9、19、39、79、159项傅里T叶级数求和的结果，其MATLAB程序如下，产生的图形如图2所示。

close all;clear all; clc

t =

§8.7 周期函数的傅里叶函数

8.7.1 基本三角函数系简单的周期运动 : 复杂的周期运动 :(谐波函数)

( A为振幅, 为角频率, 为初相 )

An sin n cos n t An cos n sin n t令

(谐波迭加)

an An sin n , bn An cos n , a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1称上述形式的级数为三角级数.2

定理 1. 基本三角级数函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在

上的积分等于 0 .证:

1 cos nxd x 1 sin nxd x 0 cos k x cos nx dx 1 2

cos(k n) x cos(k n) x d x 0 同理可证 : sin k x sin nx d x 0 (k n ) cos k x sin nx d x 0

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有

1 1dx 2

cos 2 n x d x

§8.7 周期函数的傅里叶函数

8.7.1 基本三角函数系简单的周期运动 : 复杂的周期运动 :(谐波函数)

( A为振幅, 为角频率, 为初相 )

An sin n cos n t An cos n sin n t令

(谐波迭加)

an An sin n , bn An cos n , a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1称上述形式的级数为三角级数.2

定理 1. 基本三角级数函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在

上的积分等于 0 .证:

1 cos nxd x 1 sin nxd x 0 cos k x cos nx dx 1 2

cos(k n) x cos(k n) x d x 0 同理可证 : sin k x sin nx d x 0 (k n ) cos k x sin nx d x 0

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有

1 1dx 2

cos 2 n x d x

实验三周期信号的傅里叶级数分析及MATLAB实现

一、实验目的：

1.利用MATLAB实现周期信号的分解与合成，并图示仿真结果；

2.用MATLAB实现周期信号的频谱，画图观察和分析周期信号的频谱；

3.通过MATLAB对周期信号频谱的仿真，进一步加深对周期信号频谱理论知识的理解。

二、实验内容

9.1（a）：程序：

display('Please input the value of m(傅里叶级数展开项数)'); m=input('m='); t=-3*pi:0.01:3*pi; n=round(length(t)/4);

f=cos(t).*(heaviside(t+2.5*pi)-heaviside(t+1.5*pi)+heaviside(t+0.5*pi)-heaviside(t-0.5*pi)+heaviside(t-1.5*pi)-heaviside(t-2.5*pi)); y=zeros(m+1,max(size(t))); y(m+1,:)=f'; figure(1);

plot(t/pi,y(m+1,:)); grid;

axis([-3 3 -1 1.5]); title('半波余弦');

xlabel('单位:pi',

第十五章

第二节 一般周期函数 的傅里叶级数一、周期为2l 的函数展开成 傅里叶级数 二、定义在[-l, l ]和[0, l ]区间上 的函数展开成傅里叶级数

一、周期 T = 2l 的函数展开成傅里叶级数T 2l x l t T 2π l t ) (t ) 展开 思路： f ( x ) f ( t [ , ] x [ l , l ] f ( x) n x l n x l (t

xl

)

1 an ( n 0 , 1 , 2 , ) ( t ) cos nt d t π l 1 n x x 1 l 1 n f (x x )) cos x d x ( n 1 , 2 , ) bn ( t sin nt d t f ( ) cos d l l l l l l

bn

1

(t ) sin nt d tl

( n 1 , 2 , )

x t l 1

l

n x f ( x ) sin dx l l

1 l n x f ( x ) sin dx l l l

定理4 (展开定理)

设周期