数学模型商人过河问题

14对商仆过河问题

题目

有14名商人各带一名仆人要过河，但船最多能载4人。商人已获得仆人的阴谋：在河的任意一岸，只要仆人数超过商人数，仆人会将商人杀死并窃取货物。安排如何乘船的权利权利在商人手上，试为商人制定一个安全的过河方案。

一．摘要

n对商仆过河，一只船最多载m人，船上和岸上的仆人数都不能多于商人数，否则商人有危险。安排合理的渡河方案，保证商人能安全渡河。（可利用向量，矩阵，图解等方法）。

二．问题提出：

有14对商仆乘船过河，一只船最多载4人，由商人和仆人自己划船渡河，在河的任意一岸，一旦仆人数多于商人数，仆人就可将商人杀死，谋取利益，但是乘船渡河的主动权掌握在商人们手中，商人们如何安排渡河方案，才能安全渡河？

三．问题分析

商仆安全渡河问题可以视为一个多步决策过程，多步决策是指决策过程难以一次完成，而是多步优化，最后获取一个全局最优方案的决策方法。对于每一步，即船由此岸驶向彼岸，或者船由彼岸驶向此岸的决策，不仅会影响到该过程的效果，而且还会影响到下一步的初始状态，从而对整个过程都会有影响。所以，在每一次过河时，就不能只从这一次过河本身考虑，还要把它看成是整个过河过程中的一个部分。在对船上的人员做决策时，要保证两岸的商人数不能少于仆

数学建模作业（四）——商人过河问题 一． 问题描述

有四名商人各带一名仆人过河，但船最多能载二人，商人已获得仆人的阴谋：在河的任一岸，只要仆人数超过商人数，仆人会将商人杀死并窃取财物且安排如何乘船的权力掌握在商人手中。试为商人制定一个安全过河的方案。

二．解决方案

用递归的源程序如下：

开始时商人，强盗所在的河的这边设为0状态，另一边设为1状态（也就是船开始时的一边设为0，当船驶到对岸是设为1状态，在这两个状态时，都必须符合条件）

#include

struct node /*建立一个类似栈的数据结构并且可以浏览每一个数据点*/ {

int x; int y; int state;

struct node *next; };

typedef struct node state; typedef state *link; link PPointer1=NULL; link PPointer2=NULL; int a1,b1; int a2,b2;

集训D试题

摘要

通过对该电力公司蓄水发电关系的分析，认为该题是将数学模型和数学中的线性代数理论知识相结合，形成一个优化模型，最终用LINGO软件求出结果。若利用该模型，电力公司必定有可观的经济效益。因此，该模型有实用的价值和意义。

关键字：最大发电能力、可观的经济效益、库存及流入水量

一、问题重述

某电力公司经营两座发电站，发电站分别位于两个水库上，位置如下图所示。

已知发电站A可以将水库A的1万m3的水转换为400千度电能，发电站B只能将水库B的1万m3的水转换为200千度电能。发电站A，B每个月的最大发电能力分别是60000千度,35000千度，每个月最多有50000千度电能够以200元/千度的价格售出，多余的电能只能够以140元/千度的价格售出。水库A，B的其他有关数据如下（单位：万立方米）

水库A

水库B

水库最大蓄水量

2000

1500

本月

水源流入水量

下月

200

40

130 15

水库最小蓄水量 1200 800

水库目前蓄水量 1900 850

请你为该电力公司制定本月和下月的生产经营计划。（千度是非国际单位制单位，1千度 =10 千瓦时）

3

二、问题分析

在现有条件的制约下，要实现该电力公司本月和下月的营业额最大，即本月和下月发电量在小于等于50000千度

电力生产问题数学模型

摘要

本文研究电力生产问题中的最优化电力资源配置，属于求解优化电力配置下的最小成本问题。由于电力生产有非线性、多变量等特点，所以我们基于在每一时间段非线性局部最优的前提下，建立整体的单目标多变量的非线性最优化模型 。

因此对于研究的课题，我们建立了一个有约束条件的目标函数的最优化模型来求解。在该模型的基础上我们建立起解决问题所需模型。

解决问题(1)时，我们运用LINGO工具求解所建立的数学模型，得到每个时段的台数和成本如下表：(详细数据见) 型 号 时 段 时段1 0 0 ? 0 0 时段2 2 1750 ? 3 2166.6 时段3 0 750 ? 3 1800 时段4 2 1750 ? 3 3500 时段5 0 1000 ? 3 1800 时段6 1 1300 ? 3 1800 时段7 0 750 ? 3 0 总成本/元 型号1 ? 型号4 1439270 解决问题(2)时，我们从节约能源和成本的前提出发，让在工作的每一台发电机保留出20%的发电能力，而不是让其发出多于需求电量的20%白白浪费，因此我们将“每个时段的电力需求”这个约束条件由问题（1）中的mj?Pij?Dj改为

mj?Pij?Dj?0.8。

电力生产问题数学模型

摘要

本文研究电力生产问题中的最优化电力资源配置，属于求解优化电力配置下的最小成本问题。由于电力生产有非线性、多变量等特点，所以我们基于在每一时间段非线性局部最优的前提下，建立整体的单目标多变量的非线性最优化模型 。

因此对于研究的课题，我们建立了一个有约束条件的目标函数的最优化模型来求解。在该模型的基础上我们建立起解决问题所需模型。

解决问题(1)时，我们运用LINGO工具求解所建立的数学模型，得到每个时段的台数和成本如下表：(详细数据见) 型 号 时 段 时段1 0 0 ? 0 0 时段2 2 1750 ? 3 2166.6 时段3 0 750 ? 3 1800 时段4 2 1750 ? 3 3500 时段5 0 1000 ? 3 1800 时段6 1 1300 ? 3 1800 时段7 0 750 ? 3 0 总成本/元 型号1 ? 型号4 1439270 解决问题(2)时，我们从节约能源和成本的前提出发，让在工作的每一台发电机保留出20%的发电能力，而不是让其发出多于需求电量的20%白白浪费，因此我们将“每个时段的电力需求”这个约束条件由问题（1）中的mj?Pij?Dj改为

mj?Pij?Dj?0.8。

抑制房地产泡沫问题的模型设计

摘要: 本文讨论了影响房地产价格的主要因素，找出了价格和其主要因素之间近似成线性关系，从而建立表示房地产价格的数学模型——多元线性回归模型，并对模型进行了全方面的论述，得出求解其中各个参数的方法，并最终求出房地产价格。建模过程中，首先用科学分析的方法，确定主要因素并对其作数学抽象，再针对各因素综合运用多种数学方法进行分析求解。第一，用概率论与数理统计的方法找出价格和各个因素之间的近似线性关系，确定模型；第二，用最小二乘法求解模型中的参数；第三，用回归分析确定模型精度及检验，从而得出一个完整的数学模型；第四，通过该模型深入分析了影响房地产价格主要因素，提出了一些政策建议，把高的开发成本降下来，同时调整供给结构。第五，根据模型及建议进行合理的预测，最后分析模型的优缺点并提出了改进方向。 一 问题重述

所谓房地产泡沫直的是商品房售价远远超过起实际的价值。近几年来，我国各大城市房价出现了普遍的持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅度增加，导致许多低收入人群买房难，目前我国城镇居民的人均居住面积只有发达国家的一半左右，甚至低于不少发展中国家，居民不是没有住房需求，而是现有的货币支付能力无法使其去实现购房的愿望

减肥问题的数学模型

李剑飞 陈永福 周全中

摘要：在我们日常生活中，肥胖问题日益突出。肥胖不仅影响身体的灵敏度，

而且容易引起各种心脑血管疾病。那么，怎样才能达到减肥的目的？根据所学知识，当人体能量消耗大于摄入时，体内脂肪将燃烧提供能量以满足人体所需。在这个模型中，我们分析了能量的三个来源：碳水化合物、蛋白质、脂肪，并通过网上查询得到了有关能量消耗的基本资料：

4E=1.1×Q?W（1+?kj?j）,即能量 的消耗有基础代谢消耗和体力活动

j?1消耗两种方向；最后我们得出了体重的变化公式

34i???m?i?1mi?1.1Qw(1??kj?1jwj)?3为检验模型的适用性，我们还充分根

据网上资料，合理取值，得出了与实际基本相符的数据：

对一体重为W=65kg 的男性，若其参加各种活动所占的比例为

?1=0.4，?2?0.3，?3?0.2，?4=0.1

摄入各种物质的质量为 m1=0.15kg，m2=0.2kg，m3=0.15kg 则 此人每日长胖0.099kg

对一体重为45kg的女性，设其每日摄入物质为m1=0.15kg m2=0.002kg m3=0.002kg，每日的活动比例为0.05

容器设计问题的数学模型

【摘要】本模型讨论的是容器的设计问题。生活中容器处处可见，花瓶、水瓶等等，比比皆是。一个容器的设计也是一门学问。对于一名生产者来说，其目标是“唯利是图”。关键在于：怎样在容器体积一定的情况下生产表面积最小的产品。这样子才能最省原材料，降低生产成本，带来更大的净利润。于生产来说，其考虑的并非只有省材料一个因素，还会考虑诸如容器外观等问题。本论文将抓住核心问题，仅从省材料的角度探讨容器设计问题。模型将会探讨试题中的三个问题，从一些相对理想的模型中探讨一种统一的方法解决问题。用到的知识为构造拉格朗日函数求极值，并用软件matlab7.0进行处理求解。

1、问题重述

（1） 要设计一个上无盖的圆锥台形状的容器，上半径为R，下半径为r

求容积为一正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的两个比值r/R、h/R的精确值（用整数的有限四则及根式运算的最简形式表示）及他们精确到20位有效数字的近似值。

（2） 要设计一个上无盖的容器，由一个半径为R高为H的圆柱放在一个圆锥台上组成

的。圆锥台的上半径为R，下半径为r

（3） 要设计一个上无盖的容器，是一个高为H，上半径为L

电力生产问题的数学模型

摘 要

电力生产问题模型是基于对现有发电产能与每日用电需求的分析，通过制定合理的生产计划，来探讨如何有效降低生产成本。由于电力生产问题中涉及发电机可用数量、输出功率、生产成本与电能安全余量等因素，本文利用数学知识联系电力生产实际问题建立了模型，充分考虑当日与次日24小时生产的连续性，从循环生产的角度出发，寻求最优电力生产计划。

对于问题一，本文通过建立数学成本控制模型，列出了生产总成本构成要素：发电机启动成本、固定成本与边际成本，确定了每日总成本最小的目标函数。出于实际长远生产考虑，给定了系列约束条件：在保证每日电力输出充分满足需求下，我们将正在工作的发电机实际使用数量限制为整数且不大于可用数量，实际输出功率介于该发电机最大最小输出功率之间，并加入了当日日末时段与次日日初时段电力生产内部关联等约束条件。在建立了线性规划方程组基础上，使用LINGO软件计算出系列参数值与目标函数值，进而得到成本最小的最优生产方案，模型求解得到的总成本最小值为：1448700元。

对于问题二，鉴于市场实际每日用电需求的变化，应充分考虑到需要随时备足电能安全余量以应对用电量可能出现突然上升的情况，将正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力

第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题

1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。

minz?2x1?2x2?4x3?x1?3x2?4x3?2? (1)?2x1?x2?3x3?3??x1?4x2?3x3?5??x1,x2?0,x3无约束minz???cijxiji?1j?1mnmaxz?5x1?6x2?3x3?x1?2x2?2x3?5? (2) ??x1?5x2?x3?3

??4x1?7x2?3x3?8??x1无约束,x2?0,x3?0minz??cjxjj?1n?n?naijxj?bi(i?1,?,m1?m)(3)??xij?ai(i?1,?,m) (4)?? j?1j?1?????n?m??aijxj?bi(i?m1?1,m2?2,?,m)??xij?bj(j?1,?,n)?j?1?i?1?x?0无约束(j?1,?,n,?,n)?xij?0(i?1,?,m;j?1,?,n)1?j?????2. 判断下列说法是否正确，为什么?

(1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； ( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题