小波分析理论及应用

1 小波变换

合肥工业大学理学院 二零零七年秋季

第1讲 数学预备

1.1 线性空间

三维向量空间R 3中的点可以用从原点指向该点的向量来表示。

1.1.1 定义 集合E 称为一个实(复)线性空间，如果在E 上定义了两种运算： 一个是“+”法，使得对E 中的x 、y 和z ，都有

（1） x + y = y + x;

（2） x + (y + z) = (x + y) + z;

（3） E 存在零元素θ，即θ + x = x;

（4） 每个E 的元素x 有逆元素-x ，使x + (-x) = θ；

另一个是数乘，使得对E 中的x 、y 和实(复)数α、β，都有

（1） α(βx) = (αβ)x;

（2） 1x = x, 0x = θ;

（3） (α + β)x = αx + βx;

（4） α(x + y) = αx + βy.

例如：设R n 为n 维实向数的全体，按通常的向量加法和数乘构成线性空间。 例如，有界数列的全体组成的空间l ∞ ={x: sup i |x i | < ∞, x = (x 1, x 2, …)}，按类似通常的向量加法和数乘构成线性空间。

例如：设C[a,b]为[a,b]上所有连续函数的全体，按通常的函数运算定义加法和数乘构成线性空间。

例如：L p [a,b]，p>1，为[a,b]上所有p 可积函数的全体，即满足∞

a p dt t

1 小波变换

合肥工业大学理学院 二零零七年秋季

第1讲 数学预备

1.1 线性空间

三维向量空间R 3中的点可以用从原点指向该点的向量来表示。

1.1.1 定义 集合E 称为一个实(复)线性空间，如果在E 上定义了两种运算： 一个是“+”法，使得对E 中的x 、y 和z ，都有

（1） x + y = y + x;

（2） x + (y + z) = (x + y) + z;

（3） E 存在零元素θ，即θ + x = x;

（4） 每个E 的元素x 有逆元素-x ，使x + (-x) = θ；

另一个是数乘，使得对E 中的x 、y 和实(复)数α、β，都有

（1） α(βx) = (αβ)x;

（2） 1x = x, 0x = θ;

（3） (α + β)x = αx + βx;

（4） α(x + y) = αx + βy.

例如：设R n 为n 维实向数的全体，按通常的向量加法和数乘构成线性空间。 例如，有界数列的全体组成的空间l ∞ ={x: sup i |x i | < ∞, x = (x 1, x 2, …)}，按类似通常的向量加法和数乘构成线性空间。

例如：设C[a,b]为[a,b]上所有连续函数的全体，按通常的函数运算定义加法和数乘构成线性空间。

例如：L p [a,b]，p>1，为[a,b]上所有p 可积函数的全体，即满足∞

a p dt t

西安石油大学本科毕业设计（论文）

小波多分辨率分析在地震资料处理中的应用

摘 要： 小波分析是近年来发展起来的新的数学理论和方法，在噪声消除方面有

着广泛的应用。小波分析能同时在时频域内对信号进行分析，所以它能有效区分信号中的突变部分和噪声，从而实现对非平稳信号的消噪。小波多分辨率分析是利用小波变换对信号进行多尺度分解分析。利用小波多分辨率分析方法对地震记录进行去噪，可以有效地对噪声和信号进行分离，从而使地质信息丰富清晰，便于解释。利用此方法去噪的过程，可分为如下三个步骤：对记录进行小波多尺度分解，选择一个小波并确定分解的层次，然后进行分解计算；小波分解高频系数的阈值量化，对各个分解尺度下的高频系数选择一个阈值进行阈值量化处理；小波重构，根据小波分解的低频系数和各层高频系数进行小波重构。这三个步骤中，最关键的是如何选择阈值以及进行阈值量化。在某种程度上，它关系到信号消噪的质量。

关键词: 小波变换；多分辨率分析；去噪；阈值；地质信息提取

- I -

西安石油大学本科毕业设计（论文）

The wavelet multi-resolution analysis used in the processing of

seimic data

Abstr

西安石油大学本科毕业设计（论文）

小波多分辨率分析在地震资料处理中的应用

摘 要： 小波分析是近年来发展起来的新的数学理论和方法，在噪声消除方面有

着广泛的应用。小波分析能同时在时频域内对信号进行分析，所以它能有效区分信号中的突变部分和噪声，从而实现对非平稳信号的消噪。小波多分辨率分析是利用小波变换对信号进行多尺度分解分析。利用小波多分辨率分析方法对地震记录进行去噪，可以有效地对噪声和信号进行分离，从而使地质信息丰富清晰，便于解释。利用此方法去噪的过程，可分为如下三个步骤：对记录进行小波多尺度分解，选择一个小波并确定分解的层次，然后进行分解计算；小波分解高频系数的阈值量化，对各个分解尺度下的高频系数选择一个阈值进行阈值量化处理；小波重构，根据小波分解的低频系数和各层高频系数进行小波重构。这三个步骤中，最关键的是如何选择阈值以及进行阈值量化。在某种程度上，它关系到信号消噪的质量。

关键词: 小波变换；多分辨率分析；去噪；阈值；地质信息提取

- I -

西安石油大学本科毕业设计（论文）

The wavelet multi-resolution analysis used in the processing of

seimic data

Abstr

小波变换

第七章 小波分析、 分析工具及应用发展

小波变换

复习回顾

小波分析来源小波分析来源于信号分析的需求.设一个有限分辨 率的连续信号 f t ,将其近似地表示为下列阶梯函 数(图1) 0 f 0 t Cn t n

0 Cn f n 为 为简化叙述,取整数点(n)为样点,式中 样本值,而其基函数 1 0 t 1 t others 0

n

并又将其称为“尺度函数”,如图2所示.

小波变换

小波变换

我们将采样间隔加倍,则其样点数减半,这时 1 信号表示为 f1 t Cn t n n

2

1 0 0 C C2 n C2 n 1 ,参见 显然,这里自然取 21 n

(图3).我们称上述算法为二分法.再分析二 分前后两个信号的偏差(图3)

g1 t f0 t f1 t

小波变换

小波变换

它具有形式1 n

t 1 而其基函数 others 它就是一种“小波函数”。 顾名思义,“小波”就是小的波形。所谓“小 ”是指它具有衰减性,譬如是局部非零的;而称 之为“波”则是指它的波动性,即

混沌理论及其应用

摘 要：随着科学的发展及人们对世界认识的深入，混沌理论越来越被人们看作是复杂系统的一个重要理论，它在各个行业的广泛应用也逐渐受到人们的青睐。本文给出了混沌的定义及其相关概念，论述了混沌应用的巨大潜力，并指明混沌在电力系统中的可能应用方向。对前人将其运用到电力系统方面所得出的研究成果进行了归纳。

关键词：混沌理论；混沌应用；电力系统

Abstract: With the development of science and the people of the world know the depth, chaos theory is increasingly being seen as an important theory of complex systems, it also gradually by people of all ages in a wide range of applications in various industries. In this paper, the definition of chaos and its related concepts, discusses the enormous

小波分析实验报告

姓名: 班级: 学号:

成绩: 教师签名:

实验一名称： 小波函数的Fourier变换和Fourier逆变换 实验目的 用Matlab实现函数的Fourier变换和Fourier逆变换 实验内容 一、用Matlab实现下列函数的Fourier变换和Fourier逆变换 1．Morlet小波 ?(x)?e?x22ei?0x ?0?5 程序代码： >> syms x i w0; >> f=exp(-x^2/2)*exp(i*w0*x); >> F=fourier(f,x); F = (2^(1/2)*pi^(1/2))/exp((x + i*w0*sqrt(-1))^2/2) >> f=ifourier(F) f = exp((i^2*w0^2)/2 - (t - i*w0)^2/2) 2．Marr小波 ?(x)?(1?x2)e?x22 程序代码： >> syms x; >> f=(1-x^2)*exp(-x^2/2); >> F=fourier(f) F = (2^(1/2)*pi^(1/2)*w^2)/exp(w^2/2) >>

%--------------------------------------------------------------------------

% Copula理论及其在matlab中的实现程序应用实例 %--------------------------------------------------------------------------

%******************************读取数据************************************* % 从文件hushi.xls中读取数据 hushi = xlsread('hushi.xls');

% 提取矩阵hushi的第5列数据，即沪市的日收益率数据 X = hushi(:,5);

% 从文件shenshi.xls中读取数据 shenshi = xlsread('shenshi.xls');

% 提取矩阵shenshi的第5列数据，即深市的日收益率数据 Y = shenshi(:,5);

%****************************绘制频率直方图***********

武汉理工大学毕业论文

1 绪论

1.1概述

小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频分析方法。其典型应用包括齿轮变速控制，起重机的非正常噪声，自动目标所顶，物理中的间断现象等。而频域分析的着眼点在于区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量，典型应用包括细胞膜的识别，金属表面的探伤，金融学中快变量的检测，INTERNET的流量控制等。

从以上的信号分析的典型应用可以看出，时频分析应用非常广泛，涵盖了物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多领域，而且在很多情况下单单分析其时域或频域的性质是不够的，比如在电力监测系统中，即要监控稳定信号的成分，又要准确定位故障信号。这就需要引入新的时频分析方法，小波分析正是由于这类需求发展起来的。

在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，

武汉理工大学

硕士学位论文

小波分析及其在信号降噪中的应用研究

姓名：朱华

申请学位级别：硕士

专业：应用数学

指导教师：吴传生

20071101

摘要

信号与信息处理是信息科学中近二十年来发展最为迅速的学科之一，信号

处理主要包括：信号去噪、特征提取、边缘提取．信号去噪是信号处理中最为常见的，经典的信号去噪方法如纯时域法、纯频域法、Ｆｏｕｓｉ盯变换、加窗Ｆｏｕｒｉｅｒ变换等各自有其应用的局限性。小波变换是２０世纪∞年代发展起来的一种新的时频联合分析方法，它在时域和频域都具有良好的局部化特性，在信号去噪中小波交换得到了广泛的应用．

主要工作包括：

详细讨论了小波分析的基本理论；介绍了连续小波变换、离散小波变换和二

进小波变换；给出离散二进小波变换的快速分解与重构算法 ９最后研究了小波基的数学特性，分析了它们对实际应用的影响和作用．

详细介绍了小波变换模极大值去噪的原理，分析了去噪过程中几个参数的

选取问题，并给出一些选取依据；对小波阈值萎缩去噪方法的几个关键问题进行了详细讨论，并在半软阈值函数的基础上提出了一种改进方案，最后通过仿真实验，证明了这种改进方案的有效性；在相关去噪算法的基础上，与阈值去噪相结合，提出了一种组合去噪算法，数值试验结果表明，由该算法滤波之后得到的小