2014高中数学竞赛试题及答案

智浪教育—普惠英才文库

2014年浙江省高中数学竞赛试题

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后

的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1．已知集合P={1,|a|}，Q={2,b2}为全集U={1,2,3,a2+b2+a+b}的子集，且CU{P∪Q}={6}，则下面结论正确的是（ D ）

A．a=3,b=1

B．a=3,b=-1

C．a=-3,b=1 D．a=-3,b=-1

2．已知复数z1, z2，且|z1|=2,|z2|=2，|z1+z2|=7，则|z1-z2|的值为（ D ）

A．5

B．7 C．3

D．3 3．已知∠A, ∠B, ∠C为△ABC的三个内角，命题P：∠A =∠B；命题Q：sin∠A =sin∠B，则﹁P是﹁Q 的（ C ）

A．充分非必要条件 C．充分必要条件

B．必要非充分条件

D．既非充分又非必要条件

20144．已知等比数列{an}：a1=5,a4=625，则

1=（ A ） ?k?1log5aklog5ak?1

C．

A．

2014 2015 B．

2013 2014

1 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．1956年波兰．

x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）

其中0＜a?9，0?b?9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b?18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．

2 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．1953年匈牙利．

【证设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）

但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．

3 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．1962年上海高三决赛题．

【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1

因此，四个连续自然数乘积加上1，是一

高中数学试卷

2015年高中数学竞赛决赛试题及答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请

把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）

1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是

A．

5

6

B．

2 3

C．

1 2

D．

1 3

，则

2．若 是第四象限角，且sin

2

cos

2

2sin

2

cos

2

是 2

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

3. 已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP 2OA+BA，则

A．点P不在直线AB上 B．点P在线段AB上

C．点P在线段AB的延长线上 D．点P在线段AB的反向延长线上

4．设m,n R ，若直线(m 1)x (n 1)y 4 0与圆(x 2)2 (y 2)2 4相切，则m n的取值范围是

A.(0,1 3] B.[1 3, ) C. [2 22, ) D.(0,2 22] 5. 已知正方体C1

的棱长为C1的各个面的中心为

高中数学联赛

2003年全国高中数学联赛

第一试

一、选择题（每小题6分,满分36分）

1． 删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003

项是

(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049

2． 设a, b R, ab≠0，那么，直线 ax y+b=0和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是

(A) (B) (C) (D)

3． 过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60 的直线．若此直线与抛物线交于A,B两点，

弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于 16168

(B) (C) (D)83

333

2 5

4． 若x [ , ]，则y= tan(x+) tan(x+)+cos(x+)的最大值是

312366

(A)

(A)

12111211

2 (B)2 (C)3 (D) 5656

94

+的最小值是 2

4 x29 y

5． 已知x,y都在区间( 2,2)内，且xy＝ 1，则函数u=

(A)

8121224

(B) (C) (D)

高中 数学 竞赛 试题 含 答案

2007年湖南省高中数学竞赛试题及答案

一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)

1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x) g(x) x2 9x 12，则f(x) g(x) ( )

A． x 9x 12 2.有四个函数：

① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=sinx cosx ④ y 其中在(0,A．①

3.方程x2 x 1 x x

2

2

B．x 9x 12

2

C． x 9x 12 D． x 9x 12

22

sinx

cosx

2

)上为单调增函数的是 ( )

B．②

1

C．①和③ D．②和④

(x2 1) x的解集为A(其中π为无理数，π=3.141 ，x为实数)，则A中所

有元素的平方和等于 ( ) A．0

B．1

2

C．2

2

D．4

4.已知点P(x,y)满足(x 4cos ) (y 4sin ) 4( R)，则点P(x,y)所在区域的面积为 A．36π

B．32π

C．20π

D．16π ( )

5.将10

南昌市2014年高中数学竞赛获奖名单

高一重点中学组

涂鸿昌 吴轲 邓耀庆 赵予 熊力 万浩 谢非 周志豪 罗皓云 樊健 周文祥 辜融川 刘方吉 黄昱洲 邓佳玉 罗鑫鹏

二等奖

邓重祥 熊星珍 魏宇 吴志炜 舒伟哲 涂志文 龚嘉诗 涂宇 罗浩 苏伟 谌志俊 黄宇 刘家纬 邓鑫 朱经奎 宋瑾 李嘉志 戴卓 刘超 邓宇邦

莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中

莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中

罗志豪 赵振宇 刘勇 刘志鸿 高睿凯 万晨阳 熊旭民 罗昌海 吕佳文 陈心怡 付佳龙 黄超 李子逸 漆文强 刘佳 廖磊林 龚志勇 刘翔 李忠华 梁培裕 甘雅欣 徐梦琳 潘文轩 徐令斌 廖俊杰 罗嘉俊 三等奖:

聂骏 李绍文 钟子康 黎豫昆 陈志励 杨启帆 徐世昌 万振康 杨炎 刘艳 涂智宇 邓冉阳 谭强伟 周嘉行 刘洋 黄强

莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中 莲塘一中

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期末测试题

考试时间：90分钟 试卷满分：100分

一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在等差数列3，7，11，…中，第5项为( )． A ．15

B ．18

C ．19

D ．23

2．数列{a n }中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列

D ．首项为1的等比数列

3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的值等于( )．

A ．5

B ．13

C ．13

D ．37

5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为( )． A ．4

B ．8

C ．15

D ．31

6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c

tan ，那么△ABC 是(

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期末测试题

考试时间：90分钟 试卷满分：100分

一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在等差数列3，7，11，…中，第5项为( )． A ．15

B ．18

C ．19

D ．23

2．数列{a n }中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列

D ．首项为1的等比数列

3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的值等于( )．

A ．5

B ．13

C ．13

D ．37

5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为( )． A ．4

B ．8

C ．15

D ．31

6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c

tan ，那么△ABC 是(

2003年全国高中数学联合竞赛试题

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、删去正整数数列1，2，3，??中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个新数列的第2003项是（ ）

A．2046 B．2047 C．2048 D．2049

2、设a，b∈R，ab≠0，那么，直线ax－y＋b=0和曲线bx2＋ay2=ab的图形是（ ）

3、过抛物线y2=8（x＋2）的焦点F作倾斜角为60°的直线.若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点,则线段PF的长等于( )

16168 B． C．3 D．83 3332???5??4、若x?[?,?]，则y?tan(x?)?tan(x?)?cos(x?)的最大值是（ ）.

36612312111112A．2 B．2 C．3 D．3

5665A．

5、已知x、y都在区间（－2，2）内，且xy=－1，则函数u?44?x2?99?y2的最小值是（ ）

A．

8121224 B． C．

高中数学联合竞赛模拟试题五

第一试

一、选择题（每小题6分，共计36分）

1. 数集M＝{s|s＝x2＋bx＋c，x∈R}与N＝{t|t＝y2－by＋c，y∈R}A.M∩N B.M＝N

2

2. 已知函数y＝2x在[a，b](a＜b)上的值域为[0，2]，则点(a，b)A.线段AB，BC B.线段AB，OC OC 3. 复数z1＝

y B 1 A x O 的关系为

C.M∪N

的轨迹是图中的 C.线段OA，BC

D.不能确定 D.线段OA，

C －1 11cosθ?isinθcosθ?isinθ的关系为 ?,z2??1?cosθ?isinθ1?cosθ?isinθ1?cosθ?isinθ1?cosθ?isinθA.z1＞z2 B.z1＝z2 C.z1＜z2 D.不能比较大小

22

4. 设△ABC的三个内角的对边分别为a，b，c，如果a＝b(b＋c)，b＝c(c＋a)，那么下列等式中不成立的是

111A.∠A＝2∠B＝4∠C B.??

abc1C.cosC－cosB－cosA＝ D.sin2A＋sin2B＋sin2C＝2

25. 给定四棱锥S－ABCD，其中底面四边形不是平行四边形，用一个与四条侧棱都相交的平S 面截这个四棱锥，截得四边形A'B'C