数列的性质总结

一 定义（n≥2，n∈N）

1 等差：an－an?1=d 1′ 等比： 二 通项公式

1

?an=q（q≠0） an?1an?a1?(n?1)d （推导方法：累加法） an?am?(n?m)d?d=an?amn?m

1′an?a1?qn?1(a1?q?0) （推导方法：累乘法） an?am?qn?m?qn?m=anam三 ?an?性质

1 A是a与b的等差中项?a，A，b成等差数列2A?a?b?A=a+b。 221′ G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G?a?b?G??ab。

2 m?n?p?q(m,n,p,q?N?)，则am?an?ap?aq；当n+m=2k时,得an?am=2ak 2′ m?n?p?q(m,n,p,q?N?) 则am?an?ap?aq；当n+m=2k时,得an?am=ak2 3 {an},{bn}为等差数列,则{an?k},{k?an},{an?bn},{kan?b}为等差数列. 3′{an},{bn}为等比数列,则{a1},{k?an},{an2},{a2n?1},{anbn}{n}为等比数列. anbn4 等差?an?中，an

等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：an?an?1?d（d为常数）（n?2）；

2．等差数列通项公式：

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an 推广： an?am?(n?m)d． 从而d?

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?a?b或2an?am；

n?m2A?a?b

（

2

）

等

差

中

项

：

数

列

?an?是等差数列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

4．等差数列的前n项和公式：

Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数

乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．

?（2） 等差中项：数列

?a

点12 等差数列、等比数列的性质运用

　　　难点12 等差数列、等比数列的性质运用
　　等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.
　　●难点磁场
　　(★★★★★)等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________.
　　●案例探究
　　［例1］已知函数f(x)= (x<－2).
　　(1)求f(x)的反函数f-－1(x);
　　(2)设a1=1, =－f－-1(an)(n∈N*),求an;
　　(3)设Sn=a12+a22+...+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
　　命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★★★★★级题目.
　　知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.
　　错

高一 年级 下 数学 数列概念与等差数列性质 讲义 第 六 讲 授课时间：3月17日 学生： 教学目标 重点 难点 课题：数列概念与等差数列性质 授课时段 ～ 授课老师 ： 电话： 掌握数列的通项与前n项和之间的关系；掌握等差数列的基本性质；会求等差数列通项与和 掌握数列的通项与前n项和之间的关系；掌握等差数列的基本性质 教学过程（内容） 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，?，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 （1）一般形式：a1,a2,?,an (2)通项公式：an?f(n) (3)前n项和：Sn?a1?a2??an及数列的通项an 与前n项和Sn 的关系： (n?1)?S； Sn?a1?a2??an?an??1S?S(n?2)n?1?n注意：若a1适合an(n>2),则an不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an. 2.等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d an是关于n的一次函数；从图像上看，表示等差数列的各点（n,an）均匀排列在一条直线上3、等差数列的前n和：Sn?n(a1?an)n(n?1)d ，Sn

2.4.2等比数列的性质

一、旧知复习等差数列一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与 它的前一项的差都等于 同一个常数，那么这个 数列叫做等差数列 等比数列 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与 它的前一项的比都等于 同一个常数，那么这个 数列叫做等比数列

定 义

符号 a a d n N n 1 n 语言

a n 1 an

q n N , q 0

通项 a a n 1 d n 1 公式

a n a1 q

n 1

例1:在等比数列{an}中，a3=20 ,q=2 ,求a6 ,an

解： =a q2=4a =20 a3 1 1

所以 a1=5

a6=a1

q5=5×32=160n 1

a an 1

a3=a1q2 , a6=a1q5 an=a1qn-16

q 83

3

所 以 a n a1 q

5 2

.

a6=8×20=160a an

q

n 3

2

n 3

还有其他方法吗想一想

3

an=20×2n-3=5×2n-1

证明设等比数列

a n 的首项为n 1

a 1 , 公比为 q ,m 1

则有 a n a 1 q 从而 an am q

453

［中国高考数学母题］(第141号)

数列求和的性质与求和技巧

求数列｛a n｝的通项a n和前n项和S n,是研究数列的两大主题，课标全国卷数列试题具有浓郁的数列求和“情结”；其中, 数列求和的性质与两个求和技巧，值得关注.

［母题结构］：(I )(求和性质)若数列gn｝,｛b n｝的前n项和分别为S n,T n,则数列g n+tb n｝的前n项和=kS n+tT n；

(II )(并项求和)若数列｛a n｝的a n中含(-1) n,令bn=a2n-l+a2n,并求数列｛b n｝的前n项和T n,然后由Sn=T n,S 2n-1=T n￡ 2n求S^g；

(山)(分段求和)若数列｛a n｝:a n=f(n)(n < m),a n=g(n)(n>m),则：①当n w m时,S n 由a“=f(n)求出；②当n>m时，先由a“=f(n) 求S m 再由a n=g(n)求S-S M然后由S=S+(S n-Sj,求S n.

［母题解析］:略.

1.求和性质

子题类型I :(2016年北京高考试题)已知｛a n｝是等差数列,｛b n｝是等比数列，且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.

(I )求｛a n｝的通项公式；(I )设C n=a n+b n,求数

高一 年级 下 数学 数列概念与等差数列性质 讲义 第 六 讲 授课时间：3月17日 学生： 教学目标 重点 难点 课题：数列概念与等差数列性质 授课时段 ～ 授课老师 ： 电话： 掌握数列的通项与前n项和之间的关系；掌握等差数列的基本性质；会求等差数列通项与和 掌握数列的通项与前n项和之间的关系；掌握等差数列的基本性质 教学过程（内容） 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，?，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 （1）一般形式：a1,a2,?,an (2)通项公式：an?f(n) (3)前n项和：Sn?a1?a2??an及数列的通项an 与前n项和Sn 的关系： (n?1)?S； Sn?a1?a2??an?an??1S?S(n?2)n?1?n注意：若a1适合an(n>2),则an不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an. 2.等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d an是关于n的一次函数；从图像上看，表示等差数列的各点（n,an）均匀排列在一条直线上3、等差数列的前n和：Sn?n(a1?an)n(n?1)d ，Sn

第23课时：第三章 数列——等差数列、等比数列的性质及应用

一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用

二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解

决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力． 三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用． 四．教学过程： （一）主要知识：

有关等差、等比数列的结论

1．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍为等差数列． 2．等差数列{an}中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq 3．等比数列{an}中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq

4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍为等比数列． 5．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an?bn}仍为等差数列．

?an??1?6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an?bn}、??、??仍为等比数列．

?bn??bn?（二）主要方法：

1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以

有关Fibonacci数列及性质的研究

摘要：本文由Fibonacci数列的模型展开讨论，推导出?Fn?数列的通项公式；进而利用

?Fn?数列的递推公式、数学归纳等多种方法，探讨了?Fn?数列各项之间的联系，归纳总结了?Fn?数列所具有的14条基本性质，在其基础上，又给出了Fibonacci数列与黄金分割数之间的密切联系，得到了三条重要性质，这些性质无一不体现了?Fn?数列的变化规律。最后，作为性质的应用，结合例题我们阐述了?Fn?数列在中学数学教育和社会其他领域的一些应用。

关键词：Fibonacci数列;通项公式;性质;黄金分割

在现实生活中，我们经常会遇到类似“数列”变化的一系列经济问题，Fibonacci数列出现在我们生活中的方方面面，一些问题不仅可以用Fibonacci 数列表示，而且本质上就是Fibonacci数列，可见Fibonacci数列在很多数学分支都有很广泛的应用，因此研究Fibonacci数列非常必要。

本文通过探讨Fibonacci数列的性质，进一步掌握数列的数字排列、增减变化、波动趋势等数项之间的变化规律，继而给出一系列与Fibonacci数列相关问题的解决方案，特别是对中学数学教育中，如何让学生巧妙解题具有启发作用

等差数列练习题

1、一个首项为正数的等差数列中，前3项和等于前11项和，当这个数列的前几项和最大时，n

等于： A、5 B、6 C、7 D、8

2、首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是： A、d?83 B、d<3 C、883?d?3 D、3?d?3 3、若{an}、{bn}都是等差数列，且a1=5, b1=15, a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项之和S100等

于：

A、6000 B、600 C、5050 D、60000

4、已知各项都为正数的等比数列，{an}的公比q≠1，且a4, a6, a7成等差数列，则

a4?a6a的值等

5?a7于： A、5?12 B、5?12 C、12 D、2

5、已知方程（x2－2x+m）(x2－2x+n)=0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－n|= A、1 B、

3134 C、2 D、8 6、等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，a1=4， 则公差d等于 A．1 B

53 C 2 D 3 7.已知数列｛a，若{112n｝中，a3=2，a7=1a}为等差数列，则a11等于：A。0 B。n?12C。3D。2

8.设Sn差数列｛an｝的前n项和，