高数上答案

第一章 函数、极限与连续

第一节 函数

内容要点

一、实数与区间

实数的概念；实数的连续性；有限区间，无限区间。 二、邻域

领域的定义；领域的中心；领域的半径。 三、函数的概念

函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 函数的定义、函数的图形、函数的表示法 四、函数特性

函数的有界性；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性. 五、数学建模——函数关系的建立

为解决实际应用问题, 首先要将该问题量化, 从而建立起该问题的数学模型, 即建立函数关系；依题意建立函数关系；依据经验数据建立近似函数关系。

例题选讲

例1 函数y?2. 定义域D?(??,??), 值域Rf?{2}. ?x,例2 (E01)绝对值函数 y?|x|????x,x?0x?0

例3 判断下面函数是否相同, 并说明理由. (1) y?1与y?sinx?cosx;

(2) y?2x?1与x?2y?1.

在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的表达方式来表示的函数, 称为分段函数.

22?1,x?0,?(1)（E02）符号函数 y?sgnx??0,x?0, x?sgnx.|x|.

??1,x?0.?(2)（E03）取整函数y?[x], 其中, [x]表示不超过x的

第一章 函数、极限与连续

第一节 函数

内容要点

一、实数与区间

实数的概念；实数的连续性；有限区间，无限区间。 二、邻域

领域的定义；领域的中心；领域的半径。 三、函数的概念

函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 函数的定义、函数的图形、函数的表示法 四、函数特性

函数的有界性；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性. 五、数学建模——函数关系的建立

为解决实际应用问题, 首先要将该问题量化, 从而建立起该问题的数学模型, 即建立函数关系；依题意建立函数关系；依据经验数据建立近似函数关系。

例题选讲

例1 函数y?2. 定义域D?(??,??), 值域Rf?{2}. ?x,例2 (E01)绝对值函数 y?|x|????x,x?0x?0

例3 判断下面函数是否相同, 并说明理由. (1) y?1与y?sinx?cosx;

(2) y?2x?1与x?2y?1.

在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的表达方式来表示的函数, 称为分段函数.

22?1,x?0,?(1)（E02）符号函数 y?sgnx??0,x?0, x?sgnx.|x|.

??1,x?0.?(2)（E03）取整函数y?[x], 其中, [x]表示不超过x的

教 案

日期： 授课章节 教学目的 和要求 教学重点 和难点 教学进程 §１０.１对弧长的曲线积分 §１０.２对坐标的曲线积分 １理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系 ２掌握计算两类曲线积分的方法 两类曲线积分的计算方法 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧? 函数f(x? y)在L上有界? 在L上任意插入一点列M1? M2? ? ? ?? Mn?1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为?si? 又(?i? ?i)为第i个小段上任意取定的一点? 作乘积f(?i? ?i)?si? (i?1? 2?? ? ?? n )? 并作和?f(?i,?i)?si? 如果当各小弧段的长度的最大值??0? i?1n这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分? n记作?Lf(x,y)ds? 即lim?f(?i,?i)?si? ?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被积函数? L 叫做积分弧段? 对弧长的曲线积分的性质? 性质1 设c1、c2为常数? 则

高等数学期末及答案

一、 填空题（每小题3分，本题共15分）

2x1、lim(1?3x)x?0?______.。

x?x?0?e2、当k 时，f(x)??2在x?0处连续．

??x?kx?03、设y?x?lnx,则

dx?______ dy4、曲线y?ex?x在点（0，1）处的切线方程是 5、若

?f(x)dx?sin2x?C，C为常数，则f(x)? 。

二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1、若函数f(x)?xx，则limf(x)?（ ）

x?0A、0 B、?1 C、1 D、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）

A. ln1(x?0?) B. lnx(x?1) C. cosx (x?0) D. xx?2(x?2) x2?43、满足方程f?(x)?0的x是函数y?f(x)的（ ）．

A．极大值点 B．极小值点 C．驻点 D．间断点 4、下列无穷积分收敛的是（ ）

A、

???0sinxdx B、?e?2xdx C、?0????0?

教 案

日期： 授课章节 教学目的 和要求 教学重点 和难点 教学进程 §１０.１对弧长的曲线积分 §１０.２对坐标的曲线积分 １理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系 ２掌握计算两类曲线积分的方法 两类曲线积分的计算方法 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧? 函数f(x? y)在L上有界? 在L上任意插入一点列M1? M2? ? ? ?? Mn?1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为?si? 又(?i? ?i)为第i个小段上任意取定的一点? 作乘积f(?i? ?i)?si? (i?1? 2?? ? ?? n )? 并作和?f(?i,?i)?si? 如果当各小弧段的长度的最大值??0? i?1n这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分? n记作?Lf(x,y)ds? 即lim?f(?i,?i)?si? ?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被积函数? L 叫做积分弧段? 对弧长的曲线积分的性质? 性质1 设c1、c2为常数? 则

高等数学（上）期中复习资料

基础数学协会 2014.11

第一章 函数与极限

1函数的极限

??(1)函数连续性的判断：f (x)在x0连续?fx?fx?f?x?(2)求函数的间断点：1）第一类间断点（左右极限都存在）：a.可去间断点：左右极限存在且相等但函数在该点无定义或函数值不等于极限值。b.跳跃间断点：左右极限存在但不相等。2）第二类间断点：除第一类间断点以外的所有的间断点。 2数列的极限

（1）证明数列极限存在的方法： 1）夹逼定理 ?n?N,当n?n时有?n?n且lim?a,limn?a00nnn??n??

则xn存在极限且,limn?a n??????yxzxyz2）单调有界定理 3）柯西准则

常见的极限不存在的情况：1）子数列发散2)子数列虽收敛但极限不同 （2）求极限方法：

1）定义法证明猜想的极限； 2）夹逼准则；

3）柯西极限存在守则； 4）换元法求极限

5）先证明有极限（多用单调有界定理），再用极限值直接代入求解,例如 常见的等价无穷小 x?0时，

x?sinx?tanx?arcsinx?arctanx?ln（1?x）?ex?1

1 1-cosx?x2，ax?1?xlna，(1+x)a?1?ax2

极限化简常用的

学 院 ： 专装业 ： 班 级 ： 订 姓 名 ： 线 学 号 ：

2012-2013《高等数学》（上） 联考试卷

试卷 A ,(A/B),考核方式 闭卷 (闭卷/开卷)，考试时间（120分钟）

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 分数 得 分 评卷人 一、单项选择题（本大题共五个小题，每小题3分，总计 15分）：

1、下列极限存在的是 ( )。

密 (A) lim1x22； x?1x?1 (B) limx??x2?1；

(C) limx2?1x??； (D) limx。

xx?0x 2、如果函数f(x)在xf(x0?h)?f(x0)0处满足：lim h?0h2?2013。则f(x)在x0

处（ ）。

封

页码 7 行数 倒数3行 倒数7行 内容 (??,?2)?(?1,?2)?(?1,??) 更正 (??,?2)?(?2,?1)?(?1,??) 当q?0时, 结论显然成立. 当q?0时, lim(1?x)(1?x)(1?x)?(1?xn??242n 删除这句话 删除这句话 ) lim(1?x)(1?x)(1?x)?(1?xn??242n21 倒数6行 54 98 148 倒数9行 倒数3行 倒数11行 ) (x1,xn) (a,b) ??(t) f(x)f?(x)g(x)g?(x)?0, x?(a,b), ?(t) f(x)g?(x)?f?(x)g(x)?0, x?(a,b), 13行 173 倒数9行 (2) 存在两个不同的点?, ??(0,1), (2) 存在两个不同的点?, ??(0,1), 使得使得f?(?)?f?(?)?1. aa??(16) limx?arctan?arctan?; x???xx?1??2f?(?)?f?(?)?1. tanx1行 ?1?(16) lim???x?0?x?; 1112行 181 13行 ?a?xlna?x(6) lim?x? x?0?b?lnb?nxx2?a?xlna?xlim?x? x?0?b?x

一、大数的认识 第1课时 亿以内数的认识

【教学内容】 教材第3页例1。 【教材分析】

本节内容是在学生已经认识和掌握了万以内数的基础上教学的。生活中的大数广泛存在，对亿以内数的认识既是对万以内数认识的巩固和拓展，也是学生必须掌握的最基础的数学知识，以便为今后的学习和生活打下牢固的基础。

【学情分析】

经过第一学段数的认识的学习，学生已经具备了大量的关于数的认识的直接经验，对万以内数的组成和计数单位等都有了较深的了解，这为数的知识扩充到万级、亿级做好了铺垫。学生在生活中接触过大数，他们对大数有着不同程度的认识，这些认识有的是正确的，有利于教学；有的是模糊的，需要教学来澄清和提升；有的则是错误的，需要教师来纠正。因此教师在教学中首先给出一些大数的资料，通过对这些资料的初步认识与交流，一方面唤起学生的相关经验，了解学生的认知基础，另一方面丰富学生对大数的直观感受，为深入学习做好准备。

【教学目标】

1．进一步认识计数单位“十万、百万、千万和亿”，类推每相邻两个计数单位之间的关系，知道数级、数位。

2．掌握数位顺序表，理解“数位”的概念。

【教学重难点】

重点：认识计数单位“十万、百万、千万和亿”，掌握数位顺序表。 难点：掌握相邻两个计数单位之间的

一、时、分、秒 第1课时 秒的认识

【教学内容】 教材第2～3页 【教材分析】

关于“时、分、秒”这一内容，本套教材分三个阶段编排。第一阶段是在一年级上册，主要让学生学会看整时和快到几时，初步认识钟面上的时针和分针；第二阶段是在二年级上册，主要让学生会读、写几时几分，知道1时＝60分；第三阶段就是本册教材本单元。

本小节学习秒的认识和应用，体会1分、1秒有多久，学生能根据自己已有的知识经验探索、总结。

【学情分析】

本节课是在学生初步认识了钟表，并且在日常生活中积累了一些生活经验的基础上学习的。在这之前，学生已经知道了“整时”“半时”“不到几时”几种认识时刻的说法。

由于时、分、秒之间的进率是60，而不是以前所学的十进制关系，学生往往感到不习惯，这可能给时间单位之间的换算带来了一定困难。

【教学目标】

1．通过观察、体验等活动，在认识时、分的基础上，认识时间单位秒。知道秒针的特征，初步在头脑里建立1秒的概念，知道1分＝60秒。

2．通过联系实际生活解决简单问题，初步培养观察、交流、合作探究的能力，并有效地促进个性思维的发展。

【教学重难点】

重点：时间单位“秒”的认识，知道1分＝60秒。

难点：使学生初步建立1分、1秒的时间观念。 【教学准备