离散傅里叶变换中的k的含义

离散傅里叶变换的物理含义

(2013-02-07 08:48:12) 转载标签：

离散傅里叶变换的物理

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不知道为什么，我们的教科书总是不把读者最希望了解的东西告诉他们。这里可能有专业与非专业的区别。浸淫多年的专家认为必须让读者理解的东西其实读者并不关心，读者想要知道的简单答案课本上就是不说。

以离散傅里叶变换为例，许多书都会从用一系列正弦波逼近方波开始，好的，这我们都好理解，但是从此以后大堆的公式就开始上场了，以及卷积呀，皱褶呀，截断呀，延拓呀，中间经历了傅里叶变换，拉普拉斯变换，以及Z变换，时间域从连续到离散，频域从离散到连续，最终在离散傅里叶变换里时域和频域都离散了，这时频域里的幅值与相位和我们的原始信号有何联系，物理含义是什么，现在没人说了。

其实作为一个普通的，数学不怎么样的工程师，真的不关心离散傅里叶变换背后的数学原理，但是我们现在的教科书往往是告诉了他，这确实是极有用的工具，却不告诉他如何简单有效地使用它。

我在网上搜索答案，发现许多作答的人其实自己也不了解。直到找到一篇说得比较明白，但是在我读它的时候，早把网页关了，也不知应向谁致谢和致敬。下面举的例子，就基于那篇文章，有的部分是原文，在此基础上改写。

实验报告

课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 成绩：__________________

实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名：

第二次实验 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换

一、实验目的

1.1掌握离散傅里叶变换（DFT）的原理和实现；

1.2掌握快速傅里叶变换（FFT）的原理和实现，掌握用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 1.3 会用Matlab软件进行以上练习。

二、实验原理

2.1关于DFT的相关知识

序列x(n)的离散事件傅里叶变换（DTFT）表示为

X(e)?装 j?n????x(n)e??j?n，

如果x(n)为因果有限长序列，n=0,1,...,N-1，则x(n)的DTFT表示为

订 j?X(e)??x(n)e?j?n，

n?0N?1线 x(n)的离散傅里叶变换（DFT）表达式为

X(k)??x(n)en?0N?1?j2?nkN(k?0,1,...,N?1)，

序列的N点DFT是序列DTFT在频率区间[0,2π]上的N点灯间隔采样，采样间隔为2π/N。通过DFT，可以完成由一组有限个信号采样值

实验报告

课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 成绩：__________________

实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名：

第二次实验 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换

一、实验目的

1.1掌握离散傅里叶变换（DFT）的原理和实现；

1.2掌握快速傅里叶变换（FFT）的原理和实现，掌握用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 1.3 会用Matlab软件进行以上练习。

二、实验原理

2.1关于DFT的相关知识

序列x(n)的离散事件傅里叶变换（DTFT）表示为

X(e)?装 j?n????x(n)e??j?n，

如果x(n)为因果有限长序列，n=0,1,...,N-1，则x(n)的DTFT表示为

订 j?X(e)??x(n)e?j?n，

n?0N?1线 x(n)的离散傅里叶变换（DFT）表达式为

X(k)??x(n)en?0N?1?j2?nkN(k?0,1,...,N?1)，

序列的N点DFT是序列DTFT在频率区间[0,2π]上的N点灯间隔采样，采样间隔为2π/N。通过DFT，可以完成由一组有限个信号采样值

应用MATLAB对信号进行频谱分析及滤波

设计目的

要求学生会用MATLAB语言进行编程，绘出所求波形，并且运用FFT求对连续信号进行分析。

一、设计要求

1、用Matlab产生正弦波，矩形波，并显示各自的时域波形图；

2、进行FFT变换，显示各自频谱图，其中采样率、频率、数据长度自选，要求注明；

3、绘制三种信号的均方根图谱；

4、用IFFT回复信号，并显示恢复的正弦信号时域波形图。 二、系统原理

用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行频谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现频率分辨率是2π/N。

x(n)是一个长度为M的有限长序列，则x(n)的N点离散傅立叶变换为：

N?1kn?x(n)WNWn?0X(k)=DFT[x(n)]=,k=0,1,...,N-1

1N?12?N?jN?e

逆变换：x(n) =IDFT[X(k)]=

Nn?0?X(k)WN?kn,k=0,1,...,N-1

但FFT是一种比DFT更加快速的一种算法，提高了DFT的运算速率,为数字信号处理技术应用于各种信号处理创造了条件，大大提高了数字信号处理技术的发展。本实验就是采用FFT，IFF

应用MATLAB对信号进行频谱分析及滤波

设计目的

要求学生会用MATLAB语言进行编程，绘出所求波形，并且运用FFT求对连续信号进行分析。

一、设计要求

1、用Matlab产生正弦波，矩形波，并显示各自的时域波形图；

2、进行FFT变换，显示各自频谱图，其中采样率、频率、数据长度自选，要求注明；

3、绘制三种信号的均方根图谱；

4、用IFFT回复信号，并显示恢复的正弦信号时域波形图。 二、系统原理

用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行频谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现频率分辨率是2π/N。

x(n)是一个长度为M的有限长序列，则x(n)的N点离散傅立叶变换为：

N?1kn?x(n)WNWn?0X(k)=DFT[x(n)]=,k=0,1,...,N-1

1N?12?N?jN?e

逆变换：x(n) =IDFT[X(k)]=

Nn?0?X(k)WN?kn,k=0,1,...,N-1

但FFT是一种比DFT更加快速的一种算法，提高了DFT的运算速率,为数字信号处理技术应用于各种信号处理创造了条件，大大提高了数字信号处理技术的发展。本实验就是采用FFT，IFF

XXXX大学

2012届学士学位论文

离散傅里叶变换的分析与研究

学院、专业 物理与电子信息学院

电子信息工程

研 究 方 向 数字信号处理 学 生 姓 名 XX 学 号 XXXXXXXXXXX

指导教师姓名 XXX 指导教师职称 讲师

2012年4月26日

淮北师范大学2012届学士毕业论文 离散傅里叶变换的分析与研究

离散傅里叶变换的分析与研究

XX

淮北师范大学物理与电子信息学院 235000

摘要 离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，是对连续时间信号频谱分析

XXXX大学

2012届学士学位论文

离散傅里叶变换的分析与研究

学院、专业 物理与电子信息学院

电子信息工程

研 究 方 向 数字信号处理 学 生 姓 名 XX 学 号 XXXXXXXXXXX

指导教师姓名 XXX 指导教师职称 讲师

2012年4月26日

淮北师范大学2012届学士毕业论文 离散傅里叶变换的分析与研究

离散傅里叶变换的分析与研究

XX

淮北师范大学物理与电子信息学院 235000

摘要 离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，是对连续时间信号频谱分析

实验四离散时间信号的傅里叶变换

1. 实验目的

（1）理解离散序列傅里叶变换的原理和方法。 （2）掌握快速傅里叶变换的原理和方法。 2. 实验原理

（1） 离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）

在MATLAB中，离散傅里叶正变换采用fft( )函数，离散傅里叶逆变换采用ifft( )函数。 调用格式为：

Xk=fft(x) 表示计算信号x的快速傅里叶变换Xk。 Xk=fft(x,N) 表示计算信号x的N点快速傅里叶变换。 xn=ifft(Xk)表示计算Xk的快速傅里叶逆变换xn。

Xn=ifft(Xk,N) 表示计算Xk的N点快速傅里叶逆变换xn。 另外，MATLAB中使用fftshift（）函数来移动零频点到频谱中间，重新排列fft( )的输出结果，便于观察傅里叶变换。其调用格式为： X=fftshift(Xk)

（2） 离散时间系统的频率特性

在用MATLAB计算系统的频率响应时，可调用freqz( )函数进行求解，其调用格式为： H=freqz(b,a,w)

其中b为系统函数中分子多项式的系数向量，a为分母多项式的系数向量，w为角频率向量，向量H则返回在w所定义的频率点上系统函数的值。该函数还有其他调用形式 [

实验二 离散傅里叶变换DFT

一、实验目的

(1)学习编制离散傅里叶变换程序。

(2)学会用计算机模拟时间抽样和重构信号。 (3)用离散傅里叶变换程序分析时间抽样信号。 (4)进行N＝64点的DFT分析

二、实验内容

(1)编制计算离散博里叶变换程序。

(2)根据实序列离散博里叶变换的对称性，初步判定程序的正确性。

(3)选定某时间信号进行N＝64点离散博里叶变换，详细记录计算时间和分析结果

(4)分析正弦抽样序列，详细记录结果。

三、实验说明

(1)根据离散傅里叶变换公式

kn X(k)??x(n)WNn?0N?1及其反变换公式

?kn x(n)??X(k)WNn?0N?1编制相应的计算程序。

计算离散傅里叶变换的参考程序如下：

function [xk]=dft(xn,N) n=[0:1:N-1]; k=[0:1:N-1];

WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n'*k;

WNnk=WN.^nk; xk=xn*WNnk;

例如计算N=12点δ(n)的离散傅里叶变换

>>x=[1,zeros(1,11)]

x =1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >>N=12 N=12

>>

数字信号处理实验

实验二离散时间傅里叶变换

一、实验目的

理解数值计算在离散时间傅里叶变换（DTFT）中的作用。

二、实验原理

经由正、逆离散时间傅里叶变换表达的信号傅里叶表示式是信号分析的一个关键部分。下面方程分别是分析方程与综合方程：

X(e)

j

n

x[n]e

j n

(3.9)

x[n]

12

X(ej )ej nd

(3.10)

类似的，当LTI系统用于滤波的时候，作为冲激响应离散时间傅里叶变换的频率响应，提供了LTI系统简洁的描述。离散时间傅里叶变换X(e)是 的周期复值函数，周期总是

j

2 ，并且基周期通常选在区间[ , )上。

应用MATLAB时需注意： 1、DTFT的定义对无限长信号有效，但当能从变换定义式推导出解析式并只是计算它时，则可以使用MATLAB计算；

2、MATLAB擅长在有线网格点上计算DTFT，通常在[ , )上选择一组均匀隔开的频率，或者对共轭对称变换选择[0, ]区间，这样(3.9)式变为

j k

j2 k/N

X(e) X(e

) x[n]e j(2 k/N)n,k 0,1, N 1

n 0

L 1

(3.11)

DTFT的周期性意味着在 0区间上的数值是对那些k N/2的数值。因为上式是在有限数量的频率点 k 2