椭圆中蝴蝶定理几何证明
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几何中的蝴蝶定理
几何中的蝴蝶定理
几何之蝴蝶定理
一、 基本知识点
模型一:同一三角形中,相应面积与底的正比关系:
即:两个三角形高相等,面积之比等于对应底边之比。
b
S1︰S2 =a︰b ; 模型一的拓展: 等分点结论(“鸟头定理”)
如图,三角形AED占三角形ABC面积的
211
×= 346
模型二:任意四边形中的比例关系 (我们把它称作蝴蝶定理)
As2
B
D
s1S3
C
S4
①S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4 ②AO︰OC=(S1+S2)︰(S4+S3)
模型三:梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
几何中的蝴蝶定理
as1s2
S3b
S4
①S1︰S3=a︰b
22
②S1︰S3︰S2︰S4= a︰b︰ab︰ab ;
2
③S的对应份数为(a+b)模型四:相似三角形性质
22
bB
ha
cCH
ah
c
BHA
A
①
abch
; ABCH
2
2
②S1︰S2=a︰A
二、 例题分析
例1、如图,AD DB,AE EF FC,已知阴影部分面积为5平方厘米,ABC的面积是多少平方厘米?
例2、有一个三角形ABC的面积为1,如图,且AD 三角形DEF的面积.
A
111
AB,BE BC,CF CA,求234
D
例3、如图,在三角形ABC中,
蝴蝶定理的证明及推广
校选课《数学文化》课程论文
一 蝴蝶定理的证明
(一)运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明
蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现,于是涌现了很多利用中学简单几何
方法完成蝴蝶定理的方法。
1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线,同时诞生了各种美妙的思想,蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下,翩翩起舞!
证法1 如图2,作OU?AD,OV?BC,则垂足U,V分别为AD、BC的中点,且由于
?EUO??EMO?90? ?FVO??FMO?90?
得M、E、U、O共圆;M、F、V、O共圆。 则?AUM=?EOM,?MOF??MVC
??MV又?MAD??MCB,U、V为AD、BC的中点,从而?MUA,
?AUM??MVC
则 ?EOM??MOF,于是ME=MF。[1]
证法2 过D作关于直线OM的对称点D',如图3所示,则
?FMD'??EMD,MD=MD' ○1
联结D'M交圆O于C',则C与C'关于OM对称,即
PC'?CQ。又
111?CFP=(QB+PC)=(QB+CC'+CQ)=BC'=?BD'C'
222故M、F、B、D'四点共圆,即?MBF??MD'F
而
小学奥数几何之蝴蝶定理
几何之蝴蝶定理
一、 基本知识点
定理1:同一三角形中,两个三角形的高相等,则面积之比 等于对应底边之比。
S1 : S2 = a : b
定理2:等分点结论( 鸟头定理)
如图,三角形△AED的面积占三角形△ABC的面积的
313?? 5420
定理3:任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)
1) S1∶S2 =S4∶S3 或 S1×S3 = S2×S4
上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积
2)AO∶OC = (S1+S2)∶(S4+S3)
梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)
1)S1∶S3 =a2∶b2
上、下部分的面积比等于上、下边的平方比
2)左、右部分的面积相等
3)S1∶S3∶S2∶S4 =a2∶b2 ∶ab∶ab
4)S的对应份数为(a+b)2
定理4:相似三
3几何选讲平面几何中几个重要定理的证明
初等几何选讲复习资料三
几何选讲平面几何中几个重要定理及证明
一、塞瓦定理
1.塞瓦定理及其证明
定理:在?ABC内一点P,该点与?ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F,且D、E、F三点均不是?ABC的顶点,则有
D B F P C A ADBECF???1.
DBECFAE ADS?ADPS?ADC?证明:运用面积比可得DB?S. S?BDP?BDC根据等比定理有
S?ADPS?ADCS?ADC?S?ADPS?APC???S?BDPS?BDCS?BDC?S?BDPS?BPC,
ADS?APCBES?APBCFS?BPC?所以DBS.同理可得,. ???BPCFAS?APBECS?APCADBECF???1. 三式相乘得
DBECFA
注:在运用三角形的面积比时,要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”,这样就可以产生出“边之比”.
2.塞瓦定理的逆定理及其证明
定理:在?ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、
ADBECF???1,F,且D、E、F均不是?ABC的顶点,若
DBECFA那么直线CD、AE、BF三线共点.
证明:设直线AE与直线BF交于点P,直线CP交A
立体几何证明8条定理
直线与平面平行的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判不在平面内的一条直线与此定定理 平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为线线平行?线面平行) 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与 ?a?α??l∥α l∥a?l?α性质定此平面的交线与该直线平行理 (简记为线面平行?线线平行) 平面与平面平行的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 ?a?β??a∥b α∩β=b?a∥α符号语言 判一个平面内的两条相交直线定定理 与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为线面平行?面面平行) ??a∩b=P??α∥β a∥β??b∥βb?αa?α性质如果两个平行平面同时和第α∥β定三个平面相交,那么它们的理 交线平行
?α∩γ=a??a∥b β∩γ=b?
直线与平面垂直的判定定理及性质定理
判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 图形语言 a,b?αa∩b=Ol⊥al⊥b???l⊥α ?性质垂直于同一个平面的两条直定线平行 理
a⊥α???a∥b b⊥α?平面与平面垂直的判定定理及性质定理
文字语言 符号语言 判定
蝴蝶定理和风筝定理
第三讲 蝴蝶定理和风筝定理
一、引入
1、蝴蝶定理
在梯形ABCD中,由对角线AC与BD分成的左右两个三角形(△ADO和△BCO)形状有点像一对蝴蝶翅膀,把这两个三角形称为蝴蝶三角形(如图),蝴蝶三角形的面积相等。
B A
O D 即S△ADO=S△BCO
C 2、风筝定理
在任意四边形ABCD中,对角线AC、BD分成了四个三角形(如图), A S1 这四个三角形的面积分别记为:S1 、S2 、S3 、S4。
则它们的关系是:
S3 O S1×S4 =S2×S3
S4
即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
D
B S2
C 二、新授课
【例1】如图,梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形,已知△AOD的面积是3平方厘
米,△DOC的面积是9平方厘米,梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
A O D C B
练习
1、如图,2BO=DO,且阴影部分的面积是4cm2,那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
B A
O D 2
2、如图,阴影部分面积是4cm,OC=2AO,求梯形的面积。 B A O
C D 1 C
【例2】如图,BD,CF将长方形ABCD分成四块,红色三角形的面积是4平方厘米,黄
色三
蝴蝶定理与燕尾定理
燕尾定理
燕尾定理:
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,那么S?ABO:S?ACO?BD:DC.
AEO
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
FBDCAS2aS1OS3S4DBbC
①S1:S3?a2:b2
②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab; ③S的对应份数为?a?b?. 等积变形
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如左图S1:S2?a:b
2ABS1aS2bCD
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图S△ACD?S△BCD;
反之,如果S△ACD?S△BCD,则可知直线AB平行于CD.
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或
蝴蝶定理与燕尾定理
燕尾定理
燕尾定理:
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,那么S?ABO:S?ACO?BD:DC.
AEO
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
FBDCAS2aS1OS3S4DBbC
①S1:S3?a2:b2
②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab; ③S的对应份数为?a?b?. 等积变形
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如左图S1:S2?a:b
2ABS1aS2bCD
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图S△ACD?S△BCD;
反之,如果S△ACD?S△BCD,则可知直线AB平行于CD.
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或
蝴蝶定理与燕尾定理
蝴蝶定理与燕尾定理
蝴蝶定理与燕尾定理
办学理念:把您的孩子当成我们的孩子文远教育中小学生个性化教育公司 1 ABCDEFABCDEF文远教育__数学__学科教师辅导教案第_1_讲 教师姓名__沈军__学生_汪铮_时间_2011_年_10_月 11_ 日 __19-_21 时段 课 题 蝴蝶定理与燕尾定理 教学目标 1、理解模型1的基本原理2、理解3个模型的内容和意义3、应用模型解决问题4、真题演练 个性化重点、难点 重点模型2和3 难点模型1的基本原理的应用 考点及考试要求 求面积的比例求面积的大小 教学内容 模型一同一三角形中相应面积与底的正比关系 即两个三角形高相等面积之比等于对应底边之比。 模型一的拓展 等分点结论“鸟头定理” 如图三角形AED占三角形ABC面积的23×1416 1. 北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛第一题第4题 如右图BE31BCCD41AC那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______. 模型二任意四边形中的比例关系 “蝴蝶定理” ①S1S2S4S3 或者S1×S3S2×S4 ②
AOOCS1S2S4S3 B A E C D S4S3s2s1ODCBADECBA 办学理念:把您的孩
蝴蝶定理与燕尾定理
燕尾定理
燕尾定理:
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,那么S?ABO:S?ACO?BD:DC.
AEO
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
FBDCAS2aS1OS3S4DBbC
①S1:S3?a2:b2
②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab; ③S的对应份数为?a?b?.
等积变形
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如左图S1:S2?a:b
2ABS1aS2bCD
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图S△ACD?S△BCD;
反之,如果S△ACD?S△BCD,则可知直线AB平行于CD.
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或