线性系统的频域分析法例题

第五章 线性系统的频域分析法

5-1 什么是系统的频率响应？什么是幅频特性？什么是相频特性？什么是频率特性？ 答 对于稳定的线性系统，当输入信号为正弦信号时，系统的稳态输出仍为同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变，如图5-1所示，称这种过程为系统的频率响应。

图5-1 问5-1图

称为系统的幅频特性，它是频率

的函数：

的函数； 称为

称为系统的频率特

系统的相频特性，它是频率

性。

稳定系统的频率特性可通过实验的方法确定。 5-2 频率特性与传递函数的关系是什么？试证明之。 证 若系统的传递函数为s用

代替。证明如下。

，则相应系统的频率特性为

，即将传递函数中的

假设系统传递函数为：

输入 时，

经拉氏反变换，有： 稳态后，则有： 其中：

将

与 写成指数形式：

则： 与输入

比较得：

幅频特性 所以

相频特性

是频率特性函数。

5-3 频率特性的几何表示有几种方法？简述每种表示方法的基本含义。 答 频率特性的几何表示一般有3种方法。

⑴幅相频率特性曲线（奈奎斯特曲线或极坐标图）。它以频率 为参变量

第五章 线性系统的频域分析法

考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。

另一方面，控制系统中的信号可以表示成不同频率正弦信号的合成，而频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能，因此也可以应用频率特性研究线性系统的性能。

应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。它以控制系统的频率特性作为数学模型，以伯德图或其它图表为分析工具，来研究、分析控制系统的动态性能和稳态性能。

频域分析法它不必直接求解系统的微分方程，而是间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。其也是一种图解法。

本章将介绍频率特性的基本概念，典型环节和系统的频率特性的极坐标图和伯德图，奈奎斯特稳定判据和频域性能指标与时域性能指标之间的关系，开环频域性能分析等内容。

5.1频率响应

5.1.1 基本概念

以图示RC网络为例，说明频率特性的基本概念。 网络微分方程为

式中，T=RC。其传递函数为

设输入为正弦电压 dc t 则

Tdt?c(t)?r(t)

Cs?R(s)Ts?11

经拉氏反变换，得电容两端输出电压

式中，第一项为输出电压的暂态分量，将随时间增大而趋于零；

第二项为输出的稳

实验3 线性系统的频域分析方法

1、主要内容：自动控制系统频域分析上机实验 2、目的与要求

熟悉 MATLAB 软件在频域分析中的基本应用 熟悉 MATLAB 软件绘制 Bode 图、Nyquist 曲线

由 MATLAB 软件绘制的 Bode 图判别闭环系统的稳定性 3、重点与难点：

MATLAB 软件绘制 Bode 图、Nyquist 曲线及稳定性判断 MATLAB 软件绘制 Bode 图、Nyquist 曲线

一、实验目的

1、利用 MATLAB 绘制系统的频率特性图； 2、根据 Nyquist 图判断系统的稳定性； 3、根据 Bode 图计算系统的稳定裕度。 二、实验任务

利用 MATLAB 绘制系统的频率特性图，是指绘制 Nyquist 图、Bode 图，所用到的函数主要是 nyquist、ngrid、bode 和 margin 等。 1、Nyquist 图的绘制及稳定性判断

nyquist 函数可以计算连续线性定常系统的频率响应，当命令中不包含左端变量时，仅产生 Nyquist图。

命令 nyquist(num,den)将画出下列传递函数的 Nyquist 图：

bmsm?bm?1sm?1??b1s?b0

专题：层次分析法

一般情况下，物流系统的评价属于多目标、多判据的系统综合评价。如果仅仅依靠评价者的定性分析和逻辑判断，缺乏定量分析依据来评价系统方案的优劣，显然是十分困难的。尤其是物流系统的社会经济评价很难作出精确的定量分析。

层次分析法（Analytical Hierarchy Process）由美国著名运筹学家萨蒂（T．L．Saaty）于1982年提出，它综合了人们主观判断，是一种简明、实用的定性分析与定量分析相结合的系统分析与评价的方法。目前，该方法在国内已得到广泛的推广应用，广泛应用于能源问题分析、科技成果评比、地区经济发展方案比较，尤其是投入产出分析、资源分配、方案选择及评比等方面。它既是一种系统分析的好方法，也是一种新的、简洁的、实用的决策方法。

◆ 层次分析法的基本原理

人们在日常生活中经常要从一堆同样大小的物品中挑选出最重的物品。这时，一般是利用两两比较的方法来达到目的。假设有n个物品，其真实重量用w1，w2，…wn表示。要想知道w1，w2，…wn的值，最简单的就是用秤称出它们的重量，但如果没有秤，可以将几个物品两两比较，得到它们的重量比矩阵A。

如果用物品重量向量W=[w1，w2，…wn]右乘矩阵A，则有：

T

由上式可知，n是A的特征值

实验目的：

熟悉有关层次分析法模型的建立与计算，熟悉Matlab的相关命令。

实验准备：

1. 在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；

2. 需要一台准备安装Windows XP Professional操作系统和装有Matlab的计算机。

实验内容及要求

试用层次分析法解决一个实际问题。问题可参考教材P296第4大题。

实验过程：

某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。以A表示系统的总目标，判断层中B1表示功能，B2表示价格，B3表示可维护性。C1，C2，C3表示备选的3种品牌的设备。

购买设备A 目标层： 判断层： 功能B1 价格B2 维护性B3 方案层： 产品C1 产品C2 设备采购层次结构图

产品C3

解题步骤：

1、标度及描述

人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用

实验七 线性系统的频域分析

一、实验目的

1、掌握绘制控制系统Bode图及使用对数稳定性判据的方法；

2、掌握绘制控制系统Nyquist图及使用Nyquist稳定性判据的方法。 二、实验设备

Pc 机一台，MATLAB 软件。 三、实验内容

1、已知系统的开环传递函数为：

??

G s H s =

??(??+1)(??+5)求：1）绘制当k=10及100时系统的bode图

2）分别求取当k=10及100时的相角裕度及增益裕度； 3）分析系统稳定性，并用时域相应曲线验证。 2、已知某系统的开环传递函数为：

??

G s H s =??

??(??+1)(??+2)求：1）令v=1，分别绘制k=1，2，10时系统的Nyquist图；比较分析系统开环增益k不同时，系统的Nyquist图的差异，并得出结论。

2）令k=1，分别绘制v=1、2、3、4时系统的Nyquist图，比较分析v不同时，系统的Nyquist图的差异，并得出结论。 四、实验报告：

1.k=10时的bode图：

此时相角裕度为25°，增益裕度为-9.58。由此可知系统稳定，时域响应曲线如图：

2.k=100时系统的bode图：

此时相角裕度为-23°，增益裕度为10.5。由此可知系

第五章 线性系统的频域分析法

1、基本内容和要点 （l）频率特性

系统的稳态频率响应，频率响应的物理概念及数学定义；求取频率特性的分析法和实验法。 （2）典型环节的频率特性

比例、惯性、积分、微分、振荡、延迟环节的频率特性和对数频率特性。非最小相位环节的频率特性。

（3）反馈控制系统的开环频率特性

研究系统开环频率特性的意义。单环系统开环对数频率持性的求取与绘制。最小相位系统开环对数幅频特性与相频特性间的对应关系。

（4）奈奎斯特稳定判据

幅角定理。S平面与F平面的映射关系。根据开环频率特性判别闭环系统稳定性的奈氏判据。奈氏判据在多环系统中的应用和推广。系统的相对稳定性。相角与增益稳定裕量。

（5）二阶和高阶系统的频率域性能指标与时域性指标。

系统频率域性能指标。二阶和高阶系统暂态响应性能指标与频率域性能指标间的解析关系及近似关系。

（6）系统的闭环频率特性

开环频率特性与闭环频率特性间的解析关系。用等M圆线从开环频率特性求取闭环频率特性。用尼氏图线从开环对数频率特性求取闭环频率特性。

2、重点

（l）系统稳态频率响应和暂态时域响应的关系。

（2）系统开环频率特性的绘制，最小相位系统开环频率特性的特点。 （3）奈奎斯特稳定判据和稳定裕

专题：层次分析法

一般情况下，物流系统的评价属于多目标、多判据的系统综合评价。如果仅仅依靠评价者的定性分析和逻辑判断，缺乏定量分析依据来评价系统方案的优劣，显然是十分困难的。尤其是物流系统的社会经济评价很难作出精确的定量分析。

层次分析法（Analytical Hierarchy Process）由美国著名运筹学家萨蒂（T．L．Saaty）于1982年提出，它综合了人们主观判断，是一种简明、实用的定性分析与定量分析相结合的系统分析与评价的方法。目前，该方法在国内已得到广泛的推广应用，广泛应用于能源问题分析、科技成果评比、地区经济发展方案比较，尤其是投入产出分析、资源分配、方案选择及评比等方面。它既是一种系统分析的好方法，也是一种新的、简洁的、实用的决策方法。

◆ 层次分析法的基本原理

人们在日常生活中经常要从一堆同样大小的物品中挑选出最重的物品。这时，一般是利用两两比较的方法来达到目的。假设有n个物品，其真实重量用w1，w2，…wn表示。要想知道w1，w2，…wn的值，最简单的就是用秤称出它们的重量，但如果没有秤，可以将几个物品两两比较，得到它们的重量比矩阵A。

如果用物品重量向量W=[w1，w2，…wn]右乘矩阵A，则有：

T

由上式

第九章 线性系统的状态空间分析法

一、教学目的和要求

通过学习，了解系统状态空间描述常用的基本概念，掌握线性定常系统状态空间表达式的建立方法。 二、重点

状态空间分析的常用概念，根据系统机理建立状态空间表达式方法。 三、教学内容：

以“经典控制的不足”为切入点引进线性系统的状态空间分析与综合。 1、系统数学描述的两种基本方法

一种是外部描述。 一种是内部描述。 对比举例

2、系统描述中常用的基本概念 输入和输出、松弛性、因果性、线性、时不变形 3、系统状态空间描述常用的基本概念

状态和状态变量、状态向量、状态空间、状态轨迹、状态方程、输出方程、状态空间表达式、自制系统、线性系统、线性系统的状态空间表达式、线性定常系统、线性系统的结构图、状态空间分析法。 将概念讲解、举例、对比来加深理解。 4、举例 熟悉对概念理解

5、根据系统机理建立状态空间表达式方法

步骤：

① 确定输入输出向量；

② 根据系统机理（电学、力学等）建立系统方程； ③ 选择状态变量，根据方程建立状态方程；

实验六 线性系统的频域分析

一. 实验目的

（1）熟练掌握使用MATLAB命令绘制控制系统Nyquist图的方法； （2）能够分析控制系统Nyquist图的基本规律；

（3）加深理解控制系统乃奎斯特稳定性判据的实际应用； （4）学会利用奈氏图设计控制系统；

（5）熟练掌握运用MATLAB命令绘制控制系统伯德图的方法； （6）了解系统伯德图的一般规律及其频域指标的获取方法； （7）熟练掌握运用伯德图分析控制系统稳定性的方法； （8）设计超前校正环节并绘制Bode图； （9）设计滞后校正环节并绘制Bode图。 二. 实验原理及内容 1、频率特性函数G(j?)。 频率特性函数为：

G(jw)?b0(j?)m?b1(j?)m?1?????bm?1(j?)?bma0(j?)n?a1(j?)n?????an?1(j?)?an

由下面的MATLAB语句可直接求出G(jw)。 i=sqrt(-1) % 求取-1的平方根

GW=polyval(num，i*w)./polyval(den，i*w) 2、用MATLAB作奈魁斯特图。

控制系统工具箱中提供了一个MATLAB函数nyquist( )，该函数可以用来直接求解Nyquist阵列或绘制奈氏图。当命令中不包