三角形的四心例题含答案

三角形的重心是三角形三条中线的交点。

三角形的三条中线必交于一点

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。

三角形的三条中线必交于一点

求证：AE=CE

证明：延长OE到点G，使OG=OB

∵OG=OB,∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线 ∴AD∥CG

∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线 ∴CF∥AG

∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形 ∴AC、OG互相平分,∴AE=CE

三角形的重心的性质

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：

(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3

5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

编辑本段二、三角形的外心

三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或

三角形中的“四心”问题

重心：三角形的三条边上的中线的交点

如果三角形ABC中三边BC、CA、AB上的中点分别是D、E、F 则AD、BE、CF的交点为O，O为三角形ABC的重心

AO?2OD,OA?OB?OC?0,AO?BO?CO?0??x0??AB?AC?2AD?3AO，坐标???y??0xyA?xB?xC?Ay3B

?yC3重心可以得到这些，要证明是否过重心或者是否为重心也就是要证明这些，

垂心：三角形当中三条高的交点

如果三角形的三条高交与H一点，则H就是三角形的垂心，那么我们可以得到

AH?BC?0,BH?AC?0,CH?AB?0 如果PA?PB?PB?PC?PC?PA则P为三角形的垂心

要判断一个点是否过垂心或者就是垂心就是要证明这些或者某些 内心;三角形中的三条角平分线的交点

三角形三条角平分线交与一点O,则这个点O就是三角形中的内心，那么我们可以得到

O 点到三角形的三边的距离相等，其次AO???AB?AC?,BO???BA?BC?,CO???CA?CB?

???????AB?AC???BA?BC???CA?CB????????O是内心也就是三角形的内切圆的圆心，既然是角平分线在向量中就是要单位向量相

三角形中的“四心”问题

重心：三角形的三条边上的中线的交点

如果三角形ABC中三边BC、CA、AB上的中点分别是D、E、F 则AD、BE、CF的交点为O，O为三角形ABC的重心

AO?2OD,OA?OB?OC?0,AO?BO?CO?0??x0??AB?AC?2AD?3AO，坐标???y??0xyA?xB?xC?Ay3B

?yC3重心可以得到这些，要证明是否过重心或者是否为重心也就是要证明这些，

垂心：三角形当中三条高的交点

如果三角形的三条高交与H一点，则H就是三角形的垂心，那么我们可以得到

AH?BC?0,BH?AC?0,CH?AB?0 如果PA?PB?PB?PC?PC?PA则P为三角形的垂心

要判断一个点是否过垂心或者就是垂心就是要证明这些或者某些 内心;三角形中的三条角平分线的交点

三角形三条角平分线交与一点O,则这个点O就是三角形中的内心，那么我们可以得到

O 点到三角形的三边的距离相等，其次AO???AB?AC?,BO???BA?BC?,CO???CA?CB?

???????AB?AC???BA?BC???CA?CB????????O是内心也就是三角形的内切圆的圆心，既然是角平分线在向量中就是要单位向量相

【典型例题】 例1. （2008年陕西）已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE． 分析：已知条件中具备AC＝CE，要证明两个三角形全等，需要推证其它的对应边、对应角相等，而由AC∥DE得∠E＝∠ACB，∠D＝∠ACD，又因为∠ACD＝∠B，所以∠D＝∠B．得到两个三角形全等的条件。 解：∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠D，∠BCA＝∠E． 又∵∠ACD＝∠B，∴∠B＝∠D． 在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE． 评析：从已知条件入手寻找三角形全等的条件，灵活运用平行线的性质推导∠D＝∠ACD，∠E＝∠ACE．解题关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件。 例2. （2008年浙江衢州）如图，AB∥CD （1）用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连结AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）． 分析：根据角平分线的作法，分三步得到∠C的平分线．对于补充条件使△ACF

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数： 辅导科目： 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明 备课时间： S?ABE?S?CDE?S

收集(部分证明)了三角形四心相关性质,对高中生更加了解向量和三角形有一定帮助。

符号说明：“AB”表示向量，“|AB|”表示向量的模
【一些结论】：以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(内积）
3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）
4 若P是△ABC的外心|PA|=|PB|=|PC|
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞) 经过重心
8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,∠C的外角平分线的交点
【以下是一些结论的有关证明】
1.
O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性：
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，
延长CO交AB于D，根据向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已

三角形（二）——特殊三角形

【等腰三角形】

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形。 2．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

3．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（常称为“三线合一”）。 4．如果一个三角形有两个内角相等，则它是等腰三角形。

姓 名： 【典型例题】

例1.已知?ABC中，那么?ABC一定是（ ） ?B与?C的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上， （A）直角三角形 （B）等边三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形

第12届（2001年）初二培训

例2.如图2，在?ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，它们相交于F点，是图中等腰三角形的个数是（ ）

第14届（2003年）初二培训

图2

例3.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）。

图1

（A）30° （B）30°或150° （C）120°或150° （D）30°或120°或150°

第10届（1999年）初二第

高考数学解三角形典型例题答案（一）

1 ．设锐角ABC ?的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;

(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.

【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ?为锐角三角形得π6

B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A

C A A π?

?+=+π-

- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???

1cos cos 2A A A =++

3A π??=+ ??

?. 2 ．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ．

(Ⅰ)求角B 的大小;

(Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ?的最大值是5,求k 的值.

【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ．

即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B

=sin(B +C )

第4课 全等三角形与相似三角形

◆考点分析

三角形的全等与相似是解决数学中图形问题的两个重要的工具，也是初中数学的重点内容，因此也是中考的重要考查内容。主要考查以下几方面的内容：1．会运用三角形全等、相似的性质与判定进行有关的计算和推理。2．能运用三角形全等与相似的知识解决相关的实际问题。3．能探索解决一些与三角形全等、相似有关的综合性题型。 ◆典型例题

例1（2006·金华市）如图，△ABC与△ABD中， AD与BC相交于O点，∠1=∠2,请你添加一个条件(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，使AC=BD,并给出证明.

你添加的条件是: ． 证明:

【解题分析】可以添加的条件有：AD＝BC； OC＝OD；∠C＝∠D；∠CAO＝∠DBC等. 以添加条件AD＝BC为例证明： ∵ AB=AB，∠1＝∠2，BC＝AD， ∴ △ABC≌△BAD． ∴ AC=BD．

【每题一得】条件或结论的探究性题型或者是组合命题型题型越来越多地出现在各地的中考题中，这样的题型体现了较高的灵活性和开放性，比较全面地考察了全等相关的知识。

【同类变式】（2006·贺州市）如图，AB，CD相交于E，现给出如下三个论断： ①?A??C；②AD?CB

等腰三角形典型例题练习

一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm， 则点D到AB的距离为（ ）

A5cm B3cm C2cm D不能确 ． ． ． ． 定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（ ） A0 ． B1 ． C2 ． D3 ．

6．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．

7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．

二．填空题（共1小题）