三等分任意一个角

关于任意角的三等问题

数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业

105012007016 张成娇

【摘要】本文立足于对高中数学《课标》选修系列3的《三等分角与数域扩充》

中三等分角的探究，分别从三等分角的发展历史、证明、可三等分的特殊角及在数学教学中的课题研究等四个主要方面进行探究.

【关键词】三等分角；数域；特殊角；课题研究；

1

一、前言

《三等分角与数域扩充》是高中数学新增加的内容，它所处的是《课标》中选修系列3,选修系列3的专题，主要是以通俗易懂的语言，深入浅出地介绍各专题的基本数学内容及其基本思想，用以开阔学生视野.三等分角、倍立方积、化圆为方、等分圆周等尺规作图问题，都是古希腊著名的作图问题，经过了长达几千年的时间才得以解决．解决这类问题的思想方法不仅在数学上，而且在人类思想史上都具有重大意义．

本文从三等分角的发展历史、证明、可三等分的特殊角及在教学中的研究性学习与数学实验等四个主要方面进行说明.

二、关于任意三等分角的历史

在欧洲巴尔干半岛的南端，有一个濒临地中海的文明古国——希腊，古希腊人在几何学的形成和发展上作出了巨大的贡献，人们习惯上把希腊称为几何学的故乡.古希腊人鄙视任何不明确或模棱两可的东西.他们认为，没有任何东

受一位耄耋老人----笔名 义墨之托,邀我向网上公布他的研究成果,有请各位专家审核,评价。义墨是个热心人,现在居住在湖南省临湘市坦渡乡敬老院,为人正直、刚正不阿、生活简朴。他在古诗创作方面有所建树,撰写了几百首古体和现代体诗词,特别在古代数学几何作图难题之一----求作三等分之角方面,他潜心钻研十余年,其成绩能否得到专家们的肯定,请审查、验证。

受一位耄耋老人----笔名 义墨之托,邀我向网上公布他的研究成果,有请各位专家审核,评价。义墨是个热心人,现在居住在湖南省临湘市坦渡乡敬老院,为人正直、刚正不阿、生活简朴。他在古诗创作方面有所建树,撰写了几百首古体和现代体诗词,特别在古代数学几何作图难题之一----求作三等分之角方面，他潜心钻研十余年,其成绩能否得到专家们的肯定,请审查、验证。

用 圆 规 、直 尺 求作∠O的三等分

湖南省临湘市坦渡乡敬老院

义 墨

2012.7.18

用圆规直尺求作∠O的三等分

湖南省临湘市坦渡乡敬老院 义墨

一、作法（一）求“ D ”如下图

受一位耄耋老人----笔名 义墨之托,邀我向网上公布他的研究成果,有请各位专家审核,评价。义墨是个热心人,现在居住在湖南省临湘市坦渡乡敬老院,为人正直、刚正不阿、生活简朴。他在古诗创作

二等分 幼儿园大班数学教案

幼儿园大班数学教案——二等分

一、活动目标：

1、通过尝试性的操作和判断，学习将一个物体分成相等的两份，感知整体和部分的关系。 2、探索物体等分的多种方法，激发幼儿对等分的兴趣。 3、发展幼儿的观察能力,比较能力,判断能力。

二、活动准备：

1.材料：绸带，纸（圆行，正方形，长方形），等分练习纸。 2.工具：笔,剪刀,直尺。

三、活动过程：

（一）讲解演示 1.“小朋友，今天老师的头发有什么变化吗？（扎两个辫子）我还要给两条小辫扎上漂亮的绸带，现在只有一根绸带，怎么办才能扎两根小辫呢？”

2. 组织幼儿讨论，等充分表达意见后，教师边讲解边演示，让幼儿注意观察。 3. 把绸带两头对折，剪成一样大小的两份，叫二等分。使幼儿感知二等分的含义。 ＊次环节以形象直观的具体事物——绸带为材料，吸引了幼儿的注意力；并提出问题，让幼儿开动脑筋，帮助分绸带。通过把操作的过程与结果展现给幼儿，使幼儿初步认识“二等分”这一概念。

（二）操作探索 操作一：

1. 为幼儿提供圆形材料，幼儿动手操作，教师巡回指导等观察。 2. 组织幼儿讨论等分方法。

3. 小结：把圆形对折，然后剪成一样大小的两份，叫二等分。使幼儿进一步

　　孤灯月影常相伴，清辉入内谁知暖？待到星辰艳阳照，嫣然风声是晴天。

　　——题记

　　初涉浅秋，一缕淡淡的阳光映射入窗，伴着清晨新鲜的空气，慢慢睁开眼睛，然后在床上扭两下，该起床啦，美好的一天开始了。快速洗漱好，迎着阳光奔跑去，晴好的日光，照耀着大地，照进我的心，焕然一新的感觉让灵魂触摸到影子真实的存在。

　　就这样，以平淡的心态，面对一切，静看着相聚与分离的结合，不在乎城市之间的距离，以旁观者的姿势，倾泻一份似水情怀。有人念着枫叶的飞舞，有人想着秋季的悲凉，有人守着风雨无阻的空城，有人盼着望眼欲穿的彼岸，而我，只想等一个晴天。

　　因为晴天，我不会悲伤；因为晴天，有那些美好；那抹深情的眼神在脑海中浮现，挥之不去的片段渐渐演绎着唯美的风景线条，一点点，一幕幕，晕染过季节的容颜，替换了风尘中的俗耐。很多时候，都在期盼静好的晴天能一直持续下去，没有雨的洗礼，没有霜的冻结，没有雪的薄凉，我们依然安静行走在纷扰的世间，迎风浅笑，握笔添彩。

　　突然有一次，问我何时相遇，顿时我迷茫了。脑海中满满都是你对我的关怀与呵护。那些好如亲情般亲切，又如恋人间带点羞涩，而我不知从何时起将你藏入我的心里。有一句话道出了所有人的心声：如若安好，便是晴天。想来，晴天，便是你安好

任意角和弧度制 任意角的三角函数 诱导公式

【知识梳理】 1．角概念的推广

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角； （2）按终边位置不同分为象限角和轴线角。 ①象限角及其集合表示：

②轴限角及其集合表示：

2.终边相同的角

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 3.弧度制

（1）1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。

（2）角α的弧度数:如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是

l. r

180

（3）弧度与角度互换公式：1rad＝180°≈57.30°,1°＝

≈0.01745（rad）。

（4）弧长、扇形面积的公式

弧长公式：l | |r（ 是圆心角的弧度数），

扇形面积公式：S 4．三角函数定义

5．三角函数线:(三角函数象限符号)

11

lr | |r2。 22

6．同角三角函数的基本关系

sin 22 tan

（1）平方关系：sinα+cosα=1;（2）商数关系：

任意角和弧度制 任意角的三角函数 诱导公式

【知识梳理】 1．角概念的推广

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角； （2）按终边位置不同分为象限角和轴线角。 ①象限角及其集合表示：

②轴限角及其集合表示：

2.终边相同的角

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 3.弧度制

（1）1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。

（2）角α的弧度数:如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是

l. r

180

（3）弧度与角度互换公式：1rad＝180°≈57.30°,1°＝

≈0.01745（rad）。

（4）弧长、扇形面积的公式

弧长公式：l | |r（ 是圆心角的弧度数），

扇形面积公式：S 4．三角函数定义

5．三角函数线:(三角函数象限符号)

11

lr | |r2。 22

6．同角三角函数的基本关系

sin 22 tan

（1）平方关系：sinα+cosα=1;（2）商数关系：

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任意角的三角函数（第一课时）

一. 教学目标设计 1、认知目标:

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；

（2）会作单位圆中的三角函数线；初步领会三角函数的定义域、值域、三角函数值的符号；

（3）会根据任意角的三角函数的定义求特殊角的三角函数值； （4）加深对函数一般概念的理解。 2、能力目标:

在学生原有知识的基础上，通过启发、引导学生发现和得出任意角的三角函数的定义及几何表示，培养学生观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力。 3、情感目标:

（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；

（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； （3）以科学史激励学生，培养学生追求真理的精神。 二. 教学内容及重点、难点及关键的分析 教学重点 任意角的正弦、余弦、正切的定义

教学难点 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义及单位圆中三角函数的概念。

教学关键 抓住初中所学的三角函数的定义方法，与新问题形成知识冲突，激发学生学习的兴趣；直观地

附表2.2：

授权签字人申请表

实验室名称：湖南省水环境监测中心娄底分中心

姓 名： 赵文华 性 别： 男 出生年月： 1978年8月 职 务：副局长 职 称： 工程师 文化程度： 工程硕士 部门： 娄底分中心 电话： 0738-8619077 传真：0738-8619077 电子邮件：zhaowenhua8888@tom.com 申请签字的领域：娄底分中心检测报告签发 何年毕业于何院校、何专业、受过何种培训：2002年毕业于华北水利水电学院环境工程专业，2011年河海大学水文水资源工程硕士专业毕业。2002年12月参加省水文局组织的实验室人员新上岗培训，2003年7月参加全省水利系统专业技术人员继续教育培训，2004年12月参加省水利厅组织的水资源公报编制方法培训，2005年8月参加湘潭市组织的水政执法培训，2

　　一生之中，兜兜转转，跌跌撞撞，多少情事演变成了往昔，多少回忆藏在了不可言语的心底，一朝梦回当初，欣喜，憧憬，失落，感伤，孤寂，沧桑，成长，后来我总算明白了爱情，只愿有天归来时，仍是一颗少年心，更坚韧，更具勇气。下面是小编为大家带来的散文一个人，一座城，等一个你，欢迎阅读。

　　一个人，一座城，等一个你

　　一壶相思煮酒，是谁将昔日的情意洒在了记忆的书笺？

　　一曲东风暖心，是谁把当初的誓言唱成了别离的箫歌？

　　一座空城遥盼，是谁还在痴痴守候那个迟迟未来的人？

　　陌上红尘，缘聚，缘散，心为之起伏，却不曾平复。闲暇的时光，有你，我心安然；没你，我心坦荡。谁人为谁痴，谁人知我心，一束情事，时光煮酒，回忆一饮而尽，往昔但说无妨。

　　我想，每个人的一生都有一座属于自己注定要坚守的城，任凭风吹雨打，任凭岁月无情，那一座城在自己的守护下始终坚不可摧，不可攻破。其实这一座城是我们爱一个人的心，你爱那个人有多深，这座城便有多牢固。

　　佛说，前世的五百次擦肩而过，才换来了今生的一个回眸一笑。你我今生相逢是缘，错过只因前世的情分还不曾了结，或许我们还未曾遇见，但我始终坚信有天你我会邂逅，会痴心留念，哪怕只是韶光一现，也会为爱不顾一切，因为相逢的缘分一旦重现，注定的情

任意角和弧度制及任意角的三角函数

[最新考纲]

1．了解任意角的概念；了解弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化．

3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

知 识 梳 理

1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

?按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

(2)分类?

?按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 3.任意角的三角函数 三角函数 定义 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

l|α|＝r(弧长用l表示) π?180?①1°＝180rad ②1 rad＝?π?° ??弧长l＝|α|r 11S＝2lr＝2|α|r2 正弦 余弦 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α ＋ ＋ － － 1

正切 yx叫做α的正切，记作tan α ＋ － ＋ － x