群的直积还是个群

群的直积（Direct Product of Group）

群的直积是群论中的重要概念，也是研究群的重要手段之一，利用群的直积可以从已知的群构出新的群，可以用小群构造大群，也可以将一个群用它的子群来表示，这一节介绍子群的直积及其基本性质。

定义1 设G1,G2是群，G?{(a1,a2)|a1?G1,a2?G2)为集合G1与G2为的卡氏积（Cartesian product）,在G中定义乘法运算

(a1,a2)?(b1,b2)?(a1b1,a2b2),(a1,a2),(b1,b2)?G。

则G关于上述定义的乘法构成群，称为群G1与G2的外直积（external direct product），记作G?G1?G2，G1、G2称为G的直积因子(factor of the direct product)。

当G1、G2是加群时，G1与G2的外直积也可记作G1?G2。 定理1 设G?G1?G2是群G1与G2的外直积，则 （1）

G是有限群的充分必要条件是G1与G2都是有限群，并且，当G是有限群时，??有|G|?|G1||G2|；

（2） （3） （4）

G是交换群的充分必要条件是G1与G2都是交换群。 G1?G2?G2?G1；

若令A1?{(a1,e2

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QQ群怎样拉人，加群方法,不被T出群的技巧

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1如何加群

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点击以后进入所搜页面，选择查找群选项，在搜索框里输入你想加入群的群号或者群的关键词，我是做淘客的，所以我在搜索框里输入了“淘宝客”然后点击搜索按钮。

这时就会出现很多带有关键词“淘宝客”的群，所以这也间接告诉我们，建立一个群也是需要关键词的，下面我会慢慢讲到。回到刚才话题，你会看到很多群，这时我建议你设置筛选要求为“按人数”和“按人气”，因为这样的群活跃度必定很高，更适合以后你在群里发一些信息，进而提高成功率。

好的，加群时通过率并不是很高，所以你得多加一些，并且在输入验证信息时尽量真诚，还有就是每个ip加群数量是有限制的，目前没有太好的解决限制的办法，但你可以多注册几个qq，建议3个为宜，注意加群时不能在短时间内大量加，这样不仅通

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经典案例一：海上救援（世界500强LGD面试题）

现在发生海难，一游艇上有八名游客等待救援，但是现在直升飞机每次只能够救一个人。游艇已坏，不停漏水。寒冷的冬天，刺骨的海水。游客情况： 1.将军，男，69岁，身经百战；

2.外科医生，女，41岁，医术高明，医德高尚； 3.大学生，男，19岁，家境贫寒，参加国际奥数获奖； 4.大学教授，50岁，正主持一个科学领域的项目研究； 5.运动员，女，23岁，奥运金牌获得者；

6.经理人，35岁，擅长管理，曾将一大型企业扭亏为盈； 7.小学校长，53岁，男，劳动模范，五一奖章获得者； 8.中学教师，女，47岁，桃李满天下，教学经验丰富。 请将这八名游客按照营救的先后顺序排序。

（3分钟阅题时间，1分钟自我观点陈述，15分钟小组讨论，1分钟总结陈词）

新进行一次总结陈词：

面试官你好（面带微笑，有诚意滴看看面试官）。下面将由我代表我们的组员，向您陈述我们小组的最终意见。在讨论之后，我们的排序依次是：大学教授，大学生，经理人，中学教师，小学校长，外科医生，将军，最后是运动员。根据您给的时间，我们进行了以下的安排：4分钟的标准订立，10分钟的分类讨论，最后是1分钟的确定答案。在标准订立方面，小组成员的意见中没有

群和半群

第8章 半群和群

群和半群

8.1 半群和独异点半群和独异点的定义

子半群和子独异点半群同态和独异点同态

群和半群

8.1.1 半群和独异点的定义代数系统A=<S,*>,若*是满足结合律的二元运算，则A称为半群。 若*同时满足交换律，则称为阿贝尔半群。 存在幺元的半群称为独异点，也称(含)幺半群，单位 半群。

若*同时满足交换律，则称为阿贝尔独异点。

群和半群

例 <∑+, ·>是最典型的半群，只满足结合律

<∑*, · >是最典型的独异点，只满足结合律，有幺元 ,ε<N,+,0>是独异点，可交换独异点 <SS, ,1S>是独异点，不满足交换律，部分元素有逆元

群和半群

b) 设S={a,b},*定义如右表： 即a,b都是右零元 ∵ x,y,z S ① x*y S ∴运算封闭 ② x*(y*z)=x*z=z

*

a

b

a b

a a

b b

(x*y)*z=z∴结合律成立 ∴〈S,*〉是一半群，该半群称为二元素右零半群

群和半群

半群的性质:1.独异点运算表中任何两行或两列均不相同 证明：设独异点的幺元为e, a,b S,若a b ∵a*e b*e, 运算表中a,b两

同伦和基本群

在上一次中，我们利用空间的连通性给出了一个拓扑不变量，他可以区分一些简单 的空间，但是要想区分更多的空间，需要引入更精细的不变量！ 几个概念：

1。道路连通：拓扑空间X中的一条道路是指一个连续映射r:I->X,（X=[0,1]），点r (0),r(1)分别叫做道路的起点和终点。若X中的任何两点均有道路连接，则称该空间X为 道路连通的。若一条道路的起点和终点重合，则称该道路为环道。

2。同伦：设f,g:X->Y为连续映射，若存在连续映射F:X*I->Y,使得F(x,0)=f(x),

F(x,1)=g(x),则称f和g是同伦的；如果还有F(a,t)=f(a)=g(a),则称f和g相对于a同伦。 例：

1）若f(x),g(x)：X->Sn,且对任意的x,f(x)和g(x)不相等，则f(x)和g(x)是同伦的。 可构造：F(x,t)=(tf(x)+(1-t)g(x))/||(tf(x)+(1-t)g(x))||； 2）在凸集中，任何一个连续映射和恒等映射是同伦的； 可构造：F(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x)；

3）在凸集中，任何一条以a为基点的环道和一点独点映射a同伦

篇一：激励话术(群里发消息用)

激励话术

? 人活着的姿态就应像彩虹，不单调乏味，去美丽多彩；不畏惧困难，而面对风雨；不骄

傲自大，而躬弯谦虚；做事有条，条条分明。愿你有彩虹般的姿态，让大家都去喜欢你。 ? 人生路漫漫，上下而求索，用你的才智，勤奋，热情去点燃你生命里的那盏灯吧，用你

的信心，决心和勇气去面对命运中的挑战和挫折吧，请相信：前方的道路是曲折的，但前途是光明的，让你我共勉。

? 成功的秘诀是什么？冰箱说：容量要大。冷气机说：永远保持冷静。火说：有扫荡黑暗

带来光明的本事。我把它们都送给你，祝你早日取得成功！

? 你不能在你已经获得足够多的成功时，还对自己的能力保持怀疑，露出自信的微笑，走

出自信的步伐，做一个自信的人！

? 消极的人受情绪控制，看天，天不蓝，看水，水不清，积极的人却能控制情绪，挫折只

是试金石，困难就是垫脚石，努力才是成功的梯。

? 茫茫人海里,如果找不到自己的坐标位置,就好像一艘迷失方向的航母,不知去向何方,很

难找到停泊的港口!所以我们当前要做的是,为自己树立个目标,为自己将规划出一个宏伟蓝图!祝君早日成功!

? 插上梦想的翅膀，打开心灵的密码，释放沉睡已久的激情，为了梦，让我们共同努力吧！ ? 坚毅磨练你的意志，果敢陶冶你的性格，自信

光影群

QQ群汇总：

光影高手联盟 ：50243355 （koala101288 贡献）（500人超大群） 光影摄手：47282255 （500人超级群）

光影魔術手娛樂群：25580239(舞⒍贡献200人QQ群)

光影边框收集狂：4271791 （moonner 贡献）

光影魔魔部落格:62065350 （光影魔魔 贡献）（非高级群，非制作者勿加）

光影魔术手1群：3196384 (已满)

光影魔术手2群：23824062(已满)

光影魔术手3群：28932010(已满)

光影魔术手4群：14317759(已满)

光影魔术手5群：27223131 （非休闲服饰 贡献）（200人）

光影魔术手6群：19642314 （实习版主thj7332贡献） (已满) 光影魔术手7群：70771779 （Ai_Yo≮缘≯ 贡献）

光影魔术手8群：60061444 （女人心贡献，号码好棒）

光影魔术手9群：70811176 （huaxinzuihuai贡献） (已满) 光影魔术手10群：27727300 （wangle7456贡献）

光影魔术手12群：71226499 （gaomingyua贡献）

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光影西南区群：38780127

矢量的直积——并矢

矢量的直积是矢量之间最简单的一种乘法运算，其结果是张量，所以也叫做矢量的张量积，俗称并矢。举例说明如下：

设三维白线性空间中的任意两个矢量的线性表出分别为

与

则两个矢量的直积就是一个并矢，属于二阶张量的一种，可记为

注意：并矢的先后次序一般不可交换。即

并矢既不是点积，也不是叉积，而是矢量的直积或直乘。因为其结果已经超出了原来的矢量空间，所以属于外积的一种。所谓直积运算就是一个矢量的所有线性组合项遍乘另一个矢量的所有线性组合项，类似于多项式乘法。如上例即

可见三维空间中的一个二阶张量共有9个分量。本例的基矢都是自然基矢（协变基矢），分量都是逆变分量，所以这个张量属于一个二阶逆变张量。

如果用爱因斯坦求和约定，上述并矢（二阶张量）还可以简洁地表示为

注意：两对哑标相乘时必须区别开。

其中基矢的并矢 叫做基张量，本例中的基张量是两个基矢的并矢，所以属于二阶基张

叫做张量的分量。对于两个n维矢量的并矢，有时也用完整

量。基张量对应的线性组合系数的一组

个分量表示其运算结果（一个二阶张量），即

矢量的直积运算还可以采用分量矩阵形式表示。如上例可表示为

一组9个基张量也可以用矩阵表示为

矢量的直积运算可以推广到多个矢量的并矢，即高阶张

篇一：户外群年会致辞

户外群年会致辞_庆典致辞 ; 户外群年会致辞，如今QQ 群，微信群各种群围绕，每个人都会加入自己志趣相投的群互相调侃，群友们也会聚集参加户外活动相互见面聊天，一年过去了，群友们也会举行他们的年会，他们的庆典晚会，在年会上，群主群员代表会在晚会上发表讲话，寄语对下一年的希望。

户外群年会致辞范文一 各位驴友，各位朋友，各位兄弟姐妹们，大家好! 2015 新年的钟声即将敲响，xx 户外成立半年来，半年的风风雨雨，半年的欢声笑语，在这里只有快乐、只有忘我，没有忧愁;2014 我们一起度过，2015 我们也将一起走过，谢谢大家长时间对xx 户外的支持。在这新年到来之际，让我们一起挥手2014，展望新的2015。 xx 户外是一个充满着热情的团体，也是一个互助互爱的大家庭，这半年我们户外大家一起见证，一起携手。在这里有阳光与沙滩，在这里有高山与流水，我们一起走过了很多。回顾曾经，展望未来。今天我们相聚在这里，召开我们xx 户外首届年会。在此对今天到场的各位领队、各位驴友、各位朋友和支持xx 户外的各界朋友表示衷心的感谢!谢谢你们! 在2014 火热的7 月，xx 户外诞生了! 短暂的半年我们迅速成长，从几个人发展到今天的1500 多人