证明无偏估计量的例题和详解

定义

无偏估计：估计量的平均值等于真实值，即每次估计值可能大于或小于真实值，但不一定总是大于或小于真实值。

估计量的评价标准

（1）没有偏见

（2）有效性是指估计量与总体参数之间的离散程度。如果两个估计量均无偏，则分散度较小的估计量相对有效。换句话说，尽管每个估计都将大于或小于真实值，但偏差较小的估计更好。

（3）一致性，也称为一致性，是指随着样本量的增加，估计量接近总体参数的真实值。

为什么方差的分母为n-1？

结论：首先，问题本身的概念是混乱的。

如果所有数据都是已知的，则可以直接计算均值和方差。但是对于随机变量x，我们需要估算其均值和方差，然后使用分母为n-1的公式估算其方差。因此，如果分母为n-1，则可以无偏估计差异（而不是方差）。

因此，问题应该变为：为什么随机变量n-1的方差估计的分母是？

如果我们已经知道所有数据，那么我们可以找到平均值μ，σ，它直接是分母n的常规公式，但这不是估计！

现在，对于随机变量x，我们需要估计其期望值和方差。

预期估计值是样本的平均值

现在，在估计X的方差时，如果我们事先知道实际期望μ，则根据方差的定义：\ [E [（X_i-μ）^ 2] = \ frac {1} {n} \ sum_ i ^ n {（X_i-μ）^ 2} =σ

第三章估计理论

什么是“估计”？

通俗解释：对事物做大致的判断

专业解释：通过一定的技术手段获得关于被估计事件、参数、过程的相关信息，再对这些信息进行加工、处理获得结果的过程。

3.1引言3.1 引言

根据研究对象的不同估计分为二种

参量估计：被估计的对象是随机变量或非随机的未知量 波形估计：被估计的对象是随机过程或非随机的未知过程 信号参量估计理论

与信号参量估计相关的理论

最佳估计

一定准则下的“最好”估计

应用领域

通信系统、雷达系统、语音、图像处理、自动控制

3.1.1估计的数学模型x参量空间、观测空间、概率转换、估计准则p(x|θ)概率转换估计准则 ( x)θ

θ

Z

参量空间

观测空间

x由于估计准则的不同，构成估计量的方法也不同，如最小方差无偏估计、最大似然估计、最小二乘估计、贝叶斯估计和线性最小均方误差估计等。

3.1.2  估计量的性质质

假设得到N个观测样本数据为：

x[n]=θ+w[n]n=0,1,…,N 1

式中，θ为待估计参量，w[n]是观测噪声。

,获估计的任务就是利用观测样本数据x[n]构造估计量θ

后，通常需要对θ 的质量进行评价,这就需要研得估计量θ

究估计量的主要性质。

也是一

第三章估计理论

什么是“估计”？

通俗解释：对事物做大致的判断

专业解释：通过一定的技术手段获得关于被估计事件、参数、过程的相关信息，再对这些信息进行加工、处理获得结果的过程。

3.1引言3.1 引言

根据研究对象的不同估计分为二种

参量估计：被估计的对象是随机变量或非随机的未知量 波形估计：被估计的对象是随机过程或非随机的未知过程 信号参量估计理论

与信号参量估计相关的理论

最佳估计

一定准则下的“最好”估计

应用领域

通信系统、雷达系统、语音、图像处理、自动控制

3.1.1估计的数学模型x参量空间、观测空间、概率转换、估计准则p(x|θ)概率转换估计准则 ( x)θ

θ

Z

参量空间

观测空间

x由于估计准则的不同，构成估计量的方法也不同，如最小方差无偏估计、最大似然估计、最小二乘估计、贝叶斯估计和线性最小均方误差估计等。

3.1.2  估计量的性质质

假设得到N个观测样本数据为：

x[n]=θ+w[n]n=0,1,…,N 1

式中，θ为待估计参量，w[n]是观测噪声。

,获估计的任务就是利用观测样本数据x[n]构造估计量θ

后，通常需要对θ 的质量进行评价,这就需要研得估计量θ

究估计量的主要性质。

也是一

计量经济学经典eviews ARCH和GARCH估计

本章讨论的工具是建立变量的条件方差或变量波动性模型。自回归条件异方差(（Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model，ARCH）模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。ARCH模型由Engle（1982）提出，并由Bollerslev(1986)发展成为GARCH(Generalized ARCH)——广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。

§16.1 ARCH的说明

ARCH的主要思想是时刻t的ε的方差（= σ 2）依赖于时刻（t ─ 1）的平方误差的大小，即依赖于?t2?1。

Yt??0??1X1t?????kXkt??t （1）

?t~N?0,(?0??1?t2?1)? （2） 即?t遵循以0为均值，(?0??1?t2由于（2）中的?t的方差依赖于前

§估计

基本题型Ⅰ 矩估计法

【例7.1】总体X 的概率密度函数为1,01(;)00,x x f x θθθθ-?<<=>??（）

其他

，求未知参数θ的 矩估计.

【分析】先由题设所给含有未知参数θ的随机变量概率密度求出数学期望，解出未知参数θ与数学期望的关系，再由样本一阶原点矩替换总体期望，即得参数θ的矩估计.

【解】为求未知参数θ用总体原点矩表示的式子，先求出EX 110(;)1EX xf x dx x x dx θθθθθ+∞

--∞==?=+??

因而 [1]EX EX θ=-

在上式中用样本一阶原点矩替换总体一阶原点矩，即得未知参数θ的估计

?(1)X X θ

=-. 【例7.2】设总体X 服从均匀分布[,]U a b ，

12(,,)n X X X 为来自此总体的样本，求,a b

的矩估计. 【分析】由于总体的分布中含有两个未知参数,a b ，故需要求出总体的两个矩，为简单起见，一般先求其一阶矩（即总体的期望）和二阶矩（也可以取总体的方差），然后按矩估计法相应的样本矩替换它们，得矩法方程，最后求解便可得到,a b 的矩估计.

【解】由于总体X 服从均匀分布[,]U a b ，故总体的期望和方差分别为

《经济计量学精要》笔记和课后习题详解

第一章 经济计量学的特征及研究范围

1.1 复习笔记

一、什么是经济计量学

经济计量学是利用经济理论、数学、统计推断等工具对经济现象进行分析的一门社会科学。 经济计量学运用数理统计学分析经济数据，对构建于数理经济学基础之上的模型进行实证分析，并得出数值结果。

二、为什么要学习经济计量学

经济计量学涉及经济理论、数理经济学、经济统计学（即经济数据）以及数理统计学。然而，它又是一门有独立研究方向的学科，原因如下：

1．经济理论所提出的命题和假说，多以定性描述为主。但是，经济理论本身却无法定量测度这两个变量之间的强度关系，经济计量学家的任务就是提供这样的数值估计。经济计量学依据观测或试验，对大多数经济理论给出经验解释。

2．数理经济学主要是用数学形式或方程（或模型）描述经济理论，而不考虑对经济理论的测度和经验验证。而经济计量学主要关注的却是对经济理论的经验验证。经济计量学家通常采用数理经济学家提出的数学模型，只不过是把这些模型转换成可以用于经验验证的形式。

3．经济统计学主要涉及经济数据的收集、处理、绘图、制表。经济统计学家的工作是收集GDP、失业、就业、价格等数据，而不是利用这些数据来验证经济理论。但这些数据

《经济计量学精要》笔记和课后习题详解

第一章 经济计量学的特征及研究范围

1.1 复习笔记

一、什么是经济计量学

经济计量学是利用经济理论、数学、统计推断等工具对经济现象进行分析的一门社会科学。 经济计量学运用数理统计学分析经济数据，对构建于数理经济学基础之上的模型进行实证分析，并得出数值结果。

二、为什么要学习经济计量学

经济计量学涉及经济理论、数理经济学、经济统计学（即经济数据）以及数理统计学。然而，它又是一门有独立研究方向的学科，原因如下：

1．经济理论所提出的命题和假说，多以定性描述为主。但是，经济理论本身却无法定量测度这两个变量之间的强度关系，经济计量学家的任务就是提供这样的数值估计。经济计量学依据观测或试验，对大多数经济理论给出经验解释。

2．数理经济学主要是用数学形式或方程（或模型）描述经济理论，而不考虑对经济理论的测度和经验验证。而经济计量学主要关注的却是对经济理论的经验验证。经济计量学家通常采用数理经济学家提出的数学模型，只不过是把这些模型转换成可以用于经验验证的形式。

3．经济统计学主要涉及经济数据的收集、处理、绘图、制表。经济统计学家的工作是收集GDP、失业、就业、价格等数据，而不是利用这些数据来验证经济理论。但这些数据

《经济计量学精要》笔记和课后习题详解

第一章 经济计量学的特征及研究范围

1.1 复习笔记

一、什么是经济计量学

经济计量学是利用经济理论、数学、统计推断等工具对经济现象进行分析的一门社会科学。 经济计量学运用数理统计学分析经济数据，对构建于数理经济学基础之上的模型进行实证分析，并得出数值结果。

二、为什么要学习经济计量学

经济计量学涉及经济理论、数理经济学、经济统计学（即经济数据）以及数理统计学。然而，它又是一门有独立研究方向的学科，原因如下：

1．经济理论所提出的命题和假说，多以定性描述为主。但是，经济理论本身却无法定量测度这两个变量之间的强度关系，经济计量学家的任务就是提供这样的数值估计。经济计量学依据观测或试验，对大多数经济理论给出经验解释。

2．数理经济学主要是用数学形式或方程（或模型）描述经济理论，而不考虑对经济理论的测度和经验验证。而经济计量学主要关注的却是对经济理论的经验验证。经济计量学家通常采用数理经济学家提出的数学模型，只不过是把这些模型转换成可以用于经验验证的形式。

3．经济统计学主要涉及经济数据的收集、处理、绘图、制表。经济统计学家的工作是收集GDP、失业、就业、价格等数据，而不是利用这些数据来验证经济理论。但这些数据

记叙文（小说）常见题型解题指津及例题解析

一、标题。 （一）、选文的标题有什么含义？

答：1、表面含义（文中基本能直接找到）

2、深层含义（能够揭示文章的主旨） 例：

1、 如何理解标题“天上飘下来的礼物”的含义？（3分）（七上 双休作业1）

答：儿子到楼下林奶奶家去取被风吹落的衣服的同时，也给林奶奶孤独寂寞的晚年生活带来了快乐和期盼。在林奶奶

看来，儿子的到来是最好的礼物，表现了林奶奶思念儿孙，渴望亲情的强烈愿望。 2、你能理解文题“心田上是百合花”的含义吗？（七上 双休作业6）

答：①本义：百合花的精神感动了人。②人们只要有一种坚定、执着的信念就一定能达成自己的梦想。 3、文章标题“太阳语”含义深刻，请你联系全文内容，说说标题有哪些含义？（七上 双休作业8） 答：①“毛毛”用镜子反射阳光和“我”说话。②“毛毛”对“我”的真诚问候像太阳一样温暖。 4、从全文看，标题“八月的阳光”，除了指八月的烈日以外，还有什么深刻的含义？（七上 双休作业11） 答：既暗示了生活的艰辛（炙烤），有象征亲情的温暖、社会的关爱。

5、通读全文，文章标题“那些卑微的母亲”中的“卑微”有哪几层含义？（七下 双休作业2） 答：①身份低微。②收入微薄。③生活在社会底层，不

1.在灯光与墙之间用手作动作,在墙上出现动作的手影的像,它的形成说明______.2.光在真空中的传播速度是______米/秒.光在水中的速度________光在空气中的速度(选填“大于”、“小于”或“等于”).

第十五章 光的传播

目的要求：掌握光的反射定律、折射定律，掌握发生全反射现象的充要条件。熟悉平面镜、棱镜、平行玻璃砖等光学器件对光路的控制特征。了解光的色散现象。掌握画反射光路与折射光路的方法

重点难点：

教 具：

过程及内容：

第

1 课 光的直线传播 光的反射

一、光源

1．定义：能够自行发光的物体．

2．特点：光源具有能量且能将其它形式的能量转化为光能，光在介质中传播就是能量的传播．

二、光的直线传播

1．光在同一种均匀介质中沿直线传播，各种频率的光在真空中传播速度：C＝3×108m/s；各种频率的光在介质中的传播速度均小于在真空中的传播速度，即 v<C。

说明：①直线传播的前提条件是在同一种介质，而且是均匀介质。否则，可能发生偏折。如．．．．．

从空气进入水中（不是同一种介质）；“海市蜃楼”现象（介质不均匀）。

②同一种频率的光在不同介质中的传播速度是不同的。不同频率的光在同一种介质中传播速度一般也不同。在同一种介质中