含参数的线性规划问题解法

“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5,进入了高考试题,并且保持了较大的考察比例,几乎是每年高考的必考内容,也是高中数学教学的一个难点。

简单线性规划问题的几种简单解法

依不拉音。司马义（吐鲁番市三堡中学，838009）

“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5，进入了高考试题，并且保持了较大的考察比例，几乎是每年高考的必考内容，也是高中数学教学的一个难点。

简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。简单线性规划问题的标准型为：

A1x B1y C1 0( 0) A2x B2y C2 0( 0)约束条件 ,(m N ),目标函数 z Ax By，

Amx Bmy Cm 0( 0)

下面介绍简单线性规划问题的几种简单解法。

1. 图解法

第一步、画出约束条件表示的可行区域，这里有两种画可行区域的方法。

⑴代点法：直线Ax+By+C=0（c不为0）的某侧任取一点，把它的坐标代入不等式，若不等式成立，则不等式表示的区域在该点的那一侧；若不成立，则在另一侧。

⑵B判别法：若Ｂ＞0（＜０），则不等式Ax+By+C＞0（＜０）表示的区域在直

线Ax+By+C＝0的上方；若Ｂ＞０（＜０），则不等式Ax+By+C＜０(＞0)表示的区域在直线Ax+B

简单线性规划解法要略

线性规划是解决现实生产、生活中,在有限的人力、物力、财力等情况下,获得最大利润、最节约资源等最优问题的一种方法,所以它有着广泛的应用性;另外,线性规划是联系几何知识和代数知识的交汇点，是数形结合思想的集中体现.二元一次不等式表示的平面区域,充分体现了方程和不等式的相互联系；是高中数学的重要内容.近几年全国各地高考题中,几乎每份试卷都有对这部分内容的考查.本文结合典型试题进行分类解析，希望能对同学们有所启发和帮助. 一﹑解线性规划问题的步骤：

①寻找线性约束条件，线性目标函数；

②作图，由二元一次不等式组表示的平面区域作出可行域； ③理解目标函数：（1）直线形；（2）距离型；（3）斜率型. 结合目标函数，求出最优解； ④检验，考虑实际意义。

二﹑二元一次不等式表示的平面区域：

1.在平面直角坐标系中，设有直线Ax+By+C=0（B不为0）及点

P(x0,y0)，(1)若B>0，Ax+By+C>0，则点P在直线的上方，此时

不等式 Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的上方的区域； (2)若B>0，Ax+By+C<0，则点P在直线的下方，此时不等式

Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的下方的区域；

(3) 若B<0, 我们都把Ax+By+C>0（或＜0）中y项的系数B化为正值.

2.直线方程有时候是斜截式给出的,

简单线性规划解法要略

线性规划是解决现实生产、生活中,在有限的人力、物力、财力等情况下,获得最大利润、最节约资源等最优问题的一种方法,所以它有着广泛的应用性;另外,线性规划是联系几何知识和代数知识的交汇点，是数形结合思想的集中体现.二元一次不等式表示的平面区域,充分体现了方程和不等式的相互联系；是高中数学的重要内容.近几年全国各地高考题中,几乎每份试卷都有对这部分内容的考查.本文结合典型试题进行分类解析，希望能对同学们有所启发和帮助. 一﹑解线性规划问题的步骤：

①寻找线性约束条件，线性目标函数；

②作图，由二元一次不等式组表示的平面区域作出可行域； ③理解目标函数：（1）直线形；（2）距离型；（3）斜率型. 结合目标函数，求出最优解； ④检验，考虑实际意义。

二﹑二元一次不等式表示的平面区域：

1.在平面直角坐标系中，设有直线Ax+By+C=0（B不为0）及点

P(x0,y0)，(1)若B>0，Ax+By+C>0，则点P在直线的上方，此时

不等式 Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的上方的区域； (2)若B>0，Ax+By+C<0，则点P在直线的下方，此时不等式

Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的下方的区域；

(3) 若B<0, 我们都把Ax+By+C>0（或＜0）中y项的系数B化为正值.

2.直线方程有时候是斜截式给出的,

线性规划常见题型及解法

由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下几种常见题型。

一、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

?x?0例、在约束条件?下，当3?s?5时，目标函数 ?y?0??y?x?s??y?2x?4z?3x?2y的最大值的变化范围是（）

A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解析：画出可行域如图3所示,当3?s?4时, 目标函数

z?3x?2y在B(4?s,2s?4)处取得最大值, 即zmax?3(4?s)?2(2s?4)?s?4?[7,8);当4?s?5时, 目标函数 z?3x?2yC

zmaxE(0,处取得最大值,即

?3?0?2?4?8,故z?[7,8],从而选D;

在点

点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函 关系是求解的关键。

二、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

?1?x?y?4。若目标函数

??2?x?y?2a?0）仅在点(3,1处)取得最大值，则a的取值范围解析：如图5作出可行域，由z?ax?y?y??ax?z其

线性规划的图解法与单纯形解法

线性规划的图解法与单纯形解法

线性规划单纯形求解的大M法 线性规划单纯形求解的两阶段法

线性规划求解的大M法 为了使加入人工变量后线性规划问题的最优目

标函数值不受影响，我们赋予人工变量一个很 大的负价值系数-M (M为任意大的正数)。 由于人工变量对目标函数有很大的负影响，单

纯形法的寻优机制会自动将人工变量赶到基外， 从而找到原问题的一个可行基。 这种方法我们通常称其为大M法。3

线性规划求解的大M法max z=c1 x1+ c2 x2+…+ cn xn - M (xn+1+…+ xn+m) a11 x1+ a12 x2+…+ a1nxn+ xn+1 = b1 a21 x1+ a22 x2+…+ a2nxn + xn+2= b2 … … am1 x1+ am2 x2+…+ amnxn+ xn+m = bm x1, x2,…, xn , xn+1…, xn+m≥0

线性规划求解的大M法举例【例2.12】用大M法解 下列线性规划

max Z 3 x1 2 x2 x3 4 x1 3 x2 x3 4 x x 2 x 10 1 2 3 2 x1 2 x2

简单的线性规划问题（1）

三维目标

知识与能力：了解线性规划的常用术语、掌握确定二元一次不等式所表示的平面区域得方法

过程与方法：通过实例介绍线性规划的常用术语，利用二元一次方程将平面分成两部分进而确定二

元一次不等式所能表示的平面区域

情感态度与价值观：通过学习，激发学生探索欲望、热爱数学学习的激情，引导正确的价值观、人

生观，使学生不断建立信心，成为自主学习的真正主体。

教学过程： 一．创设情景

我们先考察生产中的遇到的一个问题：

某工厂生产甲、乙两种产品，生产1吨甲种产品需要A种原料4吨、B种原料12吨，产生的利润为2万元；生产1吨乙种产品需要A种原料1吨、B种原料9吨，产生的利润为1万元。现在库存A种原料10吨、B种原料60吨，如何安排生产才能使利润最大？ 为理解题意，可将已知数据整理成下表： 甲种产品（1吨） 乙种产品（1吨） 现在库存（吨） A种原料（吨） B种原料（吨） 4 12 1 9 10 60 利润（万元） 2 1 设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别为x,y，利润为P（万元）。根据题意，A,B两种原料分别不得超过10吨和60吨，又常量不可能是负数，于是可得二元一次不等

3.3.2简单的线性规划问题的教学设计

一、教材分析：

本节是新教材（人教A版）必修5：3.3.2简单的线性规划问题（第一课时）的内容：在学习了利用不等关系描述客观世界、二元一次不等式（组）与平面区域的对应关系两节内容后，又补充了直线的斜率和倾斜角的基础上来学习本节的线性规划问题。经过前两节的铺垫，本节课学生将学习以下几点：

（1）正确构造线性约束条件、线性目标函数； （2）明确线性目标函数的几何意义； （3）利用图解法求线性目标函数的最值问题。

二、学情分析：

本节课之前学生通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。从数学知识上看，本节线性规划求最优问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，如果不在前面打好基础，就会增加本节课学习的难度。学生没有学习直线方程的斜截式，如果本节涉及截距的话，怕学生理解不到位，所以，我选择避开截距，而继续用初中学生比较熟悉的与y轴交点的纵坐标来说明。从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还不熟练，这成了学生学习的困难。

三、教学目标：

知识和技能：

（1）了解线性规划的意义以及线性约束条件、线

阜宁县第一高级中学高二复习教案（一）

不等式的解法及应用、线性规划

姓名 班级 学号

教学内容：

不等式解法及应用；线性规划

教学重点：

不等式解法及应用；线性规划

一. 基本知识回顾 1. 不等式的解法

解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。

高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。

同解不等式（1）f(x)?g(x)与f(x)?F(x)?g(x)?F(x)同解； （2）m?0，f(x)?g(x)与mf(x)?mg(x)同解，m?0，f(x)?g(x)与

mf(x)?mg(x)同解；

f(x)?0g(x)（3）与f(x)?g(x)?0(g(x)?0）同解；

2. 一元一次不等式

解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

?(1)a?0?ax?b?分?(2)a?0??(3)a?0情况分别解之。

3. 一元二次不等式

ax2?bx?c?0(a?0)或ax2?bx?c?0(a?0)?分a?0及a?0情况分别解

2之，还要注意??b?4ac三种情况，即??0或??0或??0

简单的线性规划应用题解析

1．某人有楼房一幢，室内面积共180㎡,拟分隔两类房间作为旅游客房．大每间面积为18㎡，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15㎡，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？

【解析】将已知数据列成下表: 消耗量 项目 房间类型 大房间（间） 小房间（间） 限额 装修费 （元） 1000 600 8000 面积 （㎡） 18 15 180 利润 （元） 5×40 3×50 设应隔出大、小房间分别为x,y间，此时收益为z元，则

?18x?15y?180?1000x?600y?8000? ?x?0???y?0z?200x?150y

将上述不等式组化为

y 13 12 C 5x?3y?40 (8,0)、（0,13.3） 9 6 3 B 54 ?65??3??36x?5y?60 (10,0)、（0,12） A 8 9 10 ?6x?5y?60?5x?3y?40? ??x?0??y?0x o l:4x?3y?0 图⑴

3 6 l1作出可行域，如图⑴，

线性规划 毕业论文

聊 城 大 学

LIAOCHENG UNIVERSITY

线性规划问题在实际生活中的应用

线性规划 毕业论文

线性规划(LP)问题的求解

摘要：生活中的很多问题涉及线性规划问题，如组合投资、运输问题、生产组织问题等。本文中通过将线性规划问题的数学模型的一般形式转变为标准形式，从而应用单纯形法求解。但单纯形法的运算量较大，应用excel、matlab等软件求解既快又准。 关键词：线性规划、单纯形法、matlab\excel求解

Linear programming (LP) problems’ solving

Abstract:Many problems refer to the linear programming problems in our life,such as portfolio investment、transportation problem、organization of production problems,and so on. In this paper through transforming the general form of the mathematical model of linear progr