两线段和最小的问题

抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）

1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

1?x?2?(x?m)?m?0?与x 轴m相交于点B、C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

2. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:y?

抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）

1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

1?x?2?(x?m)?m?0?与x 轴m相交于点B、C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

2. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:y?

抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）

1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

1，（2012湖北恩施8分）

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小。（3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x+2x+3），求得线段PQ=﹣x+x+2。由图示以及三角形的面积公式知S?APC法可知△APC的面积的最大值

初中数学专题复习：最短距离问题分析

最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。 一、“最值”问题大都归于两类基本模型：

Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函

数的最大或最小值

Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，

大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大

都应用这一模型。

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”

B 几何模型：

A 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA?PB的值最小． l

P 方法：作点A关于直线l的对称点A?，连结A?B交l于点P，

则PA?PB?A?B的值最小（不必证明）．

A?模型应用：

①当两点A和B在直线l同侧时，若求直线l上点P.使PA+PB最小值 作点B关于直线l的对称点B’,连结AB’交直线l于点P,此时PA+PB=PA+PB’=AB’

取除此之外的任意一点P’,根据三角形两边之和大于第三边，P’A+P’B=P’A+P’B’ ＞AB’,所以点P满足PA+PB最小值

②当两点A和B在直线l异侧时，作直线AB与直线l的交点为点P ③当两点A和B在直线l同侧时，作直线AB与直线l的交点为点M 此时|AM-BM|是最大值

取除此之外的任意一点N,根据三角形两边之差小于第三边，|NA-NB|﹤AB,而|MA-MB|=AB,所以这时|AM-BM|是最大值

④当两点A和B在直线l异侧时，作点B关于直线l的对称点B’,连结AB’交直线l于点M,此时, |AM-BM|是最大值

送你几道题

（2012福建莆田4分）点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平

面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得PA?PB的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则OP?OQ＝ ▲ ．

【答案】5。

【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】连接A

抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）

1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

1，（2012湖北恩施8分）

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小。（3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x+2x+3），求得线段PQ=﹣x+x+2。由图示以及三角形的面积公式知S?APC法可知△APC的面积的最大值

2018年中考专题复习之距离和最短问题

基本图形：构建“对称模型”找出“对称点”实现转化

考点1、单动点问题

1.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 _________ ．

1题 2题 3题 4题

2.如图，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的最小值为 _________ ．

3.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 _________ ．

4.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为 _________ ．

5题 6题 7题

5.如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是

线段的和差倍分问题的证明

一、运用定理法

即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例1 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC 于D，M为BC中点.

1求证：DM = AB 22 B D M A N 3 1 C 对应练习 1、已知：如图所示，点D、E分别是等边?ABC的边AC、BC上的点，AD=CE，BD、AE交于点P，BQ?AE于Q．求证：PQ?1PB． 2A

P D

Q

B C E 2、如图所示，在?ABC中，AB=AC，?BAC?90?，BE平分?ABC，交AC于D，CE?BE于E点，求证：CE?

3、如图所示，在?ABC中，AB?1BD． 2A

D E

B C

1BC，D是BC的中点，M是BD的中点．求证：AC=2AM． 2

A

B C M D 4、已知：如图所示，D是?ABC的边BC上一点，且CD=AB，?BDA??BAD，AE是?ABD的中线．求证：AC=2AE．

A

1

B E DC

5、已知：如图所示，锐角?ABC中，?B?2?C，BE是角

初中几何中线段和（差）的最值问题

一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一）、已知两个定点：

1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： A A

mPm

BB（2）点A、B在直线同侧：

A BA

P m B m

A'A、A’ 是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 A m（1）两个点都在直线外侧：

A mP'P Q'Q n n

B

B（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

A mA mPB B Q n nB' A'（3）两个点都在内侧： m mAAP

BBQ n nB'（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A、B位于直线m,n 的nn内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使AABA'B得围成的四边形ADEB周长最短.

D填空：最短周长=________________

mEm变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别

B'上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

n A'nA

Q APm mA\ 1

二）、

初中几何中线段和（差）的最值问题

一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一）、已知两个定点：

1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： A A

mPm

BB（2）点A、B在直线同侧：

A BA

P m B m

A'A、A’ 是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 A m（1）两个点都在直线外侧：

A mP'P Q'Q n n

B

B（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

A mA mPB B Q n nB' A'（3）两个点都在内侧： m mAAP

BBQ n nB'（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A、B位于直线m,n 的nn内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使AABA'B得围成的四边形ADEB周长最短.

D填空：最短周长=________________

mEm变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别

B'上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

n A'nA

Q APm mA\ 1

二）、