高数第五章

第五章 定积分的应用

在本章中，我们将利用学过的定积分理论来解决一些实际问题.首先介绍建立定积分数学模型的方法——微分元素法；再利用这一方法求一些几何量(如面积、体积、弧长等)和一些物理量(如功、液体静压力、引力等)；并介绍定积分在经济学中的简单应用.

第一节 微分元素法

实际问题中，哪些量可用定积分计算？如何建立这些量的定积分表达式？本节中我们将回答这两个问题.由定积分定义知，若f在区间?（x）?a,b??上可积，则对于??a,b??的任一划分：

a?x0＜x1＜?＜xn?b，及??xi?1,xi??中任意点ξi,有

n?baf(x)dx?limλ?0?i?1f(ξi)Δxi，

(5?1?1)

这里Δxi?xi?xi?1?i?1,2,?,n?,λ?max?Δxi?. (5?1?1)式表明定积分的本质是一类特定和式

1?i?n的极限，此极限值与?只与区间?有关.基于此，（x）?a,b??的分法及点ξi的取法无关，?a,b??及函数f我们可以将一些实际问题中有关量的计算归结为定积分来计算.例如，曲边梯形的面积、变速直线运动的位移等均可用定积分来表达.由上一章中分析曲边梯形面积用定积分来表示的过程，

《高等应用数学实训教程》

- 1 - 第五章 空间解析几何

一、学习要点：

1.理解空间向量的有关概念，掌握空间向量的坐标表示，单位向量，方向余弦；

2.熟练掌握空间向量的线性运算，数量积、向量积的坐标运算法；

3.熟练掌握空间向量平行、垂直的充要条件及判定；

4.掌握平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程；

5.知道空间一点到平面的距离公式；

6.掌握直线的对称式、参数式、一般式方程及其求方程的方法

7.会判定直线和平面的位置关系(垂直、平行、直线在平面上)；

8.了解母线平行于坐标轴的柱面，旋转抛物面，圆锥面，椭球面方程及图形.

二、相关知识总结：

1.空间直角坐标系的建立及其空间点的直角坐标.

2.空间直角坐标系中任意两点11112222(,,),(,,)p x y z p x y z 间的距离公式： 21221221221)()()(z z y y x x p p d -+-+-==.

3.空间向量的有关概念及向量的坐标表示.

4.空间向量的线性运算及利用坐标进行向量的线性运算.

5.空间向量模的坐标表示：

设向量{,,}x y z a a a a =，其模2x a a =+

向量a 的单位向量：0{cos ,cos ,cos }a i a j a k a αβγ

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第 五 章 定 积 分

1．证明定积分性质：证：k?kf(x)dx?k?ani?1bbaf(x)dx （k是常数）.

nb?baf(x)?klim?f(?)?xi?lim?kf(?)?xi??kf(x)

??0??0i?1a2．估计下列积分值：（1）

??5?4(1?sin2x)dx

?2,x2??,

4解：令f(x)?1?sin2x，则f‘(x)?2sinxcosx?sin2x?0 得驻点：x1? 由f()?2,?2f(?)?1,5?4?3f()?,42?3f()?， 得 minf(x)?1,maxf(x)?2， 42由性质，得

????f(x)dx?2?

4（2）

?333xarctanxdx

解：令f(x)?xarctanx，f‘(x)?arctanx?x3，所以在f(x)?0[，3]上单调增加， 21?x3?minf(x)??63,maxf(x)?33?333， ?，?（3?）??3xarctanxdx??（3?）3333633 即

?32??3xarc

复变函数

复变函数与积分变换

复变函数

参考用书《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 2003.6 高等教育出版社, 高等教育出版社, 高等教育出版

《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 社 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 1996.5

高等教育出版社, 高等教育出版社,

2012-2-1

复变函数

目 录第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章2012-2-1

复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分 解析函数的级数表示 留数及其应用 傅立叶变换 拉普拉斯变换3

复变函数

第五章

留数及其应用

本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定 理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并 且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重 要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物， 为此先对解析函数的孤立奇点进行分类

2012-2-1

复变函数

第五章5.2 留数

留数及其应用

5.1 孤立奇点 5.3 留数在定积分计算中的应用 本章小结 思考题

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复变函数

第一节一、奇点的分类

复变函数

复变函数与积分变换

复变函数

参考用书《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 2003.6 高等教育出版社, 高等教育出版社, 高等教育出版

《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 社 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 1996.5

高等教育出版社, 高等教育出版社,

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复变函数

目 录第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章2012-2-1

复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分 解析函数的级数表示 留数及其应用 傅立叶变换 拉普拉斯变换3

复变函数

第五章

留数及其应用

本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定 理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并 且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重 要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物， 为此先对解析函数的孤立奇点进行分类

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复变函数

第五章5.2 留数

留数及其应用

5.1 孤立奇点 5.3 留数在定积分计算中的应用 本章小结 思考题

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复变函数

第一节一、奇点的分类

自我检查题

5.1 时序电路和组合电路的根本区别是什么？同步时序电路与异步时序电路有何不同？

解答：从功能上看，时序电路任何时刻的稳态输出不仅和该时刻的输入相关，而且还决定于该时刻电路的状态，从电路结构上讲，时序电路一定含有记忆和表示电路状态的存储器。而组合电路任何时刻的稳态输出只决定于该时刻各个输入信号的取值，由常用门电路组成则是其电路结构的特点。

在同步时序电路中，各个触发器的时钟信号是相同的，都是输入CP脉冲，异步时序电路则不同，其中有的触发器的时钟信号是输入cp脉冲，有的则是其他触发器的输出，前者触发器的状态更新时同步的，后者触发器状态更新有先有后，是异步的。 5.2 画出图T5.2所示电路的状态和时序图，并简述其功能。

FF01JQ0FF11JQ1FF2&1JQ2YC11KC1C1cpQ01KQ11KQ2图T5.2解:

（1）写方程式 驱动方程 J0?K0?Q2n

n J1?K1?Q0nn， K2?Q2 J2?Q1nQ0

输出方程：Y?Q2 （2） 求状态方程

n?1nnnnQ0?J0Q0n?K0Q0?Q2nQ0n?Q2nQ0?Q2nQ0n?Q2Q0 nnQ1n?1?J1Q1n?K1Q1n?Q0Q1n?Q0nQ1n?Q1

第五章 数与代数的教学 一、 数的认识基础理论 （一）自然数

1、 自然数在现代数学中的定义与在小学数学课本中的说明有什么不同？0是自然数吗？0是一位数吗？

2、自然数列有哪些基本性质？

3、“自然数”和“整数”、“基数”和“序数”各有什么不同？

4、数和数字的区别和

联系是什么？说“43”是数而不是数字对吗？

5、“数的命名”和“读写法则”是什么关系？

6、“计数”、“记数”、“数数”、“写数”、“读数”各指什么？

7、“十进制”和“二进制”的相同点和不同点有哪些？

相同点：按照位置制原则计数。

不同点：底数不同，所用数字个数不同，计数

单位不同

8、自然数概念的教学,现行教材一般分为哪几个阶段循序渐进地教学？

（二）整数

1、 自然数、正整数和整数之间的区别和联系是什么？

2、 “整除”在小学数学中的解释和在数论中的定义有什么不同？

3、“整除”和“除尽”有什么区别和联系？

4、“倍”和“倍数”

有什么区别和联系？

5、 为什么1既不是质数、也不是合数？

6、 为什么说：“偶数都是合数”、“质数都是奇数”都是错误的？

（三）分数与小数 1、怎样认识“小数”与“分数”的关系？

2、“分数单位”和“单位分数”、“最简分数”和“即约分数”有没有区别？

第五章 沉淀滴定法

§5.1 概述

沉淀滴定法：是以沉淀反应为基础的滴定分析法

沉淀反应应满足下述条件： （1）沉淀溶解度小,且组成恒定 （2）反应速率要快

（3）沉淀的吸附不妨碍化学计量点的确定 （4）有适当的方法确定计量点

5.2 沉淀溶解平衡与影响溶解度的因素 一、沉淀溶解平衡

1、溶解度和固有溶解度

当水中存在难溶化合物MA时，则MA将有部分溶解，当其达到饱和状态时，即建立如下平衡关系：

MA(s) MA（aq） M+(aq) +A-(aq)

上式表明，固体MA溶解的部分，以M+、A-状态和MA分子状态存在。 根据 MA(S) MA（aq） 平衡 K1=aMA（aq）/aMA（S）

由于aMA（S）=1，且中性分子的活度系数近似为1， 则 aMA（aq）=[MA]（aq）=K1=So

So 称为物质的分子溶解度或固有溶解度。 当溶解达到平衡时，则MA的溶解度S等于： S＝So+

第五章 沉淀滴定法

§5.1 概述

沉淀滴定法：是以沉淀反应为基础的滴定分析法

沉淀反应应满足下述条件： （1）沉淀溶解度小,且组成恒定 （2）反应速率要快

（3）沉淀的吸附不妨碍化学计量点的确定 （4）有适当的方法确定计量点

5.2 沉淀溶解平衡与影响溶解度的因素 一、沉淀溶解平衡

1、溶解度和固有溶解度

当水中存在难溶化合物MA时，则MA将有部分溶解，当其达到饱和状态时，即建立如下平衡关系：

MA(s) MA（aq） M+(aq) +A-(aq)

上式表明，固体MA溶解的部分，以M+、A-状态和MA分子状态存在。 根据 MA(S) MA（aq） 平衡 K1=aMA（aq）/aMA（S）

由于aMA（S）=1，且中性分子的活度系数近似为1， 则 aMA（aq）=[MA]（aq）=K1=So

So 称为物质的分子溶解度或固有溶解度。 当溶解达到平衡时，则MA的溶解度S等于： S＝So+

1 单选(2分)

关于计算机程序，下列叙述正确的是（ ）。 A.只有可执行程序（.exe）才能在计算机中运行。

B.计算机程序是用自然语言书写的关于问题求解的方法和步骤的描述。

C.计算机程序编程人员利用某种计算机程设计语言，根据用户业务需求来编写完成，从概念上讲，计算机程序有数据和代码两部分。 D.用高级程序设计语言书写的程序都可以直接在计算机中运行。 E.从本质上讲，计算机程序是在计算机中运行的指令序列。 正确答案： C、E 2单选(2分)

世界上第一个计算机高级程序设计语言是（ ）。 A.Pascal B.ALGOL C.C D.FORTRAN E.Basic

正确答案： D 你选对了 3 单选(2分)

与计算机硬件系统紧密相关的程序设计语言是（ ）。 A.符号语言 B.脚本语言 C.汇编语言 D.机器语言 E.高级语言

正确答案： D 你选对了 4 单选(2分)

关于计算机软件开发，下列叙述正确的是（ ）。 A.软件开发就是编写程序。

B.软件开发中的生命周期和原型法不能混合使用。

C.软件开发包括几个典型的阶段，包括：需求分析，系统设计，系统实施，系统测试，运行和维护等。 D.软件开发