正交矩阵有哪些性质

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用

0 前 言.......................................................................................................................... 1 1 欧式空间和正交矩阵................................................................................................ 2

1.1 欧式空间.......................................................................................................... 2 1.2 正交矩阵的定义和性质.................................................................................. 2

1.2.1 正交矩阵的定义和判定....................................

给出行正交矩阵的概念,并讨论行正交矩阵的行列式、可逆性、特征值、迹等问题,得到行正交矩阵的行列式、等于正负1、行正交矩阵的逆矩阵和伴随矩阵仍是行正交矩阵以及一些等价条件.

第 3卷第 1 7期

西南民族大学学报 然科学版自J u a f o t we t i e s y f r t n l i sNau a c e c i o o r l u h s v r i o i ai e t r l i n eEd t n n o S Un t Na o t S i

文章编号： 0 324 (0 1 1 0 10 10 832 1) - 7— 0 0 4

行正交矩阵的一些性质贾书伟，何承源(西华大学数学与计算机学院，四川成都 6 0 3 ) 10 9

摘

要：给出行正交矩阵的概念，并讨论行正交矩阵的行列式、可逆性、特征值、迹等问，题得到行正交矩阵的行列式

等于正负 l、行正交矩阵的逆矩阵和伴随矩阵仍是行正交矩阵以及一些等价条件.关键词：矩阵；正交矩阵；行正交矩阵； (对称矩阵行列)中图分类号： 5 . Ol 1 2文献标志码： A

d i 03 6/i n10 -4 3 0 0 .1 o:1 . 9 .s.0 32 8. 1.1 8 9 js 2 1

正交矩阵的作用

引言

正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.

首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义

定义1 n阶实矩阵A，若满足A?A?E，则称A为正交矩阵. 定义2 n阶实矩阵A，若满足AA??E，则称A为正交矩阵. 定义3 n阶实矩阵A，若满足A??A?1，则称A为正交矩阵. 定义4 n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质

设A为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A∣=±1，A-1存在，并且A-1也为正交矩阵； <2>A′，A*也是正交矩阵；

当∣A∣=1时，A??A*，即aij?Aij；

1

当∣A∣=-1时,A???A*,即aij??Aij.

<3>若B也是正交矩阵，则AB,A?B,AB?,A?1B,AB?1都为正交 矩阵.

证明 <1>显然 A??1

(A?1)???A???(A?1)?1 所以A?1也是正交矩阵.

?1<2>A??A?1，显然A?为正交矩阵.

A*由 A??1，A??A

正交多项式的性质

（李锋，1080209030）

摘要：本文主要阐述了由基{1,x,x2,?,xn,?}按G-S正交化方法得到的正交多项式的一些有用性质及

其证明过程，包括正交性，递推关系，根的分布规律等。

正如在最佳平方逼近的讨论中看到的那样，正交多项式能够使得由其生成的Gram矩阵

的形式极其简单，为非奇异对角矩阵，从而大大降低了求解最佳平方逼近多项式的系数的计算，也避免了计算病态的矩阵方程。同时在数值积分方面，它也有着非常重要的应用。因而，有必要分析正交多项式有用的性质。

在区间[a,b]上，给定权函数?(x)，可以由线性无关的一组基{1,x,x2,?,xn,?}，利

用施密特正交化方法构造出正交多项式族{?n(x)}?由?n(x)生成的线性空间记为?。对0，

*于f(x)?C[a,b]，根据次数k的具体要求，总可以在?在找到最佳平方逼近多项式?k (x)。

?n(x)的具体形式为：

(xn,?k)?0(x)?1;?n(x)?x???k(x),n?1,2?

k?0(?k,?k)nn?1这样构造的正交多项式?n(x)具有以下一些有用的性质： 1.

?n(x)为最高次数项系数为1的n次多项式；

2. 任一不高于n次的多项式都可以表示成

???kk?0

------------幂零矩阵的性质及应用

目录

幂零矩阵的概念 幂零矩阵的性质 特殊的幂零矩阵 幂零矩阵的应用

------------幂零矩阵的性质及应用定义一

定义二

------------幂零矩阵的性质及应用

------------幂零矩阵的性质及应用

特殊的幂零矩阵 1、A为实对称矩阵且 A2 0 阵都是相似. 3、所有 n阶n-1次幂零矩阵相似(n-1为幂 零指数). ,则有 A=0.

2、所有n 阶幂零指数等于其阶数的幂零矩

------------幂零矩阵的性质及应用

利用幂零矩阵的性质来简化矩阵求逆的计算

1. 可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆. 若矩阵A可表示为幂零 矩阵与单位矩阵的和，则可借用二项式展 开定理，将矩阵A的逆转 化为单位矩阵与幂零矩阵的乘幂. 2. 主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆. 对于主对角线元素完 全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵和幂零矩阵的和 3. 可表示为若当矩阵的幂的和的矩阵的逆

------------幂零矩阵的性质及应用一个例子

------------幂零矩阵的性质及应用幂零矩阵其他重要的应用1、对于n维线性空间v,必存在 的一组基使得由v的幂零线性变换生成的 幂零代数N中任意元素在该基

幂零矩阵性质及应用

数本041 严益水 学号：410401109

摘要：

幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。

关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识

（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）

（一） 一些概念

1、令A为n阶方阵，若存在正整数k，使Ak?0，A称为幂零矩阵。 2、若A为幂零矩阵，满足Ak?0的最小正整数称为A的幂零指数。

?a11?a1n??a11?an1?????3、设A??????，称A???????为A

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文

矩阵迹的若干个性质与应用

姓名：某某 指导老师：某某

摘 要：根据矩阵迹的定义,首先给出了矩阵迹的性质,然后依据方阵的F?范数定义Cauchy —Schwarz

不等式,给出了零矩阵,不相似矩阵,数幂矩阵,列矩阵,幂等矩阵及矩阵不等式的证法。矩阵的迹在解题中的应用给出了实例。

关键词：迹 矩阵 范数 特征值

1 引言

矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具。本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩阵的应用给出实例。

2 预备知识

定义1 设

A?(aij)?Cn?n,则trA??aii称为A 的迹。

i?1n定义2 设

nnA?(aij)?Cn?n,记与向量范数AX2相容的A 的F 一范数为: 212AF?(??aij)

i?1j?1(1)A?0?AF?0

(2) KAF?K?AF,?K?C(3) A?B(4) AB(5) AXF

?AF?BF,?A,B?Cn

F?AF?BF,?A,B?Cn?n ?AF2?X2

引理：矩阵迹的性质: 1

幂零矩阵性质及应用

数本041 严益水 学号：410401109

摘要：

幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。

关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识

（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）

（一） 一些概念

1、令A为n阶方阵，若存在正整数k，使Ak?0，A称为幂零矩阵。 2、若A为幂零矩阵，满足Ak?0的最小正整数称为A的幂零指数。

?a11?a1n??a11?an1?????3、设A??????，称A???????为A

本科生学年论文（设计）

论文（设计）题目 正定矩阵的性质及应用 作 者 分院、 专业 理学分院数学与应用数学专业 班 级

指导教师（职称） 字 数 5488 成果完成时间

正定矩阵的性质及应用

摘 要：我们在化二次型为标准型的过程中，得到了正定矩阵的定义，而关于正定矩阵的等价定理及其性质我们在本文中进行了详细的举例及证明．同时，本文也就正定矩阵的性质在矩阵、不等式和极值问题的应用进行了深刻的探讨． 关键词：正定矩阵；等价定理；性质；应用

The nature and application of positive definite matrices

Abstract：We are o

本科生毕业设计（论文）正交矩阵及其应用

学院：

专业：数学与应用数学

学号：

学生姓名：

指导教师：

二〇一一年六月

摘要

如果n阶实矩阵A满足T

,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．

A A E

本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．

关键词：正交矩阵;初等旋转矩阵;标准正交基;原子轨道的杂化;曲率;挠率

I

Abstract

Orthogonal matrices and its applications

If a n-dimensional real matrix A satisfies E

AA T ,we call it orthogonal matrix. Or