抽象函数的周期性和对称性证明

1、教材分析 2、课时规划 3、教学目标分析 4、教学思路 5、教学过程设计 一、复习引入 二、知识串讲： 课程名称：函数的对称性与周期性 教学内容和地位： 内容： 1.函数的对称性 2.函数的周期性 3.函数的对称性与周期性 4.复合函数的对称性与周期性 地位： 函数是整个高中数学的重点，而函数的性质则是函数主要的考点。 教学重点： 1.函数的对称性 2.函数的周期性 3.函数的对称性与周期性 4.复合函数的对称性与周期性 教学难点：复合函数的对称性与周期性 课时：3课时 掌握函数单调性和奇偶性的定义，会利用函数的对称性与周期性求解题目。 1．导入 2.集合部分知识点串讲 3.例题精讲 4.易错点，考点，综合应用，典型图形 5.小结 必讲知识点 （一）同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、周期性：对于函数y?f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数y?f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、对称性定义（略），请用图形来理解。 3、对

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

一、周期函数的定义：

对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫

f(x)的最小正周期。

函数周期性的几个重要结论

1、f(x?T)?f(x)( T?0) ?y?f(x)的周期为T，kT(k?Z)也是函数的周期 2、f(x?a)?f(x?b)?y?f(x)的周期为 3、f(x?a)??f(x)?y?f(x)的周期为 4、f(x?a)?1

f(x)?y?f(x)的周期为 5、f(x?a)??1f(x)?y?f(x)的周期为 二、奇偶函数：设y?f(x),x??a,b?或x???b,?a???a,b?

①若f(?x)??f(x),则称y?f(x)为奇函数；②若f(?x)?f(x)则称y?f(x)为偶函数 3、函数的对称性

三、函数对称性的几个重要结论

（一）函数y?f(x)图象本身的对称性（自身对称）

若f(x?a)??f(x?b)，则f(x)具有周期性；若f(a?x)?f(b?x

函数的奇偶性、周期性和对称性

函数的奇偶性、周期性和对称性的关系

055350 河北隆尧一中 焦景会

函数的性质主要是指函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性，它们准确的刻画了函数自身的规律性。掌握函数的这四个性质对于解决函数问题很有帮助。现在探讨以下函数的对称性、奇偶性及周期性这三个方面的关系。由一道高考题目说起。

（2005年广东卷I）设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］上只有f(1)?f(3)?0。（1）试判断函数y?f(x)的奇偶性；

（2）试求方程f(x)?0在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。

分析：由f(2?x)?f(2?x),f(7?x)?f(7?x)可得：函数图象既关于x＝2对称，又关于x＝7对称，进而可得到函数周期，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。

命题1 函数y?f(x)的图像关于直线x＝a对称的充要条件是f(a?x)?f(a?x)或f(x)?f(2a?x)。

证明：设P(x0,y0)是y?f(x)上任一点，则y0?f(x0)。由P关于直线x＝a的对称点为

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

湖南祁阳四中 何双桥整理 一、函数的单调性 1.单调性的定义 一般地，设函数

f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调增区间；

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调减区间。

2.单调函数与严格单调函数 设

f(x)为定义在I上的函数，若对任何x1,x2?I，当x1?x2时，总有

特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成f(x)为I上的增函数，

(ⅰ) f(x1)?f(x2)，则称立时称

f(x)为I上的严格单调递增函数。

特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成f(x)为I上的减函数，

(ⅱ) f(x1)?f(x2)，则称立时称

f(x)为I上的严格单调递减函数。

2.函数单调的充要条件 ★若

f(x)为区间I上的单调递增函数，x1、x2为区间内两

函数对称性、周期性和奇偶性规律

一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)

1、 周期性：对于函数

y f(x)，如果存在一个不为零的常数

T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(x T) f(x)都成立，那么就把函数y f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周

期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性：

我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式

奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式

上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数

f( x) f(x)

f(x) f( x) 0

y f(x)关于x a对称 f(a x) f(a x)

f(a x) f(a x)也可以写成f(x) f(2a x) 或 f( x) f(2a x)

通过f(x) f(2a x)可知，y1 f(x1) f(2a x1)，y f(x)上，

简证：设点(x1,y1)在

即点(2a

若写成： （2）函数

x1,y1)也在y f(x)上，而点(x1,y1)与点(2a x1,y1)关于x=a对称。得证。

f(a x) f(b x)，

函数的对称性和奇偶性函数 函数对称性、周期性基本知识及习题分析 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)

1、 周期性：对于函数

y?f(x)，如果存在一个不为零的常数

T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数y?f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周

期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性：

我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式

奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式

上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数

f(?x)?f(x)

f(x)?f(?x)?0

y?f(x)关于x?a对称?f(a?x)?f(a?x)

f(a?x)?f(a?x)也可以写成f(x)?f(2a?x) 或 f(?x)?f(2a?x)

y?f(x)上，通过f(x)?f(2a?x)可知，y1?f(x1)?f(2a?x1)，

简证：设点(x1,y1)在

即点(2a?x1,y1)也在y

函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用

一、知识回顾：

1、对于给定区间D上的函数f(x)，如果_____，则称f(x)是区间D上的增（减）函数.

2、判断函数单调性的常用方法： 观察图像法 、定义法 3、关于函数单调性还有以下一些常见结论：

①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；

②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间

上有_____的单调性；

4、函数的奇偶性：

（1）对于函数f(x)，其定义域关于原点对称： ．．．．．．．．． 如果______________________________________，那么函数f(x)为奇函数； 如果______________________________________，那么函数f(x)为偶函数. （2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称.

周期函数的定义：对于函数f?x?，存在非0常数T，使得对于其定义域

内总有f?x?T??f?x?，则称的常数T为函数的周期。 5、函数的周期性

① f?x?a???f?

高三艺术生数学复习资料

函数的对称性和周期性

一.明确复习目标

1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；

2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。 3.掌握常见的函数对称问题

二、建构知识网络

一、两个函数的图象对称性

1、 y?f(x)与y??f(x)关于x轴对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)??g(x)，即它们关于y?0对称。 2、 y?f(x)与y?f(?x)关于Y轴对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(?x)，即它们关于x?0对称。 3、 y?f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)，即它们关于x?a对称。

4、 y?f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(x)?2a，即它们关于y?a对称。

5、 y?f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点(a,b)对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)?2b，即它们关于点

(a,b)对称。

6、 y?f(a?x)与y?(x?

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

湖南祁阳四中 何双桥整理 一、函数的单调性 1.单调性的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调增区间；

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调减区间。

2.单调函数与严格单调函数

设f(x)为定义在I上的函数，若对任何x1,x2?I，当x1?x2时，总有

(ⅰ) f(x1)?f(x2)，则称f(x)为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成立时称f(x)为I上的严格单调递增函数。

(ⅱ) f(x1)?f(x2)，则称f(x)为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成立时称f(x)为I上的严格单调递减函数。 2.函数单调的充要条件

★若f(x)为区间I上的单调递增函数，x1、x2为区间内两任

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性、图象变换

壶关一中 张志朝整理 一、函数的单调性 1.单调性的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

（1）如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D我们称为函数f(x)的单调增区间；

（2）如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D我们称为函数f(x)的单调减区间。

2.函数单调的充要条件

（1）若f(x)为区间I上的单调递增函数，x1、x2为区间内两任意值，那么有：

f(x1)?f(x2)x?x1（x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0 ?0或

2（2）若f(x)为区间I上的单调递减函数，x1、x2为区间内两任意值，那么有：

f(x1)?f(x2)x1?x2（x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0 ?0或

3.函数单调性的判断(证明)

(1)定义法（作差法） (2)求导法 4.复合函数的单调性的判定

对于函数y?f(u)和