留数定理在定积分中的应用

留数定理在定积分中的应用

1． 留数定义及留数定理

1．1 留数的定义

设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <?<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓ

Γ?=<<?为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z a

s f z =． 1．2 留数定理

介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理： 设D 是由复周线012C C C C --=+++…n C -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_

D D C =+上连续，则()0C f z dz =?．

定理1 []1

（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_

D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re k n

z a k C f z dz i s f z π===∑?． （1） 证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ?=（1,2,k =…,n ）使

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MATLAB在定积分教学中的应用

作者：任晴晴 霍振香 靳志同 赵宜宾 来源：《亚太教育》2015年第09期

作者简介：任晴晴（1987.2-），女，汉族，山东高密人，研究生，讲师，研究方向：统计学。

霍振香（1985.8-），女，汉族，河北邯郸人，研究生，讲师，研究方向：应用数学。 靳志同（1984.2-），男，汉族，河北邯郸人，研究生，讲师，研究方向：应用数学。 赵宜宾（1976.12-），男，汉族，河北三河人，研究生，教授，研究方向：应用数学。 摘要：本文借助于MATLAB软件将定积分的定义过程进行动态演示，并将程序运行结果以图表形式呈现。结合软件将理论知识进行形象直观展示，有利于学生对于知识的理解和掌握。

关键词：MATLAB;定积分;直观展示

中图分类号：O172.2文献标志码：A文章编号：2095-9214（2015）03-0099-02

高等数学是本科理工类学生的一门非常重要的基础课，该课程理论严谨，应用广泛。传统的高等数学教学过于注重理论推导

1．7定积分的简单应用

1．7.1定积分在几何中的应用

双基达标(限时20分钟)

1．由y＝

1

x

，

x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为

()．A．ln 2 B．ln 2－1

C．1＋ln 2 D．2ln 2

解析画出曲线y＝

1

x(x>0)及直线x＝1，x＝2，y＝0，

则所求面积S为如图所示阴影部分面积．

＝ln 2－ln 1＝ln 2.故选A.

答案 A

2．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有

()．

A．①③B．②③

C．①④D．③④

答案 D

3．由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为

()．A.

16

3 B.

8

3

C.

4

3 D.

2

3

解析画出曲线y＝x2和直线y＝2x，则所求面积S为图中阴影部分的面积．

解方程组

??

?

??y＝2x，

y＝x2，

得

??

?

??x＝0，

y＝0

或

??

?

??x＝2，

y＝4.

∴A

(2,4)，O (0,0)．

＝4－? ??

??83－0＝43.故选C. 答案 C

4．由曲线y ＝2x 2，及x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积为________．

解析 由题意画草图：

答案 18

5．直线x ＝π2，x ＝3π2，y ＝0及曲线y ＝cos x 所围成图形的面积________．

解析 由题意画草图：

洛阳师范学院 数学科学学院 《数学分析》教案

第十章 定积分的应用

在上一章引入定积分概念时，曾把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程表示为积分和的极限，即要用定积分来加以度量。事实上，在科学技术中采用“分割、作和、取极限”的方法去度量实际量得到了广泛的应用。本章意在建立度量实际量的积分表达式的一种常用方法——微元法，然后用微元法去阐述定积分在某些几何、物理问题中的应用。

§1平面图形的面积

教学目标：掌握平面图形面积的计算公式． 教学内容：平面图形面积的计算公式．

(1) 基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式．

(2) 较高要求：提出微元法的要领． 教学建议：

(1) 本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握．

(2) 领会微元法的要领． 教学过程：

1、微元法

bI?众所周知，定积分

?f?x?dxa是由积分区间

?a,b?及被积函数f(x)所决定

的，而定积分对积分区间具有可加性，即如果把积分区间作为任意划分

?:x0?a?x1?x2???xn?1?xn?b

记

?Ik??xkxk?1f(x)dx k?1,2

２００９年９月第２３卷第３期

阴山学刊

ＹＩＮＳＨＡＮＡＣＡＤＥＭＩＣＪＯＵＲＮＡＬ

Ｓｅｐ．２００９Ｖ０１．２３

Ｎｏ．３

欧拉积分在求解定积分中的应用

田

兵

（包头师范学院学报编辑部，内蒙古包头０１４０３０）

摘要：本文叙述了欧拉积分的定义及相关性质，着重通过举例说明欧拉积分在实际计算中的应用。关键词：欧拉积分；定义；性质；应用

中图分类号：０１７２．２文献标识码：Ａ文章编号：１００４—１８６９（２００９）０３－００２２—０３

求解定积分是学习高等数学的一个重要内容，也是解决数学问题的一个基本技能。求解定积分的

∞）内闭一致收敛。Ｆ（ｄ）在区间（０，＋∞）连续，求导在积分号下进行：

方法一般来说是先求出原函数，然后再根据牛顿一一莱布尼茨公式带人上下限进行计算。这种方法对

于一般的定积分求解问题比较实用。

ｒ“’（ａ）＝ｆ石”１ｅ１（１似）“ｄｘ

（２）递推公式Ｖｄ＞０，有

ｒ（ａ＋１）＝ａｒ（ａ）。

这个性质可有分布积分公式得到。

，＋∞

，＋蕾

在实际问题中，有许多定积分的原函数，难以计算或者计算过程非常繁杂。而如果将其进行适量的变量代换，变为我们熟悉的定积分，那么这一问题就

得到了很好的解决。欧拉积分恰恰就是我们解决这

ｒ（ａ＋１）＝Ｉ

Ｘａｅ－ｘ

帕

石。ｅ—ｄｘ＝Ｉ加

ｘ。ｄ（一

２００９年９月第２３卷第３期

阴山学刊

ＹＩＮＳＨＡＮＡＣＡＤＥＭＩＣＪＯＵＲＮＡＬ

Ｓｅｐ．２００９Ｖ０１．２３

Ｎｏ．３

欧拉积分在求解定积分中的应用

田

兵

（包头师范学院学报编辑部，内蒙古包头０１４０３０）

摘要：本文叙述了欧拉积分的定义及相关性质，着重通过举例说明欧拉积分在实际计算中的应用。关键词：欧拉积分；定义；性质；应用

中图分类号：０１７２．２文献标识码：Ａ文章编号：１００４—１８６９（２００９）０３－００２２—０３

求解定积分是学习高等数学的一个重要内容，也是解决数学问题的一个基本技能。求解定积分的

∞）内闭一致收敛。Ｆ（ｄ）在区间（０，＋∞）连续，求导在积分号下进行：

方法一般来说是先求出原函数，然后再根据牛顿一一莱布尼茨公式带人上下限进行计算。这种方法对

于一般的定积分求解问题比较实用。

ｒ“’（ａ）＝ｆ石”１ｅ１（１似）“ｄｘ

（２）递推公式Ｖｄ＞０，有

ｒ（ａ＋１）＝ａｒ（ａ）。

这个性质可有分布积分公式得到。

，＋∞

，＋蕾

在实际问题中，有许多定积分的原函数，难以计算或者计算过程非常繁杂。而如果将其进行适量的变量代换，变为我们熟悉的定积分，那么这一问题就

得到了很好的解决。欧拉积分恰恰就是我们解决这

ｒ（ａ＋１）＝Ｉ

Ｘａｅ－ｘ

帕

石。ｅ—ｄｘ＝Ｉ加

ｘ。ｄ（一

第五章 定积分的应用

在本章中，我们将利用学过的定积分理论来解决一些实际问题.首先介绍建立定积分数学模型的方法——微分元素法；再利用这一方法求一些几何量(如面积、体积、弧长等)和一些物理量(如功、液体静压力、引力等)；并介绍定积分在经济学中的简单应用.

第一节 微分元素法

实际问题中，哪些量可用定积分计算？如何建立这些量的定积分表达式？本节中我们将回答这两个问题.由定积分定义知，若f在区间?（x）?a,b??上可积，则对于??a,b??的任一划分：

a?x0＜x1＜?＜xn?b，及??xi?1,xi??中任意点ξi,有

n?baf(x)dx?limλ?0?i?1f(ξi)Δxi，

(5?1?1)

这里Δxi?xi?xi?1?i?1,2,?,n?,λ?max?Δxi?. (5?1?1)式表明定积分的本质是一类特定和式

1?i?n的极限，此极限值与?只与区间?有关.基于此，（x）?a,b??的分法及点ξi的取法无关，?a,b??及函数f我们可以将一些实际问题中有关量的计算归结为定积分来计算.例如，曲边梯形的面积、变速直线运动的位移等均可用定积分来表达.由上一章中分析曲边梯形面积用定积分来表示的过程，

第四节 广义积分

在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分，因此，我们需要对定积分作两种推广，从而形成了广义积分的概念. 一. 无穷区间上的广义积分

1.引例1.求下述广义曲边梯形的面积.

（1）由曲线y?e?x，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?limb????b0?x?b??1 edx?lim?1?e?b????（2）由曲线y?ex，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?lima????0axa??1. edx?lim?1?e?a????2．定义1.设函数f?x?在区间?a,???上连续，取b?a.如果极限 lim存在，则称此极限为函数f?x?在区间?a,???上的广义积分，记作?即：???a??b????f?x?dxab

af?x?dx.

f?x?dx?lim??b????f?x?dxab ————（1）

这时，也称广义积分?惯上称为广义积分???aaf?x?dx收敛；如果上述极限不存在，函数f?x?在区间?a,???上的广义积分就没有意义，习

f?x?dx发散.

定义2.设函数f?x?在区间???,b?上连续，取a

对称性在定积分及二重积分计算中的应用

第１０卷第１期２０１０年１月１６７１—１８１５（２０１０）１－０１７２—０４

科学技术与工程

ＳｃｉｅｎｃｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ

Ｖ０１．１０⑥２０１０

Ｎｏ．１

Ｊａｎ．２０１０

Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｎｇ．

对称性在定积分及二重积分计算中的应用

薛春荣

王

芳

（渭南师范学院数学系，渭南７１４０００）

摘要

运用数学分析中的积分总结了对称性在积分运算中的应用，给出了对称性在定积分、二重积分运算中的有关定理以

及应用；充分体现了对称性在积分运算中带来的方便，达到了简化积分运算的目的。这一点对于数学理论的研究及积分运算的解答都有重要意义。关键词

对称性

定积分

二重积分

中图法分类号０１７２．２；文献标志码Ａ

积分在数学分析中有很重要的地位；积分的计算方法有许多种，相关文献都对其有探讨，但是对对称性的研究却很少涉及。对称性在积分运算中有着很重要的意义，通常可以简化计算。本文研究了对称性在积分运算中的应用，归纳总结出利用平面区域的对称性来计算积分。

，．ｏ

肪圳戈＝厂∥圳戈＋取圳戈＝

舢

，．ｏ

．，ｏ

ｆ八一右）ｄ（一右）＋ｆ八戈）ｄｘ＝

．，Ｏ

肛州右＋肛州戈。

，．ｏ

１相关定理及证明

定理１

ｕ。

所以：．Ｊ一疆戈）出＝２．Ｊ∥戈）毗

学号：

本科毕业论文

学 院 专 业 年 级 姓 名 论文题目 定积分的若干应用 指导教师 薛艳昉 职称 讲师

2013年5月16日

目 录

摘 要 ····························································································· 1 关键词 ····························································································· 1 Abstract ···········································································