微积分基本定理教学设计

微积分基本定理

邹城实验中学：单飞

复习1:积分上限

积分和b n

即A f ( x)dx lima积分下限

n

) b - a) / n f ( (i 1 i

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

[a , b] 积分区间

复习：2、定积分的几何意义是什么？1、如果函数f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0时，那么： 定积分

b

a

f ( x )dx 就表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。

S1 S2

S3

2、定积分

形面积的代数和来表示。

b

a

f ( x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯

b

a

f ( x )dx S1 S 2 S 3

说明：f ( x) 0, f ( x ) 0,

a f ( x )dx A a f ( x )dx Ayb

b

曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值

A1a

A3

A2b

0

A4

b

x

a f ( x )dx A1 A2 A3 A4

复习3: 定积分的简单性质(1) kf ( x)dx k f ( x)dx (k为常数)a a b b

(2) [f1 ( x) f 2 ( x)]dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dxa

微积分基本定理

邹城实验中学：单飞

复习1:积分上限

积分和b n

即A f ( x)dx lima积分下限

n

) b - a) / n f ( (i 1 i

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

[a , b] 积分区间

复习：2、定积分的几何意义是什么？1、如果函数f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0时，那么： 定积分

b

a

f ( x )dx 就表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。

S1 S2

S3

2、定积分

形面积的代数和来表示。

b

a

f ( x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯

b

a

f ( x )dx S1 S 2 S 3

说明：f ( x) 0, f ( x ) 0,

a f ( x )dx A a f ( x )dx Ayb

b

曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值

A1a

A3

A2b

0

A4

b

x

a f ( x )dx A1 A2 A3 A4

复习3: 定积分的简单性质(1) kf ( x)dx k f ( x)dx (k为常数)a a b b

(2) [f1 ( x) f 2 ( x)]dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dxa

各种积分公式,公式大概分为四类,

北京理工大学

微积分-积分定理集锦

常用积分公式 定理

程功 2010/12/22

各种积分公式,公式大概分为四类,

定理

1.积分存在定理

1）当函数f(x)在区间 a,b 上连续时，称f(x)在区间 a,b 上可积.

2）设函数f(x)在区间 a,b 上有界，且只有有限个间断点，则f x 在区间 a,b 上可积。

2.性质：1 [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx（此性质可以推广到有限多个函数求和的

a

a

a

bbb

情况）。

性质2. kf(x)dx k f(x)dx k为常数

a

a

bb

假设a c b，性质3： f(x)dx f(x)dx f(x)dx（定积分对于积分区间具有可加性）

a

a

c

bcb

性质4: 1 dx badx b a

a

b

性质5：如果在区间 a,b 上f(x) 0,则 f(x)dx 0 (a b)

a

b

推论（1）：如果在区间[a,b]上，f(x) g x 则 f(x)dx g(x)dx(a b)

a

a

bb

推论（2）：

b

a

f()xdx fx a b

a

b

性质6：设M及m分别是函数f x 上的最大值与最小值，则

m(b a) f(x)dx M(b a)

a

b

3.定积分中值定理

如果函数f x

2013年春季

定积分与微积分的基本定理

1、定积分概念

定积分定义：如果函数

f(x)在区间[a,b]上连续，用分点

a?x0?x1?x2???xi?1?xi???xn?b，将区间[a,b]等分成几个小区间，在每一个小区间[xi?1,xi]上任取一点

?i(i?1,2,?,n)，作和

f(?i)?xi??b?af(?i)ni?1，当n??时，上述和无限接近某个常数，

n[x,x],]这个常数叫做函数f(x)在区间[ab上的定积分，记作i?1i?baf(x)dx，即

?baf(xdx)?b?alimf?i()?n??ni?1，这里a、b分别叫做积分的下限与上限，区间[a,b]叫做积分区间，函

n数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.

2、定积分性质 （1）（2）（3）

???babacakf(x)dx?k?f(x)dxab；

b[f1(x)?f2(x)]dx??bf(x)dx?a1?af2(x)dxbf(x)dx??bcf(x)dx??af(x)dx(a?c?b)3、微积分基本定理

'f(x)[a,b]

第13讲 定积分与微积分基本定理

[最新考纲]

1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义.

知 识 梳 理

1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式

nb－a

?f(ξi)Δx＝? nf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数i＝1i＝1

b－a

? ni＝1

n

n

叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?f(x)dx，即?f(x)dx＝

?a?af(ξi)．

(2)定积分的几何意义

bb

①当f(x)≥0时，定积分?bf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝

?af(x)所围成的曲边梯形的面积．(图1)

②当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，如图2所示，则定积分?bf(x)dx表示介于x

?a轴．曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，

即?bf(x)dx＝A1＋A3－A2. ?a2．定积分的性质

(1)?bkf(x)dx＝k?bf(x)dx(k为常数)． ?a?

第13讲 定积分与微积分基本定理

[最新考纲]

1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义.

知 识 梳 理

1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式

nb－a

?f(ξi)Δx＝? nf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数i＝1i＝1

b－a

? ni＝1

n

n

叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?f(x)dx，即?f(x)dx＝

?a?af(ξi)．

(2)定积分的几何意义

bb

①当f(x)≥0时，定积分?bf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝

?af(x)所围成的曲边梯形的面积．(图1)

②当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，如图2所示，则定积分?bf(x)dx表示介于x

?a轴．曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，

即?bf(x)dx＝A1＋A3－A2. ?a2．定积分的性质

(1)?bkf(x)dx＝k?bf(x)dx(k为常数)． ?a?

.

精选 4．5.4 微积分基本定理

一、基础达标

1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是

( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )?? b

a ；

②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)；

③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝b －a n s ′(ξi )；

④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝??a

b

s ′(t )d t .

A ．①

B ．①②

C ．①②④

D ．①②③④

答案 D

2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是

( ) A ．F (x )＝13x 3

B ．F (x )＝x 3

C ．F (x )＝13x 3

＋1

D ．F (x )＝13x 3

＋c (c 为常数)

答案 B

解析 若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3.??0

1(e x

＋2x )d x 等于

( ) A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1

答案 C

解析 ??0

1(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0

＋02

)＝e.

.

精选 4．已知f (x

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课时提升作业(十六)

一、选择题

1.(20xx·芜湖模拟) ?1e1?lnxdx=( ) x(A)lnx+ln2x (B)-1 (C) (D) 2.(20xx·赣州模拟)已知函数f(x)=

则

f(x)dx的值为( )

(A) (B)4 (C)6 (D) 3.(20xx·汉中模拟)由y=

,直线x=1以及坐标轴围成的平面图形

绕x轴旋转一周所得旋转体体积为( ) (A) (B)π (C) (D)

4.(20xx·济南模拟)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是( ) (A)在t1时刻,甲车在乙车前面 (B)t1时刻后,甲车在乙车后面 (C)在t0时刻,两车的位置相同 (D)t0时刻后,乙车在甲车前面

5.如图,阴影部分的面积是(

1.高等数学概念

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 定义

设函数f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 a=x0

把区间[a，b]分成n个小区间

[x0，x1]，...[xn-1，xn]。

在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi，并作出和

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，

这时我们称这个极限I为函数f(x）在区间[a,b]上的定积分， 记作

定积分 即：

展开式 编辑本段微积分学的建立

从微积分成为一门

篇一：微积分入门

校 本 课 程

论文题目：微积分初步

作 者：高红桃

日 期：2011-09-11

序

中国战国时代（公元前7世纪），我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。这是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限理论便是微分学的基础。

古希腊时期（公元前3世纪），阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。

17世纪，许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认