不定积分的分部积分法公式
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换元积分法与分部积分法
《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院
§8.2 换元积分法与分部积分法
教学目标:掌握第一、二换元积分法与分部积分法. 教学内容:第一、二换元积分法;分部积分法.
基本要求:熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法. 教学建议:
(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题. (2) 总结分部积分法的几种形式:升幂法,降幂法和循环法. 教学过程:
一、第一类换元法 ——凑微分法:
有一些不定积分,将积分变量进行适当的变换后,就可利用基本积分表求出积分。例如,求不定积分?,如果凑上一个常数因子2,使成为 11cos2xdx?cosx?2xdx?cos2xd?2x????22
cos2xdx令2x?u则上述右端积分
111cos2xd2x?cosudu?sinu?C??2?2?2
然后再代回原来的积分变量x,就求得原不定积分
?cos2xdx?更一般的,若函数并且复合运算
F????x???1sin2x?C2
F?x?是函数
f?x?的一个原函数,
????x?是可微函数,
有意义,根据复合函数求导法则
?F??
不定积分基本公式
不定积分基本公式
第二节 不定积分的基本公式和直接积分法(Basic Formula of Undefined
Integral and Direct Integral)
课 题:1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型:讲授 教学目的:熟练掌握不定积分的基本公式,对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点:不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具:多媒体课件 教学方法: 教学内容:
一、不定积分的基本公式
由于不定积分是求导的逆运算,所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 不定积分的基本公式
(C) 0x 1
(x 1)
1 x (ex) ex(ax) axlna1x
(sinx) cosx(cosx) sinx(lnx) (tanx) sec2x(cotx) csc2x(secx) secxtanx(cscx) cscxcotx(arcsinx)
1
(arctanx)
1 x2
(arccosx) 1
(arccotx)
1 x21
(logax)
xlna
0dx C dx x C
x 1
xdx 1
4.1不定积分的概念与基本积分公式
高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题
第4 章
不定积分
4.1 不定积分的概念与基本积分公式 4.2 换元积分法 4.3 分部积分法
高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题
第4 章基本要求
不定积分
了解原函数提出的背景; 了解原函数提出的背景; 理解并掌握不定积分概念,了解不定积分的几何意义; 理解并掌握不定积分概念 了解不定积分的几何意义; 了解不定积分的几何意义 掌握不定积分的性质,熟记基本积分公式; 掌握不定积分的性质,熟记基本积分公式; 掌握不定积分的直接积分法,凑微分法 第二换元积分法 掌握不定积分的直接积分法 凑微分法,第二换元积分法 根号 凑微分法 第二换元积分法(根号 中为一次函数)、分部积分法,会求不定积分。 中为一次函数 、分部积分法,会求不定积分。 理解与掌握不定积分和简单应用, 理解与掌握不定积分和简单应用,会用不定积分解决简单的 实际问题。 实际问题。
高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题
教学内容: 教学内容:不定积分的概念与基本积分公式 引入
前面我们研究了一元函数微分学的基本问题, 前面我们
第3节 定积分的换元法和分部积分法
高等数学同济六版(上)
第三节 定积分的换元法和 分部积分法不定积分
第五章
换元积分法分部积分法
定积分
换元积分法分部积分法
一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法43
高等数学
●
戴本忠
高等数学同济六版(上)
学习指导1.教学目的:掌握运用换元公式求解定积分问题的方法;掌 握用分部积分法公式计算定积分的方法。 2.基本练习: (1) 用换元法计算定积分; (2) 被积函数具有奇偶性或周期性的定积分计算; (3) 利用换元法和被积函数的奇偶性及周期性来证明某些 定积分公式。 (4) 用分部积分法计算定积分。 3.注意事项: (1)换元法的目的是将复杂的或者抽象的被积函数变量代 换为常见的积分形式,所以基本的积分公式一定要熟记, 要掌握换元法所遵循的几个原则以正确地应用换元法。 (2)运用分部积分公式的关键是正确地选取u(x) 和v(x) 。熟 练掌握运用分部积分法的几种常用类型可帮助对u(x) ,v(x) 的选取。43
高等数学
●
戴本忠
高等数学同济六版(上)
定积分的换元积分法根据
a f ( x )dx F (b) F (a ).微积分基本公式
b
不定积分法
定积分法,
且使用方法与相应的不定积分法类似。
43
高等数学
●
戴本忠
高等数学同济六版(上)
定理 假
不定积分表
Yz.Liu.2013.09
卷终 公式表注解四
基本不定积分表
序言:
微积分创立之初,牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论,但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上,莱布尼茨对之要求甚严,并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展,公式表逐渐全面,分类亦几乎
覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要,亦是数学发展之必要结果。
本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法,以及每个积分的简要推演方法,其中引入了除一般之换元法,凑微分法,分部积分法之外,亦引入虚数单位,并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式
之反用,或均不在此给出推演方法,或仅以推演步骤简要之说明。
本表收录公式16组,151式。
公式一 基本初等函数的不定积分18式:
?1??1x?C,???1;?(1).?xdx????1??ln|x|?C,???1.幂函数
?(2).?axdx?1xa?Clna指数函数
(3).?exdx?ex?C
(4).?logaxdx?xlogax?xlogae?C对数函数三角函数
(5).?lnxdx?xlnx?x?C(6).?sinxdx??cosx?C(7).?
不定积分的典型例题
不定积分的典型例题
不定积分的典型例题
x2 1
例1.計算 4
x 1
解法1
x4 1 (x2
2x 1)(x2 2x 1).
而 (x2 2x 1) (x2 2x 1) 2(x2 1) 所以
x2 1111
( x4 12 x2 2x 1 x2 2x 1) 1 [ 2
1
221(x )
22
1d(2x 1)
1
221
(x )
22
1d2x 1)
)
2(
2
2x 1) 1
2
2(
2x 1) 1
2
1
2x 1) 2x 1)] c.
x2 1(x2 2x 1) 2x
22
解法2 x4 1(x 2x 1)(x 2x 1)
dx2x
4 2
x 1x 2x 1
11 2x 1) arctanx2 c.
22 解法3
11
1d(x )2x 1当x 0, 4dx x 1x2 2x2 2xx
2
1
d(x )
1x2 1 c
1222x(x ) 2x lim
x 0
12
x2 1x
22
,
不定积分的典型例题
1x2 1 lim , x 0
22x22由拼接法可有
2
x 1
dx x4 1
1x2 1 22x22
1x2 1 22x22
c,x 0
x 0. c
x 0
x3 2
例2.求 . 22
(x 1)(x 1)解 将被积函数化为简单的部分分式
x3 2ABCx D
不定积分培优讲义
不定积分
内容要点
1.(影子法 LIATE) 2.基本的2个? 一、基本概念与性质
1.原函数与不定积分的概念
2.不定积分的性质
设 ?f?x?dx?F?x??C,其中F?x?为f?x?的一个原函数,C为任意常数。则 (1)
?F??x?dx?F?x??C
?? 或?dF?x??F?x??C
???(2) ??f?x?dx??f?x? 或d??f?x?dx??f?x?dx
(3) (4) ?kf?x?dx?k?f?x?dx ?f?x??g?x???dx??f?x?dx??g?x?dx ??3.原函数的存在性 1)设f?x?在区间I上连续,则f?x?在区间I上原函数一定存在 2)初等函数的原函数不一定是初等函数
?sin?x2?dx,?cos?xxa?12?dx,?sinxxdx,?cosxxdx,?dxlnx,?e?xdx
2二、基本积分公式 1.?xdx?1aa?1?C (a??1,实常数)
2.?dx?lnx?C
x3.?adx?x1lnaxa?C (a?0,a?1)
x?exdx?e?C
4.?cosxdx?sinx?C 5.?sinxdx??cosx?C
6.?secxdx?7.?cscxdx?22?co
高等数学导数、微分、不定积分公式
一、基本导数公式:
1. kx '
k
2. x
n ' nxn 1
3. ax '
ax
lna4. ex '
e
x
5. log'
1
ax
xlna6. lnx '
1x
7. sinx '
cosx8. cosx '
sinx9. tanx ' sec2
x
10. cot '
csc2
x
11. secx '
secxtanx12. cscx '
cscxcotx13.
arcsinx '
1
14.
arccosx '
115. arctanx '
11 x2
16. arccot '
11 x2
二、基本微分公式:
1.d kx k
2.d xn nxn 1dx3.d ax axlnadx4.d ex exdx5.d lnx 1
xdx
6.d log1
ax xlna
dx
7.d sinx cosxdx8.d cosx sinxdx9.d tanx sec2
xdx
10.d cotx csc2xdx11.d secx secxtanxdx12.d cscx cscxcotxdx13.d
arcsinx
1
dx
14.d arccosx 1
dx
15.d arctanx 1
1 x
2
dx16.d arccotx 1
1 x
2
dx- 1 -
不定积分例题及答案
第4章 不定积分
内容概要 名称 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x), x?I,若存在函数F(x),使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分,记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注:(1)若f(x)连续,则必可积;(2)若F(x),G(x)均为f(x)的原函数,则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1:d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx; ?????dx性质2:F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C; 性质3:[?f(x)??g(x)]dx??计 算 方 法 第一换元 积分法 (凑微分法) 第二类 换元积 分法 ??? ?f(x)dx???g(x)dx,?,?为非零常数。设f(u)的 原函数为F(u),u??(x)可导,则有换元公式: ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零,f[?(t)]??(t)有原
不定积分练习与答案
(1)
?xdx2x (2)
3(?x?1x)dx
(3)
(2?x?x2)dx
(4)
?3x4?3x2?1x2x(x?3)dx (5)?dx (6)?dx (7)(?x2-1x+34x3-x4)dx (10)?1x2(1?x2)dx (13)?cot2xdx (16)
?11?cos2xdx (19)?(1?x1?x?1?x1?x)dx(1)
?e3tdt (4)
?135?3xdx (7)
?tan10xsec2xdx (10)
?dxsinxcosx (13)
?xdx 2?3x2(16)?sinxcos3xdx (19) ?dx2x2?1 (22)
?xdxx8?1 x2?1(8)?(31?x2?2)dx