求解多目标优化问题的方法

多目标优化的求解方法

多目标优化（MOP）是数学规划的一个重要分支，是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下：

多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法：

（1）评价函数法。常用的方法有:线性加权和法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。

（2）交互规划法。不直接使用评价函数的表达式，而是使决策者参与到求解过程，控制优化的进行过程，使分析和决策交替进行，这种方法称为交互规划法。常用的方法有：逐步宽容法、权衡比替代法，逐次线性加权和法等。

（3）分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序，然后按这个排序依次进行单目标的优化求解，以最终得到的解作为多目标优化的最优解。

而这些主要是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法和蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。

在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都是多目标优化问题, 它的应用很广泛。

1)物资调运

多目标优化的求解方法

多目标优化（MOP）是数学规划的一个重要分支，是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下：

多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法：

（1）评价函数法。常用的方法有:线性加权和法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。

（2）交互规划法。不直接使用评价函数的表达式，而是使决策者参与到求解过程，控制优化的进行过程，使分析和决策交替进行，这种方法称为交互规划法。常用的方法有：逐步宽容法、权衡比替代法，逐次线性加权和法等。

（3）分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序，然后按这个排序依次进行单目标的优化求解，以最终得到的解作为多目标优化的最优解。

而这些主要是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法和蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。

在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都是多目标优化问题, 它的应用很广泛。

1)物资调运

第9章 多目标函数的优化设计方法

Chapter 9 Multi-object Optimal Design

在实际的机械设计中，往往期望在某些限制条件下，多项设计指标同时达到最优，这类问题称为多目标优化设计问题。与前面单目标优化设计不同的是，多目标优化设计有着多种提法和模式，即数学模型。因此，解决起来要比单目标问题复杂的多。

9.1 多目标最优化模型

9.1.1 问题举例

例9-1 生产计划问题 某工厂生产n（n?2）种产品：1号品、2号品、...、n号品。

已知：该厂生产i(i?1,2,...,n)号品的生产能力是ai吨/小时； 生产一吨i(i?1,2,...,n)号品可获利润?i元；

根据市场预测，下月i号品的最大销售量为bi(i?2,...,n)吨； 工厂下月的开工能力为T小时； 下月市场需要尽可能多的1号品。

问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使 工人加班时间尽可能的地少；

工厂获得最大利润；

满足市场对1号品尽可能多地要求。

为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i号品的时间为xi(i?1,...,

针对目前用＂化多为少法＂求解多目标规划问题时,计算过程繁琐或结果不理想的现状,提出了将理想目标转换为现实目标或约束,再用LINGO软件求解的方法。给出了2个实例的分析与求解过程,结果表明,与传统方法相比,该方法过程简单结果也较优。

第2卷第3 6期 21 0 2年 5月

湖

南

工

业

大

学

学

报

VOl2 No. -6 3 M a 201 v 2

J u a f n nUn v ri fT c n l g or l n o Hu a i e st o e h o o y y

d i 03 6/i n1 7— 8 32 1 .3 0 o: . 9 . s.6 3 9 3 . 2 . 2 1 9 js 0 0 0

多目标规划的 L N I GO求解法吴有平，刘杰，何杰

(. 1湖南工业大学土木工程学院，湖南株洲 4 2 0;2湖南省建筑工程集团总公司，湖南长沙 4 0 0 10 7 . 10 4)

摘要：针对目前用“多为少法”求解多目标规划问题时，计算过程繁琐或结果不理想的现状，提出化了将理想目标转换为现实目标或约束，再用 L NGO软件求解的方法。给出了2个实例的分析与求解过程，结 I

果表明，与传统方法相比，该方法过程简单结果也较优。关键词：多目标规划

多目标决策方法

一．多目标决策方法简介

1．多目标决策问题及特点

（１） 案例

个人：购物；买房；择业．．．．．．

集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．． （２） 要素

行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则

（3） 多目标决策有如下几个特点：

决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性；

定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。

2． 多目标决策问题的描述

DR{f1(x),f2(x),?fn(x)}

S.Tg1(x)?0,g2(x)?0,?gp(x)?0

决策空间：X?{xgi(x)?0} 目标空间

F?{f(x)x?X}

两个例子：

离散型；连续型

3． 多目标决策问题的劣解与非劣解

非劣解的寻找连续型有时较难

4．多目标决策主要有以下几种方法：

（１） 化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题； （２） 直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好

的评价标准从中

就多目标优化算法NSGA_II的改进

多目标优化算法!"#$%&&的改进

刘旭红

刘玉树

张国英

阎光伟

（北京理工大学计算机科学与工程系，北京%"""J%）

摘

要

该文提出了./01233算法的一种改进算法—3./01。在引入算术交叉算子的同时，提出并引入累积排序适应度

赋值策略。实验表明，3./01具有更高的收敛速度和更好的种群多样性。关键词

多目标进化算法

&’()*+前端./01233算法

文献标识码1

中图分类号K&<"%

（!""#）文章编号%""!2J<<%2%#2""G<2"<

&’()*+,’,-.*/012.3%*45,6.3+,7(.3’389.3*-$2:*)3.;’!"#$%&&

<31=1;*-:<31>1?;1@;9-:#1*A3-:>9-#19-:B,3

（L)E*$+MB+6E@*)(/97)49)’45N4874))(748，>)7O74834C*7*@*)+MK)9;4+:+8A，>)7O748%"""

cha3RIV4cha4RIV1RES1CON1RIV3CON2RIV5cha5DIS1cha1DIS3CON3cha6cha7DIS4DIS2ECO1cha9RIV6DIS5cha10CON4cha8ECO2cha2RIV2图例：Dis1RES1水库ReservoirCON1RIV1河道RiverECO1供水区Water Supply District汇流点Confluence Node生态控制断面Ecological sessioncha1引水渠Channel for Water Supply退水渠Channel for Water Returncha2

1、简介

此为水资源的多目标优化配置模型。

水流沿箭头方向流动，从水库1，一直到生态断面2。其中，riv2和riv4为支流入流，其余河道为干流，模型供水区有5个，每个供水区都通过引水渠（绿色channel）和退水渠（红色channel）与河道相连。汇流点起到平衡、传承流量的作用，同时能保证水不会倒流。例如有引、退水渠连接的河道，如果不设置汇流点，很可能退的水会被其相应的引水渠引走，就有问题了。

2、约束

模型中最重要的约束就是水量平衡约束。

对于水库res，需要考虑其蓄水的变化（自身变化

目标函数极值求解的几种方法

题目：分别用最速下降法，牛顿法，共轭梯度法,拟牛顿法求函数

f?(x1?1)?5(x2?5)?(x3?1)?5(x4?5)2222的最小值，初始点自拟。

一维搜索法：

迭代下降算法大都具有一个共同点，这就是得到点x?k?后需要按某种规则确定一个方向d?k?，再从x?k?出发，沿方向d?k?在直线（或射线）上求目标函数的极小点，从而得到x?k?的后继点x?k?1?，重复以上做法，直至求得问题的解，这里所谓求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索。

一维搜索的方法很多，归纳起来大体可以分为两类，一类是试探法：采用这类方法，需要按某种方式找试探点，通过一系列的试探点来确定极小点。另一类是函数逼近法或插值法：这类方法是用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。这里采用的是第一类试探法中的黄金分割法。实现过程如下：

⑴ 置初始区间[a1,b1]及精度要求L>0,计算试探点?1和?1，计算函数值

f??1?和f??1?，计算公式是：?1?a1?0.382?b1?a1?，?1?a1?0.618?b1?a1?。令

k=1。

⑵ 若

bk?ak?Lf??k?则停止计算。否则，当f??K?>时,

第２５卷第３期?２２６?

电子测量与仪器学报

ＪｏＵＲＮＡＬｏＦＥＬＥＣＴＲｏＮｌＣＭＥＡＳＵＲＥＭＥＮＴ丸ＮＤｌＮ趼ＲＵＭＥＮＴ

场ｔ２５Ｎｏ．３

２０ｔ１年３月

ＤＯＩ：１０．３７２４／ＳＰ．Ｊ．１１８７．２０１１．００２２６

基于ＮＳＧＡ一Ⅱ算法的ＳｏＣ测试多目标优化研究木

谈恩民王鹏

（桂林电子科技大学电子工程与自动化学院，桂林５４１００４）

摘要：在系统芯片ＳｏＣ测试中，测试时间与测试功耗是两个互相影响的因素。多目标进化算法能够处理相互制约的多目标同时优化问题。在无约束条件下，对ＳｏＣ测试时间与测试功耗建立联合优化模型，并采用多目标进化算法中的改进型非劣分类遗传算法（Ｎｏｎ．ｄｏｍｉｎａｔｅｄｓｏｒｔｉｎｇｇｅｎｅｔｉｃａｌｇｏｒｉｔｈｍＩＩ，ＮＳＧＡ一Ⅱ）埘模型进行求解。通过应用ＩＴＣ’０２标准电路中的ｐ９３７９１做应用验证，结果表明该方法能够给出模型的均衡解，证明了模型的实用性和有效性。

关键词：ＮＳＧＡ．ＩＩ算法：ＳｏＣ测试；测试时间：测试功耗

中图分类号：ＴＮ４０７文献标识码：Ａ国家标准学科分类代码：５２０．１０４０

ＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｏｆＳｏＣｔｅｓｔｍｕｌｔｉｐｌｅｏｂｊｅｅｔｓｂａｓｅｄｏｎＮＳＧＡ－ＩＩａｌｇｏｒｉｔｈｍ

ＴａｎＥｎｍｉ

汽车传动系统，多目标优化（粒子群法）matlab原程序代码，供参考学习！可以根据实际情况进行更改进行运算。原码：

function apso

% 参数设置定义全局变量

global lamda1 lamda2 m ua_max eta_T r G f alpha Cd A rou K Ttq_max Fz fai ge_ne_pe du

lamda1 = 0.2; % 动力性发挥程度加权因子； lamda2 = 0.8; % 经济性加权因子； m = 1092; % 整车质量（kg）； ua_max = 50; % 最大车速(km/h)； eta_T = 0.9; % 传动系的传动效率； r = 0.3; % 车轮半径(m)；

g = 9.8; % 重力加速度（g*m/s^2） G = m*g; % 汽车重力G=mg，(N)； f = 0.015; % 汽车的滚动阻力系数； alpha = 25*pi/180; % 道路坡度角-->弧度； Cd = 0.32; % 空气阻力系数；

A = 1.5; % 迎风面积，即汽车行驶方向的投影