蝴蝶定理公式小学奥数

几何之蝴蝶定理

一、 基本知识点

定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。

S1 : S2 = a : b

定理2：等分点结论( 鸟头定理)

如图，三角形△AED的面积占三角形△ABC的面积的

313?? 5420

定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)

1） S1∶S2 =S4∶S3 或 S1×S3 = S2×S4

上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积

2）AO∶OC = （S1＋S2）∶（S4＋S3）

梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)

1）S1∶S3 =a2∶b2

上、下部分的面积比等于上、下边的平方比

2）左、右部分的面积相等

3）S1∶S3∶S2∶S4 =a2∶b2 ∶ab∶ab

4）S的对应份数为（a+b）2

定理4：相似三

公式

1. 平方差公式 a2 - b2 = ( a + b )( a – b )

2. 和平方公式 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 3. 差平方公式 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 4. 等差数列公式 Sn =

n =

= a1 +

+ 1

5. 立方和公式: a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 ) 6. 立方差公式: a3 – b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 ) 7. 奇数和公式: 1 + 3 + 5 + …… + (2n-1) = n2

8. 偶数和公式: 2 + 4 + 6 + …… + 2n = n(n+1)

9. 多数平方和公式: 12 + 22 + 32 + …… + n2 =

10. 多数立方和公式: 13 + 23 + 33 + …… + n3 = (1 + 2 + …… + n)2

公式集锦

小学奥数公式大全

倍数

1 、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数

2 、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1 3 、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度

4 、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价

5 、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率

6 、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数

7 、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数

8 、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数

9 、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数

1 、正方形

C周长 S面积 a边长 周长＝边长× 4 C=4a

面积=边长×边长 S=a×a

表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱

奥数公式集

小学奥数全部公式

和差问题的公式

(和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数

和倍问题的公式

和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者 和－小数＝大数)

差倍问题的公式

差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或 小数＋差＝大数)

植树问题的公式

1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数＝段数＋1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数－1)

株距＝全长÷(株数－1)

⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数＝段数－1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数＋1)

株距＝全长÷(株数＋1)

2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

奥数公式集

盈亏问题的公式

(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

(大

小学奥数经典专题例题讲解

速算公式

【首同末合十的两位数相乘公式】若两个两位数的十位数字都是a，个位上的数分别为b和c，且b+c=10，则这样的两个数便是“首同末合十”的两个两位数，它们的积为

（10a+b）（10a+c）=（10a）2+10ab+10ac+bc

=102a2+10a（b+c）+bc

=100a2+100a+bc

＝a（a+1）×100+bc。

根据这一公式，两个“首同末合十”的两位数相乘，可以先把首位数乘以比它大1的数的积的100倍，然后在所得的结果后面，添上两个末位数的积。

例如，72×78=（7×8）×100+2×8

=5616

45×45=（4×5）×100+5×5

=2025

首同末合十的计算公式，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算中去。例如

256×254

可取a=25，b=6，c=4，再运用公式计算，得

256×254=[25×（25+1）]×100+6×4

=[25×26]×100+24

=65024

又如，155×155=（15×16）×100+5

练习二（余数定理）

A组

1、甲数除以11的余数为9，乙数除以11的余数为7，丙数除以11的余数为6，那么：

①（甲数＋乙数＋丙数）÷11的余数为 ； ②（甲数＋乙数－丙数）÷11的余数为 ； ③（甲数×乙数×丙数）÷11的余数为 ； ④（甲数－乙数＋丙数）÷11的余数为 。

2、17×354×409×672除以3所得的余数是 。

3、5678964×47165432的积除以7的余数是 。

4、19917被7除，余数是 。

5、（203×203×…×203－2003）除以29的余数是 。 2002个203

6、某个大于1的自然数分别除442、297、210得到相同的余数，则该自然数是 。

7、有一个（大于1）数，除300，262，205得到相同的余数，这个数 是 （第一届华杯赛题）

8、某个自然数分别除13511、13903、14589得到的余数相同，则该自然数最大是 。

9、有一个自然数，用它分别去除63、91、129得到三个余数的和是25，这个数是 。（1998年

小学奥数公式大全及其运用

1 、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2 、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数 3 、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4 、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价

5 、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 6 、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数 7 、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数

8 、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数 9 、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数

1 、正方形

C周长 S面积 a边长 周长＝边长× 4 C=4a

面积=边长×边长 S=a×a 2 、正方体 V:体积 a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6

体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3 、长方形

C周长 S面积 a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)

面积=长×宽 S=ab 4 、长方体

V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高

第三讲 蝴蝶定理和风筝定理

一、引入

1、蝴蝶定理

在梯形ABCD中，由对角线AC与BD分成的左右两个三角形（△ADO和△BCO）形状有点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。

B A

O D 即S△ADO=S△BCO

C 2、风筝定理

在任意四边形ABCD中，对角线AC、BD分成了四个三角形（如图）， A S1 这四个三角形的面积分别记为：S1 、S2 、S3 、S4。

则它们的关系是：

S3 O S1×S4 =S2×S3

S4

即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。

D

B S2

C 二、新授课

【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD的面积是3平方厘

米，△DOC的面积是9平方厘米，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

A O D C B

练习

1、如图，2BO=DO，且阴影部分的面积是4cm2，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

B A

O D 2

2、如图，阴影部分面积是4cm，OC=2AO，求梯形的面积。 B A O

C D 1 C

【例2】如图，BD，CF将长方形ABCD分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄

色三

燕尾定理

燕尾定理：

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC．

AEO

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

FBDCAS2aS1OS3S4DBbC

①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?． 等积变形

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S1:S2?a:b

2ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或

燕尾定理

燕尾定理：

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC．

AEO

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

FBDCAS2aS1OS3S4DBbC

①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?． 等积变形

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S1:S2?a:b

2ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或