平面向量线性运算的坐标表示教案

平面向量的坐标表示

题组1：基础再现

1.已知O是坐标原点，A(2,1),B(?4,0)，且AB?4BC?0，在向量OC? . 2.已知a＝(2，1），b＝(－3，4)，则3a－5b ＝_____ 3.已知向量a?(4,3),b?(6,x)，且a//b，求实数x= .

4.已知向量a?(?3,1),b?(1,?2)，若(?2a?b)?(ka?b)，则实数k= .

题组2：平面向量基本定理的应用

知识建构：

（1）平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1，?2，使a =?1 e1+?2e2．

（2）一个平面向量可用一组基底e1，e2表示成a = ?1 e1+?2 e2的形式，我们称它为向量的一个分解，当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．

例1如图，已知△OAB中，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B的三等

分点，DC和OA交于E，设AB＝a，AO＝b． （1）用向量a和b表示向量OC，CD； B

（2）若OE＝?OA，求实数?的值． D A E

O C

例2已知OA＝a，OB＝b，点G是

2.3.3 平面向量的坐标运算

在平面直角坐标中， 在平面直角坐标中，向量如何用坐 标来表示？ 标来表示？

→

→

a = x i+ y j

→

→

a = ( x, y )

1.已知 a= (x1, y1) , b= (x2, y2 ) , 求 a + b 的坐标.→ →

a+ b = (x1 + x2 , y1 + y2 )

两个向量和的坐标等于这两向量相应坐标的和 .

2.已知 a = (x1, y1) , b= (x2, y2 ) ,求 a b 的坐标.→ →

a b = (x1 x2 , y1 y2 )

两个向量差的坐标等于这两向量相应坐标的差 . 3.已知 a = ( x1, y1 ) ,求 λ a 的坐标.

λ a = ( λ x1 , λ y1 )实数与向量的积的坐标等于这个实数 乘原来的向量的相应坐标 乘原来的向量的相应坐标 .

→

(1)已知向量 a = ( 2,4), b = (5,2),求 a + 3b的坐标; (2)已知向量 a = ( 4,3), b = ( 3,8),求5a 2b的坐标.

4、如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2),求向 如图,已知点A(x 的坐标。 量 AB 的坐标。A(x1,y1)

yB(x2,y2

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§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

1 a xi yj…………○

我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2 a

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§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

1 a xi yj…………○

我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2 a

2.2.1向量加法运算及 其几何意义

新课导入1. 物理学中，两次位移 同的。 的结果和位移 是相 OA, AB OB

2. 物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合 力如何求得？ 3. 两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三 角形法则”求出，本节将研究向量的加法。

向量的加法

已知向量a,b,在平面内任取一点A,作 BC b,则向量 AC 叫做a与b的和，记作a+b,即 a+b= AB BC AC

a AB ,

求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量和的方法叫做三角形法则，简记 “首尾相连，首是首，尾是尾”。

向量的加法 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作平 行四边形ABCD则以O为起点的对角线 OC 就是a与 b的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 平行四边形法则。

向量的加法

对于零向量与任一向量a,规定a+0=0+a=a

例 题 已知向量a,b,用两种方法求作向量a+b。

解：

思 考 当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加 法与数的加法有什么关系？

归

纳

两个向量的和仍

2.2.1向量加法运算及 其几何意义

新课导入1. 物理学中，两次位移 同的。 的结果和位移 是相 OA, AB OB

2. 物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合 力如何求得？ 3. 两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三 角形法则”求出，本节将研究向量的加法。

向量的加法

已知向量a,b,在平面内任取一点A,作 BC b,则向量 AC 叫做a与b的和，记作a+b,即 a+b= AB BC AC

a AB ,

求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量和的方法叫做三角形法则，简记 “首尾相连，首是首，尾是尾”。

向量的加法 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作平 行四边形ABCD则以O为起点的对角线 OC 就是a与 b的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 平行四边形法则。

向量的加法

对于零向量与任一向量a,规定a+0=0+a=a

例 题 已知向量a,b,用两种方法求作向量a+b。

解：

思 考 当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加 法与数的加法有什么关系？

归

纳

两个向量的和仍

夫人之相与，俯仰一世，或取诸怀抱，悟言一室之内；或因寄所托，放浪形骸之外。虽趣舍万殊，静躁不同，当其欣于所遇，暂得于己，快然自足，不知老之将至。及其所之既倦，情随事迁，感慨系之矣。向之所欣，俯仰之间，已为陈迹，犹不能不以之兴怀。况修短随化，终期于尽。古人云：“死生亦大矣。”岂不痛哉！不知老之将至一作：曾不知老之将至§5.1 平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标表示

命题探究

答案:3

解析:解法一:∵tan α=7,α∈[0,π], ∴cos α=,sin α=∵

与

的夹角为α,

,

∴==,②

又cos∠AOB=cos(45°+α)=cos αcos 45°-sin αsin 45° =

|=|

|=1,|

|=,

∴

×-·

=|

×=-, |·|

|·cos∠AOB=-,

又∵

与

的夹角为45°,

∴=∵

=m

+n

, ,|

将其代入①②得m-n=,-m+n=1,

∴=

,①

两式相加得m+n=,

夫人之相与，俯仰一世，或取诸怀抱，悟言一室之内；或因寄所托，放浪形骸之外。虽趣舍万殊，静躁不同，当其欣于所遇，暂得于己，快然自足，不知老之将至。及其所之既倦，情随事迁，感慨系之矣。向之所欣，俯仰之间，已为陈迹，犹不能不以之兴怀。况修短随化，终期于尽。古人云：“死生

高中数学专题复习

《平面向量线性运算坐标表示数量积运用》单元过关

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注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题

1．对任意两个非零的平面向量?和?,定义???????,若平面向量a、b满足????n????a?b?0,a与b的夹角???0,?,且ab和ba都在集合?n?Z?中,则ab??4??2? A．

2．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC?16,?AB?AC???AB?AC??则

2（ ）

1 2B．1 C．

3 2D．

5（汇编广东理） 2?AM??（ ）

（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1（汇编四川理5）

小初高K12学习教材

小初高K12学习教材 2.3.2-2.3.4 平面向量共线的坐标表示

[课时作业]

[A 组 基础巩固]

1．若AB →＝(3,4)，A 点的坐标为(－2，－1)，则B 点的坐标为( )

A ．(1,3)

B ．(5,5)

C ．(1,5)

D ．(5,4)

解析：设B (x ，y )，则有AB →＝(x －(－2)，y －(－1))＝(x ＋2，y ＋1)＝(3,4)，所以?????

x ＋2＝3，y ＋1＝4，解得????? x ＝1，

y ＝3，所以B (1,3)．

答案：A

2．下列各组向量中，可以作为基底的是( )

A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(－2,1)

B ．e 1＝(4,6)，e 2＝(6,9)

C ．e 1＝(2，－5)，e 2＝(－6,4)

D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝? ????12

，－34 解析：因为零向量与任意向量共线，故A 错误．对于B ，e 1＝2(2,3)，e 2＝3(2,3)，所以e 1

＝23e 2，即e 1与e 2共线．对于D ，e 1＝4? ????12

，－34＝4e 2，所以e 1与e 2共线． 答案：C

3．已知A ，B ，C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐

平面向量的概念及其线性运算

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

→

1．(2013·合肥检测)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA→＋OC→＝0，那么 ＋OB→＝OD→ A.AO

→＝3OD→ C.AO

( )．

→＝2OD→

B.AO→＝OD→ D．2AO

→＋OB→＋OC→＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故AO→

解析 由2OA→. ＝OD答案 A

→＝a，→＝b，→＝c，→＝d，

2．已知OAOBOCOD且四边形ABCD为平行四边形，则 ( )． A．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c－d＝0

B．a－b－c＋d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0

→＝DC→，故AB→＋CD→＝0，即OB→－OA→＋OD→－OC→＝0，即有解析 依题意，得AB

→－OB→＋OC→－OD→＝0，则a－b＋c－d＝0.选A. OA答案 A

→＋2OC→

3．(2013·长安一中质量检测)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA→|

|BC→

＝3OB，则的值为

→|AB|1A.2

1

B.3

1D.6

( )．

1

C.4

→||BC→→→→→→