矩阵论试题与答案

南昌航空大学硕士研究生 2009/2010 学年第 一 学期考试卷

学生姓名： 所在学院： 学号： 课程名称： 矩阵论 班级： 成绩： 任课教师姓名： 艾小伟 任课教师所在学院： 数信学院

?0?10???0，求A的值域与核。一．设矩阵A=11（10分） ???1?2?2???

二．设?1=(1,1,1,0), ?2=(-1,-2,-1,-1), ?1=(2,1,3,-1), ?2=(1,-1,0,-2), V1=span(?1,?2),

T

T

T

T

V2=span(?1,?2)，分别求V1∩V2 ，V1+V2 的一组基和维数。（12分）

1

三．在R2?2?1?1??10??01??00?中，定义线性变换Г(X) =??X，求Г在基E11=?00?, E12=?00?, E21=?10?,

02????????E22=??00?下的矩阵。（10分） ??01?

?0四．求矩阵A=??1??1

?40??

南昌航空大学硕士研究生 2009/2010 学年第 一 学期考试卷

学生姓名： 所在学院： 学号： 课程名称： 矩阵论 班级： 成绩： 任课教师姓名： 艾小伟 任课教师所在学院： 数信学院

?0?10???0，求A的值域与核。一．设矩阵A=11（10分） ???1?2?2???

二．设?1=(1,1,1,0), ?2=(-1,-2,-1,-1), ?1=(2,1,3,-1), ?2=(1,-1,0,-2), V1=span(?1,?2),

T

T

T

T

V2=span(?1,?2)，分别求V1∩V2 ，V1+V2 的一组基和维数。（12分）

1

三．在R2?2?1?1??10??01??00?中，定义线性变换Г(X) =??X，求Г在基E11=?00?, E12=?00?, E21=?10?,

02????????E22=??00?下的矩阵。（10分） ??01?

?0四．求矩阵A=??1??1

?40??

矩阵论

第1章 线性空间和线性变换

1.1线性空间

一个数域F上的非空集合V，V的元素为a、b、c……，定义两种运算，一种是V内元素的加法，一种是V内元素与F域上元素的数乘，这两种运算满足加法交换律、结合律、分配律。线性空间中0元素唯一（具体形式未必是0），某元素的负元素唯一。 实线性空间、复线性空间

最大线性无关组，基表示线性空间，维数，向量在某基下的坐标， a={α}X，a={β}Y，{β}={α}C，∴X=CY

N维线性空间一组向量线性相关/无关，等价于在该空间某基下坐标线性相关/无关 子空间：V中子集W，W的元素关于V中的线性运算仍然构成一个线性空间

零空间N(A)={X|AX=0}，列空间R(A)=L{A1,A2,…,AN}都是Fn的子空间 交空间、和空间，并运算的结果却未必是子空间

直和子空间：线性无关组分成两部分组成两个子空间，W1∩W2={0}，直和子空间，0的表达唯一，即0=w1+w2，w1∈W1，w2∈W2。 1.2内积空间

定义了内积的线性空间，内积的结果是数域上的元素。 内积运算的3个性质：对称性（共轭转置）、线性性、正定性。 实内积空间，欧式空间，向量长度欧几里得范数

复内积空间，酉空间

两个向量在同一个基下不同的

关于酿酒过程中的调配问题分析

（山东大学信息科学与技术学院 学号201111768）

摘 要：本文针对酿酒中的调配问题，建立数学模型，通过利用矩阵论的知识来论证调配比例可行性。

关键词：酿酒调配问题 矩阵论 可行性

1.问题的提出

有三种酒甲、乙、丙，它们各含三种主要成分A,B,C的含量如下表：

调酒师现要用这三种酒配置另一种酒，使其对A,B,C含量分别是：66.5%，18.5%，15%，问能否配出合乎要求的酒？比例分配如何？当甲酒缺货时，能否用含三种主要成分为(0.80,0.12,0.08)的丁酒替代？比例分配又如何？ 2.模型的建立与问题求解

（1）设甲乙丙三种酒的比例分配为 x1x2x3 ，根据题意可得矩阵方程

x1

x2

0.70.20.1

x3 0.60.20.2 0.6650.1850.15 0.650.150.2

其正数解即为所求.

0.70.20.1

可以得出 0.60.20.2

0.650.150.2

1

2 54

215 16 854

所以 x1x2

0.70.20.1

x3 0.6650.1850.15 0.60.20.2

0.650.150.

关于酿酒过程中的调配问题分析

（山东大学信息科学与技术学院 学号201111768）

摘 要：本文针对酿酒中的调配问题，建立数学模型，通过利用矩阵论的知识来论证调配比例可行性。

关键词：酿酒调配问题 矩阵论 可行性

1.问题的提出

有三种酒甲、乙、丙，它们各含三种主要成分A,B,C的含量如下表：

调酒师现要用这三种酒配置另一种酒，使其对A,B,C含量分别是：66.5%，18.5%，15%，问能否配出合乎要求的酒？比例分配如何？当甲酒缺货时，能否用含三种主要成分为(0.80,0.12,0.08)的丁酒替代？比例分配又如何？ 2.模型的建立与问题求解

（1）设甲乙丙三种酒的比例分配为 x1x2x3 ，根据题意可得矩阵方程

x1

x2

0.70.20.1

x3 0.60.20.2 0.6650.1850.15 0.650.150.2

其正数解即为所求.

0.70.20.1

可以得出 0.60.20.2

0.650.150.2

1

2 54

215 16 854

所以 x1x2

0.70.20.1

x3 0.6650.1850.15 0.60.20.2

0.650.150.

重庆大学研究生矩阵论考题

名姓 密 号学 ） （ 别类 封 ）域领（业专 线 院学校训：耐劳苦、尚俭朴、勤学业、爱国家 重庆大学研究生试卷（2011版） 第 1 页 共 4 页

重庆大学研究生《矩阵论》课程试卷

二、（10分）在R2 2中，（1）求基(I)

2012 ~2013 学年 第 一 学期（秋）

A 开课学院： 数学与统计 课程编号： 考试日期：

21 01 21 13

01 ,A

1 2 22 ,A3 12 ,A4 12

考试方式： 考试时间： 120 分钟

到基(II) B 12 1 1 11 10 ,B2 11 ,B3 2 11 ,B4 1 1

01

的过渡矩阵；（2）求A B1 2B2 3B3 4B4在基(I)下的坐标。

解：不难看出，由简单基E11，E12，E21，E22到基（I）和基（II）的过渡矩阵分别为

一、判断题。(每题

Hermite矩阵与反Hermite矩阵

摘 要

Hermite矩阵是矩阵类中的一种特殊形式，它在矩阵理论中处于重要的地位，尤其是在酉空间、酉变换及复系数二次型的应用中起着主导的作用，它一方面是对实对称矩阵的推广，另一方面它在复矩阵的地位相当于实数在复数C的地位，复矩阵中的Hermite矩阵与实对称矩阵在其性质和证明方法上都十分的相似，本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质、基本定理和Hermite矩阵的正定性四个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite矩阵.

关键词：Hermite矩阵；反Hermite矩阵；正定性；酉矩阵.

Abstract

The Hermite matrix forms a special class of matrices in matrix theory.It occupies an important position in the matrix theory and plays a leading role,especially in the unitary space,unitary transformation and the application of the quad

院系：

矩阵数值分析 班

大 连 理 工 大 学

课 程 名 称： 矩阵与数值分析 试 卷： 统一 考试类型 闭卷 授课院 (系)： 数 学 系 考试日期：2010年1月12日 试卷共 8页

一

二 6

三 6

四 6

五

六

七

八 /

九 /

十 /

总分

100

主讲教师

标准分 50 10 12 10

得 分

一、 填空与判断题（×或√），每空 2 分，共50分

(1) 已知a=2009.12，b=2010.01分别是按四舍五入原则得到的x1和x2近似x b值，x12 ≤

2 b(2)[0,1]上权函数ρ(x)=x的正交多项式族中φ1(x)=装

∫(x

1

5

。 +x3)φ5(x)2

(3) 已知存在实数R使曲线y=x2和y2+(x 8)=R2相切。求切点横坐标近似值的Newton迭代公式为 。 12

(4) 设A= ，则它的奇异值为

2 1 11 1

(5)若取A= ，则eAtdt= 。 ∫0

01 (6) 若A<1，则(I A)

1

订

线

≤。

(7) 已知f(a h),f(a),f(a+h)，计算一阶数值导数的公式是：

f′(a)=

习题二

1．化下列矩阵为Smith标准型：

1 （1）

1 2 2

; 2 2

00

00

（2）

0( 1)2 2

0

2

2

00

0 ; 0 0

3 2 2 32 1 2 2 3 （3） 4 2 3 53 2 2 3 4 ;

2 4 2 1

301 2 4 3 60 22 (4) 06 2 0 . 10 100 00 3 31 2 2

解：（1）对矩阵作初等变换

1 1 2

2

1 2 1 2 2

0 0 c c r r

1 2 2 00 ( 1) 2 2

1

3

3

1

10

c2 c1 0 c3 c1

00 10

c3 c2 0 r1 ( 1)

( 1) 00

1

；

( 1)

0 ， ( 1)

则该矩阵为Smith标准型为

（2）矩阵的各阶行列式因子为

D4( ) 4( 1)4,D3( ) 2( 1)2,D2( ) ( 1),D1( ) 1,

从而不变因子为

d1( ) 1,d2( )

号学 ) 计 分 零 按 者 违名，姓题 答 准 不 内 线 封 密 、 级 班 级、班号业学专、名 姓系写 要 不 外 线 封 密( 院学 考试方式： 闭卷

……太原理工大学 矩阵分析 试卷(A) ……

…适用专业： 08级硕士研究生 考试日期： 09. 1.5 时间： 120 分钟 共 7 页 ……题 号 一 二 11 12 13 14 15 16 总 分 ……得 分 ……

……线一．填空题(每小题3分，共15分)

……1．设矩阵A?0，并且(E?A)?1?E?A，则A的最小多项式m(?)? ?2 .

……?10……2．设A??0??0?20???，A(?)??E?A，则A(?)的Smith标准形为?1?1?……??????.

?201?(??1)2(??2)??……3．若A?Om?n，则A的加号逆A?? On?m .

……?123?…?0…4．若矩阵A??3012?封??1?，则矩阵A的谱半径?(A)? 6 . …?230…??1230???……?……